１．比例・反比例
\(x\) が \(y\) に比例するとき
\(y = ax (a: 比例定数) \)
例題
\(x\) が \(y\) に比例し、\(x = 2\) のとき, \(y = 6\) であるとき, \(x\) と \(y\) の関係式を表せ。
解答
求める式を
\(y = ax (a:定数)\)
とおく。
\(x = 2\) のとき, \(y = 6\) より,
\(6 = 2a\)
よって
\(a = 3\)
したがって、
\(y=3x\)
\(x\) が \(y\) に反比例するとき
\(y= \displaystyle\frac{a}{x} (a:比例定数)\)
例題
\(x\) が \(y\) に反比例し、\(x = 3\) のとき, \(y = 1\) であるとき, \(x\) と \(y\) の関係式を表せ。
解答
求める式を
\(y= \displaystyle\frac{a}{x} (a:定数)\)
とおく。
\(x = 3\) のとき, \(y = 1\) より,
\(1 = \displaystyle\frac{a}{3} \)
よって
\(a = 3\)
したがって、
\(y= \displaystyle\frac{3}{x} \)
点\((a, b)\)に関して
\(x\)軸対称 → \((a, -b)\)
\(y\)軸対称 → \((-a, b)\)
原点対称 → \((-a, -b)\)
※\(x\)軸対称は\(y\),\(y\)軸対称は\(x\),原点対称は\(x, y\)両方の符号が変わる
例題
点\((2, -3)\)を\(x\)軸, \(y\)軸, 原点に関して，それぞれ対称移動して得られる各点の座標を求めよ。
解答
\(x\)軸対称：点\((2, 3)\)
\(y\)軸対称：点\((-2, -3)\)
原点対称：点\((-2, 3)\)
\(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\)のとき
線分AB の中点Mの座標は
\(M(\displaystyle\frac{ x_{1}+ x_{2}}{2},\displaystyle \frac{ y_{1}+ y_{2}}{2})\)
例題
2点\((2, 3)\), \(B(4, 7)\) の中点\(M\) の座標を求めよ。
解答
\(M(\displaystyle\frac{ 2 + 4 }{2},\displaystyle \frac{ 3 + 7}{2})\)
\(M(3, 5)\)
２．１次関数
1次関数 \(y = ax + b\)のグラフは
傾き\(a\), \(y\) 切片が \(b\) の直線
※\(a\) が正 → 右上がり直線
\(a\) が負 → 右下がり直線
グラフの手順
① \(x\) 軸, \(y\) 軸, 原点をかく
② \(y\) 切片（\(y\) 軸との交点）をとる
③ グラフの概形をかく
①点 \((x_1, y_1)\) を通り，傾き\(m\) の直線の方程式
→ \(y – y_1 = m (x – x_1)\)
②異なる2点 \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) を通る直線の方程式
→ ・\(x_1 \neq x_2\) のとき
\(y – y_1 = \displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)\)
・\( x_1 = x_2\) のとき
\(x = x_1\)
※\(\displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\)は直線の傾きを表している
例題
① 点 \((2, 3)\) を通り、傾きが \(2\) である直線の方程式を求めよ。
② 2点 \((2, 2)\), \((4, 8)\) を通る直線の方程式
解答
①
\(y – 3 = 2 (x – 2)\)
よって
\(y = 2x – 1\)
②
\(y – 2 = \displaystyle\frac{8 – 2}{4 – 2}(x – 2)\)
よって
\(y – 2 = 3 (x – 2)\)
すなわち
\(y = 3x – 4\)
３．２次関数
２次関数 \(y = ax^2 \) のグラフは原点を頂点とする放物線
例題
原点を通り、点\((2, 8)\) を通る２次関数を求めよ。
解答
原点を頂点とする２次関数を
\(y = ax^2 (a:定数)\)
とおく。
これが点 \((2, 8)\) を通るから
\(8 = a \cdot 2^2 \)
よって
\(a = 2\)
したがって、
\(y=2x^2\)
（変化の割合）\( = \displaystyle\frac{(y の増加量)}{(x の増加量)}\)
→ 異なる２点を通る、直線の傾きを表す
例題
２次関数 \(y = x^2\) で\(x\) の値が\(2\) から\(4\) まで増加したときの変化の割合を求めよ。
解答
\(x\) の値が\(2\) のとき、\(y\) の値は4,
\(x\) の値が\(4\) のとき、\(y\) の値は16,
であるから、\(y\) の値は\(4\) から\(16\) まで変化する。
したがって、変化の割合は
\(\displaystyle\frac{16 – 4}{4 – 2}\)
\(= \displaystyle\frac{12}{2}\)
\(= 6\)
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