１．正負の数
① 加法の交換法則 : \(a + b = b + a\)
② 加法の結合法則 : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
③ 乗法の交換法則 : \(a \times b = b \times a\)
④ 乗法の結合法則 : \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
⑤ 分配法則Ⅰ：\(a \times (b \times c) = a \times b + a \times c\)
⑥ 分配法則Ⅱ：\((a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd\)
２．方程式
\(x = y\) とするとき
① \(x + z = y + z\) ←両辺に同じものを足した値は等しい
② \(x – z = y – z\) ←両辺に同じものを引いた値は等しい
③ \(x \times z = y \times z\) ←両辺に同じものをかけた値は等しい
④ \(x \div z = y \div z\) ←両辺に同じものを割った値は等しい
⑤ \(y = x\) ←両辺は入れかえても等しい
\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) ←比例式の外項の積と内項の積は等しい
2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は
\(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
例題
2次方程式\(x^2+5x+3=0\)を解け。
解答
\(x=\displaystyle\frac{-5±\sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}\)
\(=\displaystyle\frac{-5±\sqrt{13}}{2}\)
2次方程式\(ax^2+2b’x+c=0\)(\(x\)の項が偶数の場合)の解は
\(x=\displaystyle\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)
例題
2次方程式\(x^2+4x+2=0\)を解け。
解答
\(x=\displaystyle\frac{-2±\sqrt{2^2-1 \cdot 2}}{1}\)
\(=-2±\sqrt{2}\)
①因数分解の利用
⇒ 左辺が因数分解できるとき
②平方根の利用
⇒ \(x^2=p\)の形になるとき（\(x\)の項がないとき）
③解の公式の利用
⇒ ①，②以外のとき
例題
次の2次方程式を解け。
①\(x^2-5x+6=0\)
②\(2x^2=6\)
③\(3x^2-5x-1=0\)
解答
①\(x^2-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)
より
\(x=2, 3\)
②\(2x^2=6\)
\(x^2=3\)
よって
\(x=\pm \sqrt{3}\)
③\(x=\displaystyle\frac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}\)
\(=\displaystyle\frac{5±\sqrt{37}}{6}\)
３．指数法則
\(m , n \)は正の整数とする。
① \(a^m \times a^n = a^{m + n}\)
② \(a^m \div a^n = a^{m – n}\)
③ \((a^m)^n = a^{mn}\)
④ \((ab)^n =a^n b^n\)
※\(a^0 =1 \)
例題
次の計算をせよ。
① \(a^3 \times a^2 \)
② \(a^3 \div a^2 \)
③ \((a^4)^2 \)
④ \((ab)^3 \)
解答
① \(a^3 \times a^2 = a^{3+2}=a^5 \)
② \(a^3 \div a^2 = a^{3-2} = a\)
③ \((a^4)^2 = a^{4 \times 2} =a^8\)
④ \((ab)^3 =a^3 b^3\)
４．展開
①\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
②\((a+b) (a-b) = a^2 – b^2 \)
③\((x+a) (x+b) = x^2 + (a+b) x + ab \)
④\((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc) x + bd\)
例題
次の式を展開せよ。
① \((x+3y)^2 \)
② \((2a+b) (2a-b) \)
③ \((x+3) (x+2) \)
④ \((2x+3) (3x-5) \)
解答
① \((x+3y)^2 = x^2 + 2・x・(3y) + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2\)
② \((2a+b) (2a-b) = (2a)^2 – b^2= 4a^2 – b^2 \)
③ \((x+3) (x+2) = x^2 + (3+2) x + 3 \cdot 2 = x^2 + 5 x + 6 \)
④ \((2x+3) (3x-5) \)
\(= 2 \cdot 3 x^2 + \{ 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 3 \} x + 3 \cdot (-5) \)
\(= 6x^2 – x -15 \)
\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
例題
次の式を展開せよ。
\((x – 2y + z)^2 \)
解答
\((x – 2y + z)^2 \)
\(= x^2 + (-2y)^2 + z^2\)
\(+2 \cdot x \cdot (-2y)+2 \cdot (-2y) \cdot z +2 \cdot z \cdot x\)
\(= x^2 + 4y^2 + z^2 – 4xy – 4yz + 2zx\)
５．因数分解
\(AB + AC = A (B+C) \)
例題
次の式を因数分解せよ。
\(3a^3b-9a^2b^2 \)
解答
\(3a^3b-9a^2b^2 = 3a^2b(a-3b)\)
① \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 , a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)
② \(a^2 – b^2 = (a+b) (a-b) \)
③ \( x^2 + (a+b) x + ab = (x+a) (x+b)\)
④ \( acx^2 + (ad+bc) x + bd=(ax+b) (cx+d)\) ※たすきがけ
例題
次の式を因数分解せよ。
① \(x^2 + 12xy + 36y^2\)
② \(25a^2 – 9b^2 \)
③ \(x^2 +6x +5 \)
④ \( 8x^2-51x+18 \)
解答
① \(x^2 + 12xy + 36y^2\)
\(= x^2 + 2 \cdot x \cdot 6y + (6y)^2\)
\(=(x+6)^2 \)
② \(25a^2 – 9b^2 \)
\(=(5a)^2 – (3b)^2\)
\(= (5a+3b) (5a-3b) \)
③ \(x^2 +6x +5 \)
\(= x^2 + (1+5) x + 1 \cdot 5\)
\( = (x+1) (x+5)\)
④ \( 8x^2-51x+18\)
\(= (x-6) (8x-3)\)
６．根号の計算
① \(a \geq 0\) のとき \((\sqrt{a})^2 =(- \sqrt{a})^2 = a, \sqrt{a} \geq 0 \)
② \( \begin{eqnarray} \sqrt{a^2}=|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0 のとき) \\ -a&(a \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\)
例題
次の値を求めよ。
① \((-\sqrt{7})^2\)
② \(\sqrt{9}\)
解答
① \((-\sqrt{7})^2=7\)
② \(\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\)
\(a>0, b>0, k>0 \) のとき
① \(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
② \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
③ \(\sqrt{k^2 a} = k \sqrt{a} \)
例題
次の値を求めよ。
① \(\sqrt{3}\sqrt{5}\)
② \(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}\)
③ \(\sqrt{20}\)
解答
① \(\sqrt{3}\sqrt{5}=\sqrt{3 \cdot 5}=\sqrt{15}\)
② \(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3}\)
③ \(\sqrt{20}=\sqrt{2^2 \cdot 5}=2\sqrt{5}\)
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