０．扱う用語一覧
２つの整数 \(a , b\) について，ある整数 \(k\) を用いて, \(a=bk\)と表されるとき，\(b\)は\(a\)の約数，\(a\)は\(b\)の倍数であるという。
例題
\(a\) と \(a+b\) がともに \(5\) の倍数であるとき、\(b\)は\(5\)の倍数であることを証明せよ。
解答
\(a\) と \(a+b\) が \(5\) の倍数であるとき,整数\(k, l\)を用いて
\(a = 5k\), \(a+b = 5l\)
と表せる。
したがって、
\(b = 5l – a\)
\(= 5l – 5k\)
\(= 5 (l – k)\)
より，
\(b\) は \(5\) の倍数である。
素数…\(2\) 以上の自然数で，\(1\) とそれ自身以外に正の約数をもたない数
因数…整数がいくつかの整数の積で表されるとき，積を作る１つ１つの整数
素因数…素数である因数
素因数分解…自然数を素数だけの積の形に表すこと
公約数…\(2\) つ以上の整数に共通な約数
最大公約数…公約数のうち最大のもの
例題
\(24, 84\) の最大公約数を求めよ。
解答
\(24 = 2^3 \cdot 3\)
\(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\)
よって，最大公約数は
\(2^2 \cdot 3 = 12\)
※素因数分解したときの共通部分となる
公倍数…２つ以上の整数に共通な倍数
最小公倍数…公倍数のうち正で最小のもの
例題
\(30, 200\)の最小公倍数を求めよ。
解答
\(30=2 \cdot 3 \cdot 5\)
\(200=2^3 \cdot 5^2\)
よって、最小公倍数は
\(2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 600\)
※素因数分解したときのどちらか一方に含まれる数の積となる
2つの整数 \(a, b\) の最大公約数が \(1\) であるとき， \(a, b\) は互いに素であるといい、次が成り立つ
\(a, b\) が互いに素で，\(ak\) が \(b\) の倍数であるならば，\(k\) は \(b\) の倍数である
例題
\(9\) と \(21\) は互いに素であるかどうかを答えよ。
解答
\(9\) と \(21\) はともに \(3\) の倍数であるから最大公約数は \(3\) である
したがって、互いに素ではない
１．倍数の判定法
\(2\) の倍数 … 一の位が偶数 \((0, 2, 4, 6, 8)\)
\(3\) の倍数 … 各位の数の和が \(3\) の倍数
\(4\) の倍数 … 下 \(2\) 桁が \(4\) の倍数
\(5\) の倍数 … 一の位が \(0\) か \(5\)
\(8\) の倍数 … 下 \(3\) 桁が \(8\) の倍数
\(9\) の倍数 … 各位の数の和が \(9\) の倍数
\(10\) の倍数 … 一の位が \(0\)
\(11\) の倍数 … （偶数桁目の数の和）と（奇数桁目の数の和）の差が \(11\) の倍数
２．約数の個数
自然数 \(N=p^aq^br^c\cdots\cdots\) と素因数分解できるとき，\(N\) の正の約数の個数は
\((a+1)(b+1)(c+1)\cdots\cdots\)
となる。
例題
\(72\) の正の約数の個数を求めよ。
解答
\(72={2^3} \cdot {3^2}\) より
\(4 \cdot 3 =12\)
より \(12\)個
３．整数の割り算
整数\(a\)と正の整数\(b\)に対して
\(a = bq + r, 0 \leq r < b\)
を満たす整数 \(q, r\) はただ１通りに定まる。
４．余りによる整数の分類
余りに着目した整数 \(A\) のおき方
整数 \(A\) は正の整数 \(m\) で割ったときの余りに着目して，次のようにおくことができる
\(mk, mk+1, mk+2, \cdots\cdots, mk + (m-1)\)
例：「ある整数 \(A\) は \(3\) で割ったときの余りが \(2\) である～」
→ \(A = 3k+2 \) (ただし，\(k\) は整数)と表せる
５．ユークリッドの互除法
２つの自然数 \(a, b\) について，\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\) , 余りを \(r\) とすると
\(a\) と \(b\) の最大公約数は，\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい
次の手順で \(a,b\) の最大公約数を求めることができる
STEP① \(a\) を \(b\) で割ったときの余り \(r\) を求める
STEP② \(b\) を \(r\) で割ったときの余り \(s\) を求める
（以下、割る数を余りで割ることを繰り返す）
STEP③ STEP②の結果、余りが \(0\) になったときの割る数が最大公約数となる
例題
次の2つの整数の最大公約数を求めよ。
\(221, 153\)
解答
\(221 = 153 \cdot 1 + 68\)
\(153 = 68 \cdot 2 + 17\)
\(68 = 17 \cdot 4 + 0\)
よって、\(221\) と \(153\) の最大公約数は
\(17\)
となる
６．\(n\)進法
位取りの基礎を \(n\) として数を表す方法を \(n\) 進法という。また、位取りの基礎となる数 \(n\) を底という。
例題
① 次の数を10進法で表せ。
\(101_{(2)}\)
② 次の10進法の数を[ ]内の表し方で表せ。
\(744\) [3進法]
解答
① \(101_{(2)}\) は
百の位(\(2^2\))の位が\(1\) , 十の位(\(2^1\))の位が \(0\) ，一の位が \(1\) より
\(101_{(2)}\)
\(= 2^2 \times 1 + 2^1 \times 0 +1 \times 1\)
\(= 5\)
② \(744 = 3 \cdot 248 + 0\)
\(248 = 3 \cdot 82 + 2\)
\(82 = 3 \cdot 27 + 1\)
\(27 = 3 \cdot 9 + 0\)
\(9 = 3 \cdot 3 + 0\)
\(3 = 3 \cdot 1 +0\)
よって，
3進法で表すと
\(1000120_{(3)}\)
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