【数学C】公式集一覧～ベクトル・複素数平面・式と曲線・数学的な表現の工夫～

\( \vec{ a } = (a_1, a_2), \vec{ b } = (b_1, b_2)\) とする。

・相等：\( \vec{ a } = \vec{ b }\) 　\(\iff\)　\(\color{red}{a_1 = b_1, a_2 = b_2}\)

・大きさ：\(\left| \vec{ a } \right| = \color{red}{\sqrt{a_1{}^2 + a_2{}^2}}\)

・成分による演算
\(k \vec{a} + l \vec{b} = k(a_1, a_2) + l(b_1 , b_2) = (ka_1 + lb_1 , ka_2 + lb_2)\)
※\(k, l\) は実数とする

\( \vec{ a } = (a_1, a_2, a_3), \vec{ b } = (b_1, b_2, b_3)\) とする。

・相等：\( \vec{ a } = \vec{ b }\) 　\(\iff\)　\(\color{red}{a_1 = b_1, a_2 = b_2, , a_3 = b_3}\)

・大きさ：\(\left| \vec{ a } \right| = \color{red}{\sqrt{a_1{}^2 + a_2{}^2 + a_3{}^2}}\)

・成分による演算
\(k \vec{a} + l \vec{b} = k(a_1, a_2 , a_3) + l(b_1 , b_2 , b_3) = (ka_1 + lb_1 , ka_2 + lb_2 , ka_3 + lb_3)\)
※\(k, l\) は実数とする　

\( \vec{ a } = (a_1, a_2), \vec{ b } = (b_1, b_2)\) とする。

\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{(b_1 – a_1, b_2 – a_2)}\)

\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \color{red}{\sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2}}\)

\( \vec{ a } = (a_1, a_2, a_3), \vec{ b } = (b_1, b_2, b_3)\) とする。

\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{(b_1 – a_1, b_2 – a_2 , b_3 – a_3)}\)

\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \color{red}{\sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2 + (b_3 – a_3)^2}}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \color{red}{\left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \cos\theta}\)
\((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\)

\(\cos\theta = \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right|}}\)

①　\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a }\)

②　\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\
\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)

③　\((k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})\)
※\(k\) は実数

④　\(\vec{a} \cdot \vec{a} = \color{red}{\left| \vec{a} \right| {}^2}\)

⑤　\(\left| \vec{a} \right| = \color{red}{\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}}\)

\(\vec{a} /\!/ \vec{b} \iff \color{red}{\vec{b} = k\vec{a}}\) (\(k\) は実数)

\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \color{red}{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}\)

\(\vec{ a } = (a_1 , a_2), \vec{ b } = (b_1 , b_2)\) とする。

\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \color{red}{a_1 b_1 + a_2 b_2}\)

\(\vec{ a } = (a_1 , a_2 , a_3), \vec{ b } = (b_1 , b_2 , b_3)\) とする。

\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \color{red}{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}\)

\(△OAB\) において,
\(\overrightarrow{ OA } = \vec{ a } = (a_1 , a_2), \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } = (b_1 , b_2)\) とすると,

面積 \(S = \color{red}{\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left| \vec{ a } \right|{}^2 \left| \vec{ b } \right|{}^2 – (\vec{ a } \cdot \vec{ b })^2} }\)\(= \color{red}{ \displaystyle\frac{1}{2}\left| a_1 b_2 – a_2 b_1 \right|} \)

\(A(\vec{ a }) ,B(\vec{ b }), C(\vec{ c })\) とする。

①　\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{\vec{b} – \vec{a}}\)

②　線分\( AB\) を\(m : n\) に内分する点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m + n}}\)

③　線分 \(AB\) を\(m : n\) に外分する点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{- n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m – n}}\)

④　線分 \(AB\) の中点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{ a } + \vec{ b }}{2}}\)

④　線分 \(AB\) の中点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c }}{3}}\)

点\(A(\vec{ a })\) を通り、\(\vec{ d } \) \((\vec{ d } \neq \vec{ 0 } )\) に平行な直線上のベクトル \(\vec{ p }\)は

\(\vec{ p } = \color{red}{\vec{ a } + t \vec{ d }}\)
※\(\vec{ d } \)を方向ベクトルという。

点\(P(\vec{ p })\) が2点\(A(\vec{ a })\), \(B(\vec{ b })\)を通る直線上にあるとき、

①　\( \color{red}{\vec{ p } = (1 – t) \vec{ a } + t \vec{ b }}\)

②　\( \color{red}{\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } ( s + t = 1)}\)

\(\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB }\) のとき,

①　\(s + t = 1, s \geq 0 , t \geq 0 \) 　\(\iff\)　点 P の存在範囲は線分 AB 上
②　\(0 \leq s + t \leq 1 , s \geq 0 , t \geq 0\) \(\iff\)　点 P の存在範囲は △OAB の周および内部

\(k, s, t, u\) は実数とする。

①　点 \(P\) は直線 \(OA\)上にある　⇔　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = k\overrightarrow{ OA }}\)

②　点\(P\) は直線 \(AB\) 上にある　
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } (s + t = 1)}\)
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + (1 – s)\overrightarrow{ OB }}\)

③　点 \(P\)は平面 \(ABC\)上にある　
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } + u\overrightarrow{ OC } (s + t + u= 1)}\)
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } + ( 1 – s -t)\overrightarrow{ OC }}\)
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ CP } = s\overrightarrow{ CA } + t\overrightarrow{ CB }}\)

①　\(z\) が実数　⇔　\(\color{red}{\overline{z} = z}\)

②　\(z\) が純虚数　⇔ \(\color{red}{\overline{z} = – z, z \neq 0}\)　

①　\(\color{red}{\alpha + \overline{\alpha} = 2a}\)

②　\(\color{red}{\alpha \overline{\alpha} = a^2 + b^2}\)

②　\(\color{red}{\overline{\overline{\alpha}} = \alpha}\) 　⇐共役な複素数のバーは２回で外れる　

①　\(\color{red}{\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}}\)

②　\(\color{red}{\overline{\alpha – \beta} = \overline{\alpha}}\) \(\color{red}{-}\) \(\color{red}{\overline{\beta}}\)

③　\(\color{red}{\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha}}\) \(\color{red}{\overline{\beta}}\)

特に、\(\color{red}{\overline{\alpha^n} = (\overline{\alpha})^n}\)

④　\(\color{red}{\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} = \displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}}\)

\(|\alpha| = |a + bi| = \color{red}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

①　\(|\alpha| = |\overline{\alpha}| = |- \alpha|\)

②　\(\color{red}{z\overline{z} = |z|^2} \)

\(\alpha = a + bi , \beta = c + di\) のとき

２点 \(\alpha , \beta\) 間の距離は　\(|\beta – \alpha| = \color{red}{\sqrt{(c – a)^2 + (d – b)^2}}\)

\(a \neq 0\) のとき

３点 \(0, \alpha, \beta\) が一直線上にある　⇔　\(\color{red}{\beta = k\alpha}\) となる実数 \(k\) がある

\( \alpha = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1 ), \beta = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2 )\) のとき

①　\(\color{red}{\alpha \beta = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\}}\)

②　\(\color{red}{\displaystyle\frac{\alpha}{\beta} = \displaystyle\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2) \}}\)

①　\(\color{red}{|\alpha \beta| = |\alpha||\beta| , arg\alpha \beta = arg\alpha + arg\beta}\)

②　\(\color{red}{\left|\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right| = \displaystyle\frac{|\alpha|}{|\beta|} , arg\displaystyle\frac{\alpha}{\beta} = arg\alpha – arg\beta}\)

\(\alpha = \cos\theta + i\sin\theta\) と\(z\) に対して, 点 \(\alpha z\) は, 点 \(z\) を原点を中心として\(\theta\)だけ回転した点である。

\(n\) が整数のとき

\(\color{red}{(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta}\)

自然数 \(n\) に対して

\(\color{red}{z_k = \cos\displaystyle\frac{2k\pi}{n} + i\sin\displaystyle\frac{2k\pi}{n}} \)

\((k = 0, 1, 2, \cdots, n – 1)\)

\(|z – \alpha| = \gamma \) 　⇒　点 A を中心とする半径\(r\) の円

\(|z – \alpha| = |z – \beta| \) 　⇒　線分 AB の垂直二等分線

点 \(\beta\) を, 点\(\alpha\) を中心として角\(\theta\) だけ回転した点を\(\gamma\) とすると

\(\color{red}{\gamma – \alpha = (\cos\theta + i\sin\theta)(\beta – \alpha)}\)

半直線 AB から半直線 AC までの回転角\(\theta\) は

\(\color{red}{\theta = arg\displaystyle\frac{\gamma – \alpha}{\beta – \alpha}}\)

定点 \(F\) と\(F\) を通らない定直線 \(\ell\) からの距離が等しい点\(P\) の軌跡

※この定点\(F\) を焦点、定直線 \(\ell\)を準線という。

\(x\) 軸を軸とする放物線について

①　方程式は　\(\color{red}{y^2 = 4px (p \neq 0)}\)

②　頂点は原点,　軸は\(x\) 軸
（曲線は軸に関して対称）

③　焦点は\((\color{red}{F(p, 0)}\) , 準線は直線 \(\color{red}{x = -p}\)

長軸の長さ（AA’) が \(2a\),　短軸の長さ（BB’）が \(2b\) の楕円について

①　方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1}\)

②　焦点は

\(\color{red}{F(\sqrt{a^2 – b^2} , 0), F'(-\sqrt{a^2 – b^2} , 0)}\)

④　頂点は　
\((a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)\)

③　楕円上の点から 2 つの焦点までの和は

\(\color{red}{2a}\)

2定点 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) を焦点とし、定点からの距離の差が \(2a\) である双曲線について

①　方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x^2}{a^2} – \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1}\)

②　焦点は

\(\color{red}{F(\sqrt{a^2 + b^2} , 0), F'(-\sqrt{a^2 + b^2} , 0)}\)
※\(\color{red}{c = \sqrt{a^2 + b^2}}\)

③　双曲線上の点から 2 つの焦点までの差は

\(\color{red}{2a}\)

④　頂点は　\((a, 0), (-a, 0)\)

⑤　漸近線の方程式は

直線　\(\color{red}{y = \displaystyle\frac{b}{a}x, y = -\displaystyle\frac{b}{a}x}\)

曲線\(F(x, y) = 0\) を\(x\) 軸方向に\(p\), \(y\) 軸方向に\(q\) だけ平行移動して得られる曲線の方程式は

\(\color{red}{F(x – p, y – q) = 0}\) ←通常の平行移動と同じ

2次曲線と直線の方程式から1文字を消去して2次方程式が得られる場合,その2次方程式の実数解の個数と,2次曲線と直線の共有点の個数は一致する。

①　放物線\(y^2 =4px\) 上の点\((x_1 , y_1)\) における接線の方程式は

\(\color{red}{y_1y = 2p(x + x_1)}\)

②　楕円\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)上の点\((x_1 , y_1)\) における接線の方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x_1x}{a^2} + \displaystyle\frac{y_1y}{b^2} = 1}\)

③　双曲線\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} – \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)上の点\((x_1 , y_1)\) における接線の方程式は

\(\color{red}{\displaystyle\frac{x_1x}{a^2} – \displaystyle\frac{y_1y}{b^2} = 1}\)

定点\(F\) と, \(F\) を通らない定直線\(ell\) からの距離の比が \(e : 1\) である点の軌跡は

①　\(0 < e < 1\) のとき　\(F\) を焦点の１つとする楕円

②　\(e = 1\) のとき　\(F\) を焦点, \(\ell\) を準線とする放物線

③　\(e > 1\) のとき　\(F\) を焦点の１つとする双曲線

※\(e\) を離心率という。

①　放物線　\(y^2 = 4px\)
→　\(\color{red}{x = pt^2, y = 2pt}\)

②　円　\(x^2 + y^2 = a^2\)　
→　\(\color{red}{x = a\cos\theta, y = a\sin\theta}\)

③　楕円　\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)　
→　\(\color{red}{x = a\cos\theta, y = b\sin\theta}\)

④　双曲線　\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} – \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\)
→　\(\color{red}{x = \displaystyle\frac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta}\)

⑤　サイクロイド　
→　\(x = a(\theta – \sin\theta), y = a(1 – \cos\theta)\)

※\(p \neq 0 , a > 0, b > 0\)

曲線　\(x = f(t), y = g(t)\) を,\(x\)軸方向に\(p\) ,\(y\)軸方向に\(q\) だけ平行移動した曲線は

\(\color{red}{x = f(t) + p , y = g(t) + q} \)

①　\(\color{red}{x = r\cos\theta , y = r\sin\theta}\)

②　\(\color{red}{r = \sqrt{x^2 + y^2}}\)
\(r \neq 0\) のとき　\(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r}, \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r}\)

①　中心が極\(O\), 半径が\(a\) の円の極方程式は
\(\color{red}{r = a}\)

②　中心の極座標が\((a, 0)\), 半径が\(a\) の円の極方程式は
\(\color{red}{r = 2a\cos\theta}\)

③　中心の極座標が\((r_1, \theta_1)\), 半径が\(a\)の円の極方程式は
\(\color{red}{r^2 + r_1{}^2 – 2rr_1 \cos(\theta – \theta_1) = a^2}\)

①　極\(O\) を通り,　始線とのなす角が\(\alpha\) である直線の極方程式は
\(\color{red}{\theta = \alpha}\)

②　\(A(r_1, \theta_1)\) を通り, OA に垂直な直線の極方程式は
\(\color{red}{r\cos(\theta – \theta_1) = r_1}\)
※\(r_1 > 0\)

極座標が\((a, 0)\) である点を通り,始線 OX に垂直な直線を\(\ell\) とすると、次の極方程式は２次曲線を表す。

\(r = \displaystyle\frac{ea}{1 + e\cos\theta}\)

①　\(0 < e < 1\) のとき　\(O\) を焦点の１つとする楕円

②　\(e = 1\) のとき　\(O\) を焦点, \(\ell\) を準線とする放物線

③　\(e > 1\) のとき　\(O\) を焦点の１つとする双曲線

データを項目別に大きい順に並び替えたグラフに項目の累積度数の全体に対する割合を表す折れ線グラフを重ねた図をパレート図という。グラフの右側の縦軸の目盛りは，累積度数の全体に対する割合（%）を表しており，累積比率という。
※パレート図は，問題を重点化し，効率的かつ効果的に目標を達成するために用いられる。

ある３つの変量を横軸，縦軸，円の大きさで１つの図で表したものをバブルチャートという。
※バブルチャートは，３つの変量を視覚的に捉えることができる点で優れている。

以下のように，いくつかの数や文字を長方形状に書き並べ，両端を括弧で囲んだものを行列といい，括弧の中のそれぞれの数や文字を，この行列の成分という。
また，\(m\) 個の行と\(n\) 個の列からなる行列を\(m\) 行 \(n\) 列の行列、または、\(m \times n\) 行列といい，特に，行と列の個数が等しい\(n \times n\) 行列を，\(n\)次の正方行列という。

\(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 5 \\
4 & 3 & 2 \\
1 & 5 & 3 \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)

２つの行列\(A, B\) が行数と列数がともに等しいとき，\(A\) と \(B\) は同じ型であるという。
\(A, B\)が同じ型であり，かつ対応する成分がそれぞれ等しいとき，\(A\) と \(B\) は等しいといい\(A = B\)で表す。

また、行列\(A, B\)が同じ型であるとき，

\(A, B\) の対応する成分の和を成分とする行列を\(A, B\)の和といい，\(A + B\) で表す。

\(A, B\) の対応する成分の差を成分とする行列を\(A, B\)の差といい，\(A – B\) で表す。

成分がすべて\(0\) である行列を零行列といい，記号\(O\) で表す。

２つの行列\(A, B\)，および零行列 \(O\) について次の計算法則が成り立つ。

① \(A + B = B + A\) （交換法則）

② \((A + B) + C = A + (B + C)\)　（結合法則）

③ \(A – A = O, A + O = A \)

\(k\) を実数とするとき，行列\(A\) の各成分の \(k\) 倍を成分とする行列を\(\color{red}{kA}\) で表す。

２つの行列\(A, B\)，および実数 \(k, l\) について次の計算法則が成り立つ。

① \(k(lA) = (kl)A \)

② \((k + l)A = kA + lA\)

③ \(k(A + B) = kA + kB\)

\(1 \times m\) 行列 を \(m\) 次の行ベクトル，\(n \times 1\) 行列 を \(n\) 次の列ベクトルという。
\(m\) 次の行ベクトル \(A\)， \(m\) 次の列ベクトル\(B\) について，その対応する成分の積の和を，積\(AB\)と定める。

すなわち，

\(A = \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_1 & a_2 & \cdots & a_m\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\) , \(B = \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)　に対して，

積\(AB = \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_1 & a_2 & \cdots & a_m\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)

\(= a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots\cdots + a_mb_m\)

で定める。

一般に，\(m \times n\) 行列 \(A\)， \(n \times l\) 行列\(B\) について，積\(AB\)は\(m \times l\) 行列となり，以下の計算規則が成り立つ。

\(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mn}\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)\(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} &\cdots & b_{1l}\\
b_{21} & b_{22} &\cdots & b_{2l}\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
b_{n1} & b_{n2} &\cdots & b_{nl}\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)

\(= \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cccc}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k1} & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k2} &\cdots & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{kl}\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k1} & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k2} &\cdots & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{kl}\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{k1} & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{k2} &\cdots & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{kl}\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}\)

※ただし，\(A\) の列数と\(B\) の行数が異なるときは，積\(AB\) は考えない。

２つの行列\(A, B\)，および実数 \(k\) について次の計算法則が成り立つ。

① \((kA)B = A(kB) = k(AB)\)

② \((AB)C = A(BC)\) （結合法則）

③ \((A + B) C = AC + BC , A (B + C) = AB + AC\)　（分配法則）

いくつかの点とそれらを結ぶ何本かの線で表された図を離散グラフという。

離散グラフのどの２頂点も，いくつかの辺をたどって一方から他方に行けるとき，離散グラフは連結であるという。

離散グラフの頂点を\(P_1, P_2, \cdots\cdots, P_n\) とするとき，\(n\) 次の正方行列\(A\) の\((i, j)\) 成分を，２つの頂点\(P_i, P_j\) を結ぶ辺の本数とするように定めた行列\(A\) を離散グラフの隣接行列という。