【数学C】式と曲線～基本公式・例題一覧～

定点 \(F\) と\(F\) を通らない定直線 \(\ell\) からの距離が等しい点\(P\) の軌跡

※この定点\(F\) を焦点、定直線 \(\ell\)を準線という。

\(x\) 軸を軸とする放物線について

①　方程式は　\(\color{red}{y^2 = 4px (p \neq 0)}\)

②　頂点は原点,　軸は\(x\) 軸
（曲線は軸に関して対称）

③　焦点は\((\color{red}{F(p, 0)}\) , 準線は直線 \(\color{red}{x = -p}\)

例題

焦点が点\((1, 0)\) ，準線が直線\(x = -1\) である放物線の方程式を求め，概形をかけ。

解答

\(y^2 = 4 \cdot 1 \cdot x\) より\(y^2 = 4x\)

長軸の長さ（AA’) が \(2a\),　短軸の長さ（BB’）が \(2b\) の楕円について

①　方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1}\)

②　焦点は

\(\color{red}{F(\sqrt{a^2 – b^2} , 0), F'(-\sqrt{a^2 – b^2} , 0)}\)

④　頂点は　
\((a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)\)

③　楕円上の点から 2 つの焦点までの和は

\(\color{red}{2a}\)

例題

方程式が\(\displaystyle\frac{x^2}{16} + \displaystyle\frac{y^2}{4} = 1\) である楕円の長軸の長さ，短軸の長さ，焦点および頂点を求めよ。また，楕円の概形をかけ。

解答

\(\displaystyle\frac{x^2}{4^2} + \displaystyle\frac{y^2}{2^2} = 1\) より

長軸の長さは　\(2 \cdot 4 = 8\)

短軸の長さは　\(2 \cdot 2 = 4\)

\(\sqrt{16 – 4} = 2\sqrt{3}\)より

焦点は２点\((2\sqrt{3}, 0)\),\((-2\sqrt{3}, 0)\)

頂点は\((4, 0)\), \((-4, 0)\), \((0, 2)\), \((0, -2)\)

概形は以下になる

2定点 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) を焦点とし、定点からの距離の差が \(2a\) である双曲線について

①　方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x^2}{a^2} – \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1}\)

②　焦点は

\(\color{red}{F(\sqrt{a^2 + b^2} , 0), F'(-\sqrt{a^2 + b^2} , 0)}\)
※\(\color{red}{c = \sqrt{a^2 + b^2}}\)

③　双曲線上の点から 2 つの焦点までの差は

\(\color{red}{2a}\)

④　頂点は　\((a, 0), (-a, 0)\)

⑤　漸近線の方程式は

直線　\(\color{red}{y = \displaystyle\frac{b}{a}x, y = -\displaystyle\frac{b}{a}x}\)

例題

方程式が\(\displaystyle\frac{x^2}{9} – \displaystyle\frac{y^2}{16} = 1\) である双曲線の頂点，焦点，および漸近線を求めよ。また，双曲線の概形をかけ。

解答

\(\displaystyle\frac{x^2}{3^2} – \displaystyle\frac{y^2}{4^2} = 1\) より

頂点：\((3, 0), (-3, 0)\)

\(\sqrt{9 + 16} = 5\) より

焦点：\((5, 0), (-5, 0)\)

漸近線：2直線\(\displaystyle\frac{x}{3} – \displaystyle\frac{y^2}{4} = 0, \displaystyle\frac{x}{3} + \displaystyle\frac{y^2}{4} = 0\)

曲線\(F(x, y) = 0\) を\(x\) 軸方向に\(p\), \(y\) 軸方向に\(q\) だけ平行移動して得られる曲線の方程式は

\(\color{red}{F(x – p, y – q) = 0}\) ←通常の平行移動と同じ

2次曲線と直線の方程式から1文字を消去して2次方程式が得られる場合,その2次方程式の実数解の個数と,2次曲線と直線の共有点の個数は一致する。

①　放物線\(y^2 =4px\) 上の点\((x_1 , y_1)\) における接線の方程式は

\(\color{red}{y_1y = 2p(x + x_1)}\)

②　楕円\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)上の点\((x_1 , y_1)\) における接線の方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x_1x}{a^2} + \displaystyle\frac{y_1y}{b^2} = 1}\)

③　双曲線\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} – \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)上の点\((x_1 , y_1)\) における接線の方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x_1x}{a^2} – \displaystyle\frac{y_1y}{b^2} = 1}\)

定点\(F\) と, \(F\) を通らない定直線\(ell\) からの距離の比が \(e : 1\) である点の軌跡は

①　\(0 < e < 1\) のとき　\(F\) を焦点の１つとする楕円

②　\(e = 1\) のとき　\(F\) を焦点, \(\ell\) を準線とする放物線

③　\(e > 1\) のとき　\(F\) を焦点の１つとする双曲線

※\(e\) を離心率という。

①　放物線　\(y^2 = 4px\)
→　\(\color{red}{x = pt^2, y = 2pt}\)

②　円　\(x^2 + y^2 = a^2\)　
→　\(\color{red}{x = a\cos\theta, y = a\sin\theta}\)

③　楕円　\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)　
→　\(\color{red}{x = a\cos\theta, y = b\sin\theta}\)

④　双曲線　\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} – \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)
→　\(\color{red}{x = \displaystyle\frac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta}\)

⑤　サイクロイド　
→　\(x = a(\theta – \sin\theta), y = a(1 – \cos\theta)\)

※\(p \neq 0 , a > 0, b > 0\)

曲線　\(x = f(t), y = g(t)\) を,\(x\)軸方向に\(p\) ,\(y\)軸方向に\(q\) だけ平行移動した曲線は

\(\color{red}{x = f(t) + p , y = g(t) + q} \)

①　\(\color{red}{x = r\cos\theta , y = r\sin\theta}\)

②　\(\color{red}{r = \sqrt{x^2 + y^2}}\)
\(r \neq 0\) のとき　\(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r}, \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r}\)

①　中心が極\(O\), 半径が\(a\) の円の極方程式は
\(\color{red}{r = a}\)

②　中心の極座標が\((a, 0)\), 半径が\(a\) の円の極方程式は
\(\color{red}{r = 2a\cos\theta}\)

③　中心の極座標が\((r_1, \theta_1)\), 半径が\(a\)の円の極方程式は
\(\color{red}{r^2 + r_1{}^2 – 2rr_1 \cos(\theta – \theta_1) = a^2}\)

例題

次の極方程式で表される曲線を求めよ。

（１）\(r = 1\)

（２）\(r = 2\cos\theta\)

解答

（１）極Oを中心とし，半径が1の円

（２）中心の極座標が\((1, 0)\) ，半径\(1\)の円

①　極\(O\) を通り,　始線とのなす角が\(\alpha\) である直線の極方程式は
\(\color{red}{\theta = \alpha}\)

②　\(A(r_1, \theta_1)\) を通り, OA に垂直な直線の極方程式は
\(\color{red}{r\cos(\theta – \theta_1) = r_1}\)
※\(r_1 > 0\)

例題

次の極方程式で表される曲線を求めよ。

（１）\(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{6}\)

（２）\(r\cos(\theta – \displaystyle\frac{\pi}{3}) = 2\)

解答

（１）極O を通り，始線とのなす角が\(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) の直線

（２）極座標が\(\left(2, \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) である点A を通り，OAに垂直な直線

極座標が\((a, 0)\) である点を通り,始線 OX に垂直な直線を\(\ell\) とすると、次の極方程式は２次曲線を表す。

\(r = \displaystyle\frac{ea}{1 + e\cos\theta}\)

①　\(0 < e < 1\) のとき　\(O\) を焦点の１つとする楕円

②　\(e = 1\) のとき　\(O\) を焦点, \(\ell\) を準線とする放物線

③　\(e > 1\) のとき　\(O\) を焦点の１つとする双曲線