図形と計量（三角比）　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学I）〜

まず、三平方の定理 a² + b² = c² を使って、辺ACの長さを求めます。 AC² + BC² = AB² AC² + 5² = 13² AC² + 25 = 169 AC² = 144 AC = 12 （長さなので正の数）

次に、角Bに着目して三角比を求めます。

• 高さ (角Bの対辺) = AC = 12
• 底辺 (角Bの隣辺) = BC = 5
• 斜辺 = AB = 13

よって、

• sinB = 高さ / 斜辺 = AC / AB = 12/13
• cosB = 底辺 / 斜辺 = BC / AB = 5/13
• tanB = 高さ / 底辺 = AC / BC = 12/5

三角比の相互関係の公式 sin²θ + cos²θ = 1 を使います。 (2/3)² + cos²θ = 1 4/9 + cos²θ = 1 cos²θ = 1 – 4/9 = 5/9 0° < θ < 90° のとき、cosθ は正の数なので、 cosθ = √(5/9) = (√5)/3

次に、公式 tanθ = sinθ / cosθ を使います。 tanθ = (2/3) / ((√5)/3) = 2/3 × 3/√5 = 2/√5 分母を有理化して、tanθ = (2√5)/5

三角比の相互関係の公式 1 + tan²θ = 1/cos²θ を使います。 1 + 2² = 1/cos²θ 1 + 4 = 1/cos²θ 5 = 1/cos²θ cos²θ = 1/5 0° < θ < 90° のとき、cosθ は正の数なので、 cosθ = √(1/5) = 1/√5 = (√5)/5

次に、公式 sinθ = tanθ × cosθ を使います。 sinθ = 2 × (1/√5) = 2/√5 = (2√5)/5

30°, 45°, 60°の三角比は、特別な直角三角形の辺の比から導かれます。これらは必ず覚えましょう。

(1) sin30° = 1/2 (2) cos45° = 1/√2 （または √2/2） (3) tan60° = √3

三角比の定義を利用して辺の長さを計算します。

• AC = AB × sinB
• BC = AB × cosB

(辺ACの長さ) AC = 8 × sin30° sin30° = 1/2 なので、 AC = 8 × (1/2) = 4

(辺BCの長さ) BC = 8 × cos30° cos30° = √3/2 なので、 BC = 8 × (√3/2) = 4√3

(xの値を求める) tanA = BC / AC なので x = AC × tanA x = 6 × tan60° tan60° = √3 なので、 x = 6√3

(yの値を求める) cosA = AC / AB なので y = AC / cosA y = 6 / cos60° cos60° = 1/2 なので、 y = 6 / (1/2) = 6 × 2 = 12

分かっている辺は、斜辺(AB)と、角Aの隣辺(AC)です。 この2つの辺の関係は cos で表せます。 cosA = 隣辺 / 斜辺 = AC / AB cosA = 3 / 6 = 1/2 cosA = 1/2 となる角度Aは 60° です。

分かっている辺は、角Aの対辺(BC)と、角Aの隣辺(AC)です。 この2つの辺の関係は tan で表せます。 tanA = 対辺 / 隣辺 = BC / AC tanA = 7 / 7 = 1 tanA = 1 となる角度Aは 45° です。

まず、目の高さから上の部分の木の高さを求めます。この高さを hとします。 地点Pから木までの水平距離は12mです。 tan30° = 高さ / 底辺 = h / 12 という関係が成り立ちます。 h = 12 × tan30° tan30° = 1/√3なので、 h = 12 / √3 = 4√3

√3 ≒ 1.732 なので、 h ≒ 4 × 1.732 = 6.928 m

木の全体の高さは、この h に目の高さ 1.6m を加えたものです。 木の高さ = 6.928 + 1.6 = 8.528 m

小数第2位を四捨五入すると、答えは 8.5m となります。

\(120^\circ\) は \(180^\circ – 60^\circ\) と考えることができます。

三角比の公式 \(\sin(180^\circ – \theta) = \sin\theta\) を使います。

この公式で \(\theta = 60^\circ\) とすると、

\(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ – 60^\circ) = \sin 60^\circ\)

よって、\(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) となります。

\(135^\circ\) は \(180^\circ – 45^\circ\) と考えることができます。

三角比の公式 \(\cos(180^\circ – \theta) = -\cos\theta\) を使います。

この公式で \(\theta = 45^\circ\) とすると、

\(\cos 135^\circ = \cos(180^\circ – 45^\circ) = -\cos 45^\circ\)

よって、\(\cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) （または \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)）となります。

\(150^\circ\) は \(180^\circ – 30^\circ\) と考えることができます。

三角比の公式 \(\tan(180^\circ – \theta) = -\tan\theta\) を使います。

この公式で \(\theta = 30^\circ\) とすると、

\(\tan 150^\circ = \tan(180^\circ – 30^\circ) = -\tan 30^\circ\)

よって、\(\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) （または \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)）となります。

三角比の相互関係の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使います。

\(\sin\theta = \frac{4}{5}\) を代入すると、

\((\frac{4}{5})^2 + \cos^2\theta = 1\)

\(\frac{16}{25} + \cos^2\theta = 1\)

\(\cos^2\theta = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\)

\(\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}\)

ここで、\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) の範囲を考えます。

(i) \(\theta\) が鋭角 (\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)) の場合

\(\cos\theta > 0\) なので、\(\cos\theta = \frac{3}{5}\)

このとき、\(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}\)

(ii) \(\theta\) が鈍角 (\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)) の場合

\(\cos\theta < 0\) なので、\(\cos\theta = -\frac{3}{5}\)

このとき、\(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}\)

よって、答えは

\(\cos\theta = \frac{3}{5}, \tan\theta = \frac{4}{3}\) または \(\cos\theta = -\frac{3}{5}, \tan\theta = -\frac{4}{3}\) の2組です。

公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使います。

\(\cos\theta = -\frac{12}{13}\) を代入すると、

\(\sin^2\theta + (-\frac{12}{13})^2 = 1\)

\(\sin^2\theta + \frac{144}{169} = 1\)

\(\sin^2\theta = 1 – \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\)

\(\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}\)

問題の条件で \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) なので、\(\sin\theta > 0\) です。

よって、\(\sin\theta = \frac{5}{13}\)

次に \(\tan\theta\) を求めます。公式 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) を使います。

\(\tan\theta = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}\)

答え：\(\sin\theta = \frac{5}{13}, \tan\theta = -\frac{5}{12}\)

公式 \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) を使います。

\(\tan\theta = -3\) を代入すると、

\(1 + (-3)^2 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

\(1 + 9 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

\(10 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

\(\cos^2\theta = \frac{1}{10}\)

\(\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\tan\theta = -3\) は負の値なので、\(\theta\) は鈍角 (\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)) です。

鈍角のとき \(\cos\theta < 0\) なので、\(\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}\)

次に \(\sin\theta\) を求めます。公式 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) を変形して \(\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta\) とします。

\(\sin\theta = (-3) \times (-\frac{1}{\sqrt{10}}) = \frac{3}{\sqrt{10}}\)

答え：\(\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}, \cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}\) （有理化して \(\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}\) でもよい）

\(180^\circ – \theta\) の公式を使って、角度を鋭角にそろえます。

\(\cos 110^\circ = \cos(180^\circ – 70^\circ) = -\cos 70^\circ\)

\(\cos 160^\circ = \cos(180^\circ – 20^\circ) = -\cos 20^\circ\)

さらに、\(90^\circ – \theta\) の公式 \(\cos(90^\circ – \theta) = \sin\theta\)、\(\sin(90^\circ – \theta) = \cos\theta\) を使います。

\(\sin 70^\circ = \sin(90^\circ – 20^\circ) = \cos 20^\circ\)

\(\cos 70^\circ = \cos(90^\circ – 20^\circ) = \sin 20^\circ\)

これらを元の式に代入します。

元の式 =\(\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ\)

\(= \sin 20^\circ + \cos 20^\circ – \cos 70^\circ – \cos 20^\circ\)

\(= \sin 20^\circ + \cos 20^\circ – \sin 20^\circ – \cos 20^\circ = 0\)

答え：\(0\)

直線の傾きは \(\tan\theta\) と等しくなります。

この直線の傾きは \(-\sqrt{3}\) です。

よって、\(\tan\theta = -\sqrt{3}\) となります。

\(\tan\theta\) が負の値なので、\(\theta\) は鈍角です。

まず、\(\tan\alpha = \sqrt{3}\) となる鋭角 \(\alpha\) を考えます。

\(\alpha = 60^\circ\) です。

公式 \(\tan(180^\circ – \alpha) = -\tan\alpha\) を使うと、

\(\tan(180^\circ – 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}\)

したがって、\(\theta = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\) です。

答え：\(\theta = 120^\circ\)

それぞれの三角比の値を求めます。

\(\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}\)

\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)

これらの値を元の式に代入します。

式 = \((-\sqrt{3}) \times (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \times (-\frac{1}{\sqrt{3}})\)

= \(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\)

= \(-\frac{2}{2}\)

= \(-1\)

答え：\(-1\)

この式を展開します。

\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta\)

\((\sin\theta – \cos\theta)^2 = \sin^2\theta – 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta\)

これらを足し合わせます。

式 = \((\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta – 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)\)

\(= \sin^2\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta\)

（\(2\sin\theta\cos\theta\) と \(-2\sin\theta\cos\theta\) は打ち消し合って 0 になります）

ここで、三角比の基本公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使います。

式 = \(1 + 1 = 2\)

この結果は \(\theta\) の値に関わらず常に成り立ちます。

答え：2

2つの角と1つの辺がわかっている場合、正弦定理を使って他の辺の長さを求めることができます。 正弦定理は a/sinA = b/sinB = c/sinC です。

1. 正弦定理を立てる 問題の条件から、 a/sinA = b/sinB の関係を使います。 6/sin45° = b/sin60°
2. bについて解く b = 6 × (sin60° / sin45°)
3. sinの値を代入して計算する sin45° = 1/√2 , sin60° = √3/2 なので、b = 6 × ( (√3/2) / (1/√2) ) b = 6 × (√3/2) × √2 b = 3√6

【答え】 b = 3√6

2つの辺とその片方の対角がわかっている場合、正弦定理を使って他の角の大きさを求めることができます。

1. 正弦定理を立てる a/sinA = b/sinB の関係を使います。 2/sin45° = √6/sinB
2. sinBについて解く 2sinB = √6 sin45° sinB = (√6 / 2) × sin45°
3. sinの値を代入して計算する sin45° = 1/√2 なので、 sinB = (√6 / 2) × (1/√2) sinB = √3 / 2
4. Bの値を求める sinB = √3/2 となる角Bは、B = 60° または B = 120°です。 ここで、A+B < 180° である必要があります。
   • B = 60° の場合、 A+B = 45°+60° = 105° < 180° なので、三角形は成立します。
   • B = 120° の場合、 A+B = 45°+120° = 165° < 180° なので、こちらも三角形は成立します。
   問題文に特別な条件がないため、考えられる可能性は2つあります。 （※もし b>a ならば B>A であることから角度を絞り込める場合もありますが、この問題では両方とも解となります。）

【答え】 B = 60° または 120°

外接円の半径Rは、正弦定理 a/sinA = 2R を使って求めることができます。

1. 正弦定理を立てる 角Cと辺cがわかっているので、 c/sinC = 2R の関係を使います。 (4√2) / sin135° = 2R
2. Rについて解く R = (4√2) / (2 sin135°)
3. sinの値を代入して計算する sin135° = 1/√2 なので、 R = (4√2) / (2 × 1/√2) R = (4√2 × √2) / 2 R = 8 / 2 = 4

【答え】 R = 4

2辺とその間の角がわかっている場合、余弦定理を使って残りの辺の長さを求めることができます。 余弦定理は a² = b² + c² - 2bc cosA です。

1. 余弦定理に値を代入する a² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cos60°
2. cosの値を代入して計算する cos60° = 1/2 なので、 a² = 16 + 25 - 2 × 4 × 5 × (1/2) a² = 41 - 20 a² = 21
3. aの値を求める 辺の長さは正なので、 a = √21

【答え】 a = √21

3辺の長さがわかっている場合、余弦定理を使って角の大きさを求めることができます。 余弦定理の変形版 cosA = (b² + c² - a²) / 2bc を使います。

1. 余弦定理に値を代入する cosA = (3² + 4² - (√13)²) / (2 × 3 × 4)
2. 値を計算する cosA = (9 + 16 - 13) / 24 cosA = 12 / 24 cosA = 1/2
3. Aの値を求める cosA = 1/2 となる角Aは、 0° < A < 180° の範囲で A = 60° です。

【答え】 A = 60°

2辺とその間の角がわかっているので、まず余弦定理で残りの辺bを求め、次に正弦定理で角Cを求めます。

1. 余弦定理で辺bを求める b² = a² + c² - 2ac cosB b² = (2√3)² + 2² - 2 × (2√3) × 2 × cos150° cos150° = -√3/2 なので、 b² = 12 + 4 - 8√3 × (-√3/2) b² = 16 + (8 × 3 / 2) b² = 16 + 12 = 28 b = √28 = 2√7
2. 正弦定理で角Cを求める c/sinC = b/sinB 2/sinC = (2√7)/sin150° sinC = (2 × sin150°) / (2√7) sin150° = 1/2 なので、 sinC = (2 × 1/2) / (2√7) sinC = 1 / (2√7) = √7 / 14sinC = √7 / 14 となるような有名な角度はないため、解答はこのままで構いません。

【答え】 b = 2√7, sinC = √7 / 14

 2辺とその片方の対角がわかっている場合、正弦定理で他の角を求めます。このとき解が2つ存在する可能性があるので注意が必要です。

1. 正弦定理で角Bを求める a/sinA = b/sinB √2 / sin30° = 2 / sinB √2 sinB = 2 sin30° sinB = (2 × 1/2) / √2 = 1/√2 0° < B < 180° の範囲で B = 45° または B = 135°
2. 場合分けしてcとCを求める
4. (i) B = 45° の場合 C = 180° - (A + B) = 180° - (30° + 45°) = 105° 正弦定理 c/sinC = a/sinA を使ってcを求める。 c / sin105° = √2 / sin30° c = (√2 × sin105°) / (1/2) = 2√2 sin105°sin105° = sin(60°+45°) = sin60°cos45° + cos60°sin45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6+√2)/4 c = 2√2 × (√6+√2)/4 = (√12+√4)/2 = (2√3+2)/2 = √3+1
6. (ii) B = 135° の場合 C = 180° - (A + B) = 180° - (30° + 135°) = 15° 同様にcを求める。 c / sin15° = √2 / sin30° c = (√2 × sin15°) / (1/2) = 2√2 sin15° sin15° = sin(45°-30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6-√2)/4 c = 2√2 × (√6-√2)/4 = (√12-√4)/2 = (2√3-2)/2 = √3-1

【答え】 B = 45°, C = 105°, c = √3+1 または B = 135°, C = 15°, c = √3-1

正弦定理と余弦定理を用いて、式を辺の長さ a, b, c の関係式に直します。外接円の半径をRとします。

1. 正弦定理・余弦定理を代入する 正弦定理より sinA = a/2R, sinB = b/2R 余弦定理より cosC = (a² + b² - c²) / 2ab これらを元の式 sinA = sinB cosC に代入します。 a/2R = (b/2R) × (a² + b² - c²) / 2ab
2. 式を整理する 両辺に 2R を掛けて消去します。 a = b × (a² + b² - c²) / 2ab 右辺のbを約分します。 a = (a² + b² - c²) / 2a 両辺に 2a を掛けます。 2a² = a² + b² - c²
3. 結論を導く a² + c² = b² これは三平方の定理の形であり、辺bを斜辺とする直角三角形であることを示しています。

【答え】 B=90° の直角三角形

三角形の面積は、2辺とその間の角のsinを使って求めることができます。 面積の公式 S = (1/2)ab sinC を使います。

1. 面積の公式に値を代入する S = (1/2) × 5 × 6 × sin45°
2. sinの値を代入して計算する sin45° = √2/2 なので、 S = (1/2) × 30 × (√2/2) S = 15√2 / 2

【答え】 S = 15√2 / 2

対角線ACによって四角形ABCDは、△ABCと△ADCの2つの三角形に分けられます。ACは両方の三角形に共通する辺です。このACの長さを余弦定理で2通りに表します。 また、円に内接する四角形の性質「向かい合う角の和は180°」を利用します (∠ADC = 180° - ∠ABC)。

1. △ABCで余弦定理を用いる AC² = AB² + BC² - 2(AB)(BC)cos∠ABCAC² = 2² + 4² - 2 × 2 × 4 × cos∠ABC AC² = 4 + 16 - 16cos∠ABC AC² = 20 - 16cos∠ABC … ①
2. △ADCで余弦定理を用いる AC² = AD² + CD² - 2(AD)(CD)cos∠ADC∠ADC = 180° - ∠ABC なので cos∠ADC = cos(180° - ∠ABC) = -cos∠ABC AC² = 2² + 3² - 2 × 2 × 3 × (-cos∠ABC) AC² = 4 + 9 + 12cos∠ABC AC² = 13 + 12cos∠ABC … ②
3. ①と②からcos∠ABCを求める 20 - 16cos∠ABC = 13 + 12cos∠ABC7 = 28cos∠ABC cos∠ABC = 7 / 28 = 1/4
4. ACの長さを求める 求めた cos∠ABC の値を①式に代入します。 AC² = 20 - 16 × (1/4) AC² = 20 - 4 = 16 AC > 0 なので AC = 4

【答え】 cos∠ABC = 1/4, AC = 4