【数学Ⅲ】微分法～基本公式・例題一覧～

\( f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a + h) – f(a)}{h} = \lim\limits_{x \to a} \displaystyle\frac{f(x) – f(a)}{x – a}\)

関数 \(f(x)\) について

①　\(f'(a)\) が存在するとき, \(x = a\) で微分可能

②　\(x = a\) で微分可能　\(\Rightarrow\) \(x = a\) で連続

③　\(x = a\) で連続であっても, \(x = a\) で微分可能とは限らない

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(x + h) – f(x)}{h}\)

\(k , l\) は定数とする。

①　\(\{k f(x) + l g(x)\}’ = k f'(x) + l g'(x)\)

②　\(\{f(x)g(x)\}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)　←積の微分法

③　\(\left\{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’ = \displaystyle\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2}\)　←商の微分法

\(y = f(u), u = g(x)\) のとき

\(\displaystyle\frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{dy}{du} \cdot \displaystyle\frac{du}{dx}\)

\(\displaystyle\frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}\)

①　\((c)’ = 0\) (\(c\) は定数)

②　\((x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha – 1}\) (\(\alpha\) は実数)

①　\((\sin x)’ = \cos x\)

②　\((\cos x)’ = – \sin x\)

③　\((\tan x)’ = \displaystyle\frac{1}{\cos^{2}x } \)

\(a > 0, a \neq 1\) のとき

①　\((\log |x|)’ = \displaystyle\frac{1}{x}\)

②　\((\log_a |x|)’ = \displaystyle\frac{1}{x\log a}\)

\(a > 0, a \neq 1\) のとき

①　\((e^x)’ = e^x\)

②　\((a^x)’ = a^x \log a\)

※\(e = \lim\limits_{k \to 0}(1 + k)^{\frac{1}{k}} = 2.71828\cdots\cdots\)

関数\(y = f(x)\) を\(n\) 回微分して得られる関数を

\(y^{(n)}\), \(f^{(n)}(x)\), \(\displaystyle\frac{d^n y}{dx^n}\), \(\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}f(x)\) 　

などで表す。

方程式\(F(x, y) = 0\) について、\(y\) を \(x\) の関数と考え、両辺を\(x\) で微分すると,

\(\displaystyle\frac{d}{dx}f(y) = \displaystyle\frac{d}{dy}f(y) \cdot \displaystyle\frac{dy}{dx}\)

\(x = f(t), y = g(t)\) のとき

\(\displaystyle\frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} = \displaystyle\frac{g'(t)}{f'(t)}\)

曲線 \(y = f(x)\) 上の点 \(A(a, f(a))\) において

①　接線の方程式　→　\(y – f(a) = f^{\prime}(a)(x – a)\)

②　法線の方程式　→　\(y – f(a) = – \displaystyle\frac{1}{f'(a)} (x – a)\) (ただし、\(f^{\prime}(a) = 0\))

関数 \(f(x)\) が閉区間\([a, b]\) で連続, 開区間\((a, b)\) で微分可能ならば,

\(\displaystyle\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = f'(c)\), \((a < c < b)\)

を満たす実数 \(c\) が存在する。

曲線\(y= f(x)\) は

①　\(f^{\prime\prime}(x) > 0\) である区間では 下に凸

②　\(f^{\prime\prime}(x) < 0\) である区間では 上に凸

曲線 \(y = f(x)\) について

①　\(f^{\prime\prime}(a) = 0 \) のとき, \(x = a \) の前後で \(f^{\prime\prime}(x)\) の符号が変わる
\(\Rightarrow\) 　 点\((a, f(a))\) は曲線の変曲点

②　\(f^{\prime\prime}(a)\) が存在し、点 \((a, f(a))\) が曲線の変曲点　
\(\Rightarrow\) \(f^{\prime\prime}(a) = 0\)

\( x = a\) を含むある区間で \(f^{\prime\prime}(x)\) は連続であるとする。

①　\(f^{\prime}(a) = 0\) かつ \(f^{\prime\prime}(a) < 0\) \(\Rightarrow\) \(f(a)\) は極大値

②　\(f^{\prime}(a) = 0\) かつ \(f^{\prime\prime}(a) > 0\) \(\Rightarrow\) \(f(a)\) は極小値

数直線上を運動する点\(P\) の時刻\(t\) における座標を \(x = f(t)\) とすると,点\(P\) は時刻\(t\) において

①　速度\(v = \displaystyle\frac{dx}{dt} = f^{\prime}(t)\)

②　加速度\(\alpha = \displaystyle\frac{dv}{dt} = \displaystyle\frac{d^2v}{dt^2} = f^{\prime\prime}(t)\)

座標平面上を運動する点\(P\) の時刻\(t\) における座標\((x , y)\) が \(t\) の関数であるとき,点\(P\) の時刻\(t\) における速度\(\overrightarrow{ v }\), 速さ \(| \overrightarrow{v} |\), 加速度\(\overrightarrow{ \alpha }\), 加速度の大きさ \(| \overrightarrow{\alpha} |\) は

①　速度\(\overrightarrow{ v } = \left( \displaystyle\frac{dx}{dt}, \displaystyle\frac{dy}{dt} \right)\)

②　速さ \(| \overrightarrow{v} | = \sqrt{\left( \displaystyle\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \displaystyle\frac{dy}{dt} \right)^2}\)

③　加速度\(\overrightarrow{ \alpha } = \left( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}, \displaystyle\frac{d^2y}{dt^2} \right)\)

④　加速度の大きさ \(| \overrightarrow{\alpha} | = \sqrt{\left( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \right)^2 + \left( \displaystyle\frac{d^2y}{dt^2} \right)^2} \)

①　\(| h |\) が十分小さいとき　\(f(a + h) \) は\( f(a) + f^{\prime}(a)h\) にほぼ等しい

②　\(| x |\) が十分小さいとき　\(f(x)\)は\( f(0) + f^{\prime\prime}(0)x\) にほぼ等しい