指数対数　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

【解説】

(1) $3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$ 

(2) $(-2{)}^5=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32$ 

(3) $-5^2=-(5\times 5)=-25$ （指数は直前の5にのみかかっている）

(4) $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ （負の指数は逆数を意味する）

【解説】 指数法則 $a^m\times a^n=a^{m+n}$、$(a^m{)}^n=a^{mn}$、$(ab{)}^n=a^n{b}^n$ を用いる。

(1) $a^6\times a^{-2}=a^{6+(-2)}=a^4$ 

(2) $(a^3{)}^{-2}=a^{3\times (-2)}=a^{-6}$ （または \(\displaystyle\frac{1}{a^6}\)）

(3) $(a^2{b}^{-1}{)}^3=(a^2{)}^3\times (b^{-1}{)}^3=a^{2\times 3}\times b^{(-1)\times 3}=a^6{b}^{-3}$ （または \(\displaystyle\frac{a^6}{b^3}\)）

【解説】 指数法則 $a^m÷a^n=a^{m-n}$ を用いる。

 $a^8÷a^2=a^{8-2}=a^6$

【解説】 割り算を分数で考え、文字ごとに指数法則 $a^m÷a^n=a^{m-n}$ を適用する。

\(\displaystyle\frac{x^4y^{-3}}{x^{-2}y^2} = x^{4-(-2)}y^{-3-2} = x^{4 + 2}y^{-5} = x^{6}y^{-5}\)

（または \(\displaystyle\frac{x^6}{y^5}\)）

【解説】 

(1) 0以外の数の0乗は1である。よって ${123}^0=1$ 

(2) $(\frac{1}{3}{)}^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$

 別解：$(\frac{a}{b}{)}^{-n}=(\frac{b}{a}{)}^n$ を利用して $(\frac{1}{3}{)}^{-2}=(\frac{3}{1}{)}^2=3^2=9$

【解説】 

(1) $\sqrt[3]{125}$​ は「3乗して125になる数」のこと。$5^3=125$ なので、$\sqrt[3]{125}=5$ 

(2) $\sqrt[5]{-32}$ は「5乗して-32になる数」のこと。$(-2{)}^5=-32$ なので、$\sqrt[5]{-32}=-2$ 

(3) $\sqrt[4]{81}$ は「4乗して81になる正の数」のこと。$3^4=81$ なので、$\sqrt[4]{81}=3$

【解説】 累乗根の性質 $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$​、$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ を用いる。

(1) $\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{2\times 32}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$ 

(2) $\frac{\sqrt[4]{96}}{\sqrt[4]{6}}=\sqrt[4]{\frac{96}{6}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2$

【解説】 定義 $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ と $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ を用いる。

(1) $\sqrt[7]{a^2}=a^{\frac{2}{7}}$ 

(2) $\frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}=\frac{1}{a^{\frac{3}{5}}}=a^{-\frac{3}{5}}$​

【解説】 

(1) ${64}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$ 

(2) ${16}^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=(\sqrt[4]{2^4}{)}^3=2^3=8$

(3) ${27}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{{27}^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{(\sqrt[3]{27}{)}^2}=\frac{1}{(\sqrt[3]{3^3}{)}^2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

【解説】 底が同じなので、指数法則を使って指数の足し算・引き算を行う。

$a^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{3}}÷a^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}$ 指数部分を通分して計算する。

 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=\frac{3+2-5}{6}=\frac{0}{6}=0$

よって、答えは $a^0=1$

【解説】 まず、すべての項を有理数の指数で表す。 $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$​, $\sqrt[6]{a}=a^{\frac{1}{6}}$​, $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$よって、与えられた式は 

$a^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{6}}÷a^{\frac{1}{3}}$ となる。

指数法則を適用すると

（与式） $=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{6}+\frac{1}{6}-\frac{2}{6}}=a^{\frac{3+1-2}{6}}=a^{\frac{2}{6}}=a^{\frac{1}{3}}$（または $\sqrt[3]{a}$​）

【解説】 累乗根の指数をそろえて比較する。根号の中の数を比べるために、すべてを6乗根にそろえる。指数の分母を6（2, 3, 6の最小公倍数）にする。 

$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=(2^3{)}^{\frac{1}{6}}=8^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{8}$ 

$\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=(3^2{)}^{\frac{1}{6}}=9^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{9}$ 

$\sqrt[6]{7}$ はそのまま。 $\sqrt[6]{7},\sqrt[6]{8},\sqrt[6]{9}$ の3つを比較する。根号の中の数の大小は $7<8<9$である。

よって、$\sqrt[6]{7}<\sqrt[6]{8}<\sqrt[6]{9}$​ 元の数に戻すと

 $\sqrt[6]{7}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$

【解説】 方程式の両辺の底をそろえる。底を2にする。

左辺: $8^x=(2^3{)}^x=2^{3x}$

 右辺: $16=2^4$ 

よって、

 $2^{3x}=2^4$

 となる。

底が等しいので、指数も等しくなる。

$3x=4$ 

$x=\frac{4}{3}$

【解説】

底を3にそろえる。

左辺: $9^x=(3^2{)}^x=3^{2x}$

よって、方程式は

$3^{2x}=3^{x+3}$

となる。

指数を比較して、

$2x=x+3$ 

$x=3$

【解説】

不等式の両辺の底をそろえる。底を $\frac{1}{3}$​ にする。

右辺: $\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=(\frac{1}{3}{)}^4$

よって、不等式は 

$(\frac{1}{3}{)}^x>(\frac{1}{3}{)}^4$ 

となる。

底 $(\frac{1}{3})$ は $0<\frac{1}{3}<1$の範囲にある。

底が1より小さい場合、指数の大小関係は不等号の向きが逆になる。

よって、指数を比較すると、 

$x<4$

【解説】

\(16\) を素因数分解すると \(2^4\) であり

\(\log_a a^p = p\) であるから

\(\log_2 16 = \log_2 2^{4} = 4\)

【解説】

\(\frac{1}{27}\) を素因数分解すると \((\frac{1}{3})^3\) であり

\(\log_a a^p = p\) であるから

\(\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (\frac{1}{3})^3 = 3\)

【解説】

対数の定義 logₐ M = p ⇔ aᵖ = M を用います。

この問題では、底 a=5、指数 p=-2、真数 M=x にあたります。

指数の形 aᵖ = M に直すと、5⁻² = x となります。

5⁻² = 1/5² = 1/25 なので、x = 1/25 です。

【解説】

対数の性質 logₐ M + logₐ N = logₐ (MN) を利用します。

底が 6 で同じなので、式をひとつにまとめられます。

log₆ 12 + log₆ 3 = log₆ (12 × 3) = log₆ 36

36 = 6² なので、log₆ 36 = log₆ 6² となります。

対数の性質 logₐ aᵖ = p より、log₆ 6² = 2 です。

したがって、答えは 2 です。

【解説】

対数の性質 logₐ M – logₐ N = logₐ (M/N) を利用します。

底が 2 で同じなので、式をひとつにまとめられます。

log₂ 40 – log₂ 5 = log₂ (40 / 5) = log₂ 8

8 = 2³ なので、log₂ 8 = log₂ 2³ となります。

対数の性质 logₐ aᵖ = p より、log₂ 2³ = 3 です。

したがって、答えは 3 です。

【解説】

まず 2log₃ 6 を変形します。対数の性質 p logₐ M = logₐ Mᵖ を利用します。

2log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36

これで、与えられた式は log₃ 36 – log₃ 4 となりました。

次に対数の性質 logₐ M – logₐ N = logₐ (M/N) を利用します。

log₃ 36 – log₃ 4 = log₃ (36 / 4) = log₃ 9

9 = 3² なので、log₃ 9 = log₃ 3² = 2 です。

したがって、答えは 2 です。

【解説】

底が 4、真数が 32 で、32 は 4 の累乗ではないため、直接計算が難しいです。こういう場合は底の変換公式 logₐ b = logₓ b / logₓ a を使います。

4 = 2²、32 = 2⁵ なので、2 を新しい底 x に選ぶと計算が簡単になります。

log₄ 32 = log₂ 32 / log₂ 4

分子は log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5 です。

分母は log₂ 4 = log₂ 2² = 2 です。

よって、log₄ 32 = 5 / 2 となります。

【解説】

底が異なる対数の積なので、底の変換公式を使います。log₅ 9 の底を 3 に変換してみます。

log₅ 9 = log₃ 9 / log₃ 5

元の式に代入すると、log₃ 5 ⋅ (log₃ 9 / log₃ 5) となります。

log₃ 5 が分子と分母にあるので、約分できます。

log₃ 5 ⋅ (log₃ 9 / log₃ 5) = log₃ 9

9 = 3² なので、log₃ 9 = log₃ 3² = 2 です。

したがって、答えは 2 です。

【解説】

まず、真数条件を確認します。対数の中身（真数）は常に正でなければなりません。

x – 1 > 0  よって x > 1

log₂ (x – 1) = 4 を対数の定義を使って、指数の形に直します。

2⁴ = x – 1

2⁴ = 16 なので、16 = x – 1 となります。

x について解くと、x = 17 です。

この解 x = 17 は、真数条件 x > 1 を満たしています。

したがって、解は x = 17 です。

【解説】

まず、真数条件を確認します。x > 0 と x – 8 > 0 の両方を満たす必要があります。

x > 0 かつ x > 8  よって x > 8

方程式の左辺を対数の性質 logₐ M + logₐ N = logₐ (MN) を使ってまとめます。

log₃ (x(x – 8)) = 2

対数の定義を使い、指数の形に直します。

3² = x(x – 8)

9 = x² – 8x

二次方程式 x² – 8x – 9 = 0 を解きます。

(x – 9)(x + 1) = 0

x = 9 または x = -1

これらの解が真数条件 x > 8 を満たすか確認します。

• x = 9 は x > 8 を満たします。
• x = -1 は x > 8 を満たしません。

したがって、解は x = 9 です。

【解説】

まず、真数条件を確認します。

• x – 3 > 0  よって x > 3 … ①

不等式の右辺 2 を、左辺と底を揃えるために底 5 の対数で表します。

2 = 2 ⋅ log₅ 5 = log₅ 5² = log₅ 25

不等式は log₅ (x – 3) < log₅ 25 となります。

底 5 は 1 より大きいので、対数を外しても不等号の向きは変わりません。

x – 3 < 25

x < 28 … ②

①と②の両方を満たす範囲が解となります。

3 < x < 28

【解説】

まず、真数条件を確認します。

x + 1 > 0  よって x > -1 … ①

不等式の右辺 \(-3\) を、底 \(\displaystyle\frac{1}{2}\) の対数で表します。

\(-3 = \log_\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{-3} = \log_\frac{1}{2} 8\)

したがって、不等式は \(\log_\frac{1}{2} (x + 1) > \log_\frac{1}{2} 8\) となります。

底 \(\frac{1}{2}\) は 0 より大きく 1 より小さいので、対数を外すと不等号の向きが逆になります。

x + 1 < 8

x < 7 … ②

①と②の両方を満たす範囲が解となります。

-1 < x < 7

【解説】

真数 6 を、与えられた対数の真数 2 と 3 を使って表します。6 = 2 × 3

log₁₀ 6 = log₁₀ (2 × 3)

対数の性質 logₐ (MN) = logₐ M + logₐ N を利用します。

log₁₀ (2 × 3) = log₁₀ 2 + log₁₀ 3

与えられた値を代入します。

0.3010 + 0.4771 = 0.7781

したがって、log₁₀ 6 = 0.7781 です。

【解説】

ある整数 N が k 桁である条件は、10ᵏ⁻¹ ≦ N < 10ᵏ です。

この式の各辺の常用対数（底が10の対数）をとると、k – 1 ≦ log₁₀ N < k となります。

つまり、log₁₀ N の値がわかれば、N の桁数 k がわかります。

N = \(2^{30}\) として log₁₀ \(2^{30}\) を計算します。

log₁₀ \(2^{30}\) = 30 × log₁₀ 2

log₁₀ 2 = 0.3010 を代入します。

30 × 0.3010 = 9.030

log₁₀ \(2^{30}\) = 9.030 なので、9 ≦ log₁₀ \(2^{30}\) < 10 が成り立ちます。

k – 1 = 9 となるので、k = 10 です。

したがって、\(2^{30}\) は 10 桁の整数です。

まず、真数条件を確認します。x > 0 と x⁴ > 0 の両方を満たす必要があります。x⁴ > 0 は x ≠ 0 を意味するので、共通の条件は x > 0 です。

方程式の log₂ x⁴ を変形します。

log₂ x⁴ = 4 log₂ x

これで方程式は (log₂ x)² – 4 log₂ x = 0 となります。

log₂ x が繰り返し現れるので、t = log₂ x と置き換えます。

t² – 4t = 0

この t についての二次方程式を解きます。

t(t – 4) = 0

t = 0 または t = 4

t を log₂ x に戻して、x の値を求めます。

• t = 0 のとき: log₂ x = 0  →  x = 2⁰ = 1
• t = 4 のとき: log₂ x = 4  →  x = 2⁴ = 16

どちらの解も真数条件 x > 0 を満たしています。

したがって、解は x = 1, 16 です。