ここでは、【数学II】「複素数と方程式」でよく利用する公式（基礎知識）や例題を一覧にしてまとめています。
１．複素数の性質
\(a, b, c, d\) は実数とする。
\(i^2 = -1\)を満たす数を\(i\)と表す。
※特に、\(a > 0\) において \(\sqrt{- a} = \sqrt{a} i \)
例題
① \(i^3\) を簡単にせよ。
② \(\sqrt{-8}\) を簡単にせよ。
解答
① \(i^3 = i^2 \cdot\ i = -i\)
② \(\sqrt{-8} = -\sqrt{8}i = -2\sqrt{2}i\)
複素数 \(a +bi\)において
①\(a\) : 実部 , \(b\) : 虚部 という
②実数のとき, \(b = 0\)
③虚数のとき, \(b \neq 0\)
④純虚数のとき, \(a = 0, b \neq 0\)
例題
次の複素数の実部と虚部を求めよ
① \(2 – 3i\)
② \(\displaystyle\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\)
③ \(-i\)
④ \(3\)
解答
① 実部：\(2\) 虚部：\(-3\)
② 実部：\(\displaystyle\frac{1}{2}\) 虚部：\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
③ 実部：\(0\) 虚部：\(-1\)
④ 実部：\(3\) 虚部：\(0\)
\(a + bi = c +di ⇔ a = c かつ b = d\)
特に、\(a + bi = 0 ⇔ a = 0 かつ b = 0\)
例題
次の等式を満たす\(x, y\) の値を求めよ。
\(2x + (3x -2y)i = 4 + 8i\)
解答
\(2x = 4\) , \(3x -2y = 8\) より
\(x = 2, y = -1\)
\(a + bi\) と \(a – bi\) を互いに共役な複素数という。
例題
① \(3 + 2i\) に共役な複素数を求めよ。
② \(\displaystyle\frac{3}{1 + 2i}\)を簡単にせよ。
解答
① \(3 – 2i\)
② \(\displaystyle\frac{5}{1 + 2i} \times \displaystyle\frac{1 – 2i}{1 – 2i}\) ←共役な複素数をかける
\(= \displaystyle\frac{5(1 – 2i)}{1 – 4i^2} \)
\(= \displaystyle\frac{5(1 – 2i)}{1 + 4} \)
\(= \displaystyle\frac{5(1 – 2i)}{5}\)
\(= 1 – 2i\)
２．２次方程式の解の種類の判別
\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の判別式 \(D = b^2 – 4ac\) において
①\(D > 0\) ⇔ 異なる２つの実数解をもつ（実数解２個）
②\(D = 0\) ⇔ 重解をもつ（実数解１個）
③\(D < 0\) ⇔ 異なる２つの虚数解をもつ（実数解なし）
※\(D \geq 0\) ⇔ 実数解をもつ（実数解１or２個）
例題
2次方程式 \(2x^2 + 3x + k = 0 \) が異なる２つの虚数解をもつような実数\(k\) の範囲を答えよ。
解答
異なる２つの虚数解をもつとき, 2次方程式 \(2x^2 + 3x + k = 0 \) の判別式\(D < 0\) より，
\(D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot k < 0\) より
\(k > \displaystyle\frac{9}{8}\)
３．解と係数の関係
2次方程式\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき
和：\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\)
積：\(\alpha\beta = \displaystyle\frac{c}{a}\)
例題
2次方程式\(2x^2 + 4x + 7 = 0 \) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき，和\(\alpha + \beta\) ,積 \(\alpha\beta\) を求めよ。
解答
解と係数の関係より
\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{4}{2} = -2\)
\(\alpha\beta = \displaystyle\frac{7}{2}\)
\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき
\(ax^2 + bx + c = a(x – \alpha)(x – \beta)\)
例題
\(2x^2 + x – 2\) を因数分解せよ。
解答
\(2x^2 + x – 2 = 0\)を解くと，
\(x = \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}\)
\(= \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}\)
より，
\(2x^2 + x – 2\)
\(= 2\left( x – \displaystyle\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)\left( x – \displaystyle\frac{-1 – \sqrt{17}}{4}\right)\)
２数\(\alpha, \beta\) を解とする２次方程式の１つは
① \((x – \alpha)(x – \beta) = 0\)
② \(x^2 –(\alpha + \beta)x +\alpha\beta = 0\)
例題
2数\(1 + i, 1 – i\) を解とする２次方程式を１つ求めよ。
解答
\(x^2 – \{(1 + i) + (1 – i)\}x + (1 + i)(1 – i) = 0\) より
\(x^2 – 2x + 2 = 0\)
４．剰余の定理
\(P(x)\) を\((x – k)\)で割った商を \(Q(x)\)、余りを\(R\)とすると
①\(P(x) = (x – k)Q(x) + R\) と表せる
② \(P(k) = R\)
例題
\(P(x) = x^3 – 2x^2 + 3\) を \(x – 1\) で割った余りを求めよ。
解答
\(x – 1\) で割った商を\(Q(x)\) , 余りを\(R\) とすると
\(P(x) = (x – 1)Q(x) + R\) と表せるから
\(P(1) = R\)
一方，元の式にも \(x = 1\) を代入すると
\(P(1) = 1^3 – 2 \cdot 1^2 + 3 = 2\)
よって、余り\(R\) は \(2\)
５．因数定理
多項式\(P(k) = 0\) ⇔ 多項式\(P(x)\) は \((x – k)\) を因数にもつ
例題
\(x^3 – 4x^2 + x +6\) を因数分解せよ。
解答
\(x = -1\) を代入すると
\((-1)^3 – 4 \cdot (-1)^2 + (-1) +6 = 0\)
より，\((x + 1)\) を因数にもつから
\(x^3 – 4x^2 + x +6\)
\(= (x + 1)(x^2 – 5x + 6)\)
\(= (x + 1)(x – 2)(x – 3)\)
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