【数学B】数学と社会生活〜基本公式・例題一覧〜

日常生活における問題や社会問題について数学的に考察する場合，次の手順で進める。

① 仮定を立てて問題を理想化・単純化する。

② 数学を活用して解を求める。

③ 実際の問題と照らし合わせて結果を吟味する。

ある都市にはA，B，C，Dの４つの選挙区があり，議席総数は15である。また，それぞれの選挙区の人口は次の通りであるとする。

このとき，各選挙区の議席数が，その選挙区の人口にできるだけ比例しているように各選挙区に議席を割り振りたい。

このとき，以下の最大剰余方式を利用することで議席数を決定することができる。

① 総人口を議席総数で割った値を\(d\) とする。

② 各選挙区の人口を \(d\) で割った値の議席を各選挙区に割り振る。
ただし，求めた値が整数でない場合は，小数点以下を切り捨てて整数にする。

③ ②が終わった段階で議席が余る場合，②で切り捨てた値の大きい順に１議席ずつ，議席が余らなくなるまで割り振る。

ある都市にはA，B，C，Dの４つの選挙区があり，議席総数は15である。また，それぞれの選挙区の人口は次の通りであるとする。

このとき，各選挙区の議席数が，その選挙区の人口にできるだけ比例しているように各選挙区に議席を割り振りたい。

このとき，以下のアダムズ方式を利用することで議席数を決定することができる。

① 総人口を議席総数で割った値を\(d\) とする。

② 各選挙区の人口を \(d\) で割った値の議席を各選挙区に割り振る。
ただし，求めた値が整数でない場合は，小数点以下を切り上げて整数にする。

③ ②で割り振った議席数の合計が議席総数と異なる場合，\(d\) と異なる値\(d’\) を選び\(d\)を\(d’\) におき換えて，再度手順②と同様の方法で議席を割り振る。

④ 割り振った議席数の合計と議席総数が一致するまで手順③を繰り返す。

変量\(x\) についてのデータが，\(n\) 個の値，\(x_1, x_2, \cdots\cdots, x_n\) であるとし，\(x\) のデータの平均値を\(\overline{x}\) ,分散を\({s_x}^2\), 標準偏差を\(s_x\) とする。

このとき，新しい変量\(z = \displaystyle\frac{x – \overline{x}}{s_x}\)とするとき，一般的には以下で偏差値を定める。

（偏差値）＝\(10z + 50 =. 10 \times \displaystyle\frac{x – \overline{x}}{s_x} + 50\)

データを値の大きさの順に並べたときに，データの両側から同じ個数だけ除外した後でとる平均のことをトリム平均または調整平均という。また，データの両側から個数の\(x)\ %ずつ除外した後でとる平均を\(\color{red}{x}\) %トリム平均という。

トリム平均を考えることで，スポーツの採点競技などでの，極端な点数をつける審判の影響を小さくすることができる。

年ごとのある月の平均気温や，月ごとの飲食店の売上額など，１つの項目について，時間に沿って集めたデータを時系列データという。

時系列データに対して，各時点のデータを，その時点を含む過去の\(n\) 個のデータの平均値でおき換えたものを移動平均という。

移動平均を考えることで長期的な変化の傾向を捉えることができる。

２つの変量\(x, y\) の関係が最もよく当てはまると考えられる１次関数（近似式）が \(y =ax +b\) であるとき，直線\(y =ax +b\) を回帰直線という。

回帰直線を求めることで，商品の需要数の予測などをすることが可能となる。

２つの変量\(x, y\) のデータが，次のように与えられており，\(x\) と\(y\) に直線的な相関関係があるとする。

\((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),(x_4, y_4),(x_5, y_5)\)

このとき，

\(\{y_1 – (ax_1 + b)\}^2 + \{y_2 – (ax_2 + b)\}^2 + \cdots\cdots + \{y_5 – (ax_5 + b)\}^2\)

の値が最小となるような \(a\) , \(b\) を定めることで，回帰直線\(y = ax +b\) の１つを求めることができる。

このような回帰直線の求め方を，最小２乗法 という。

太陽系の惑星の公転周期と軌道長半径の関係といった範囲が大きいデータは，散布図の目盛を次のように定めることで分析しやすくなる場合がある。

① \(10^n\) （\(n\) は整数）の目盛を等間隔にとる。この間隔の長さを１とする。

② \(10^n\)と\(10^{n+1}\) の間に，\(m \times 10^n\)（\(m = 2, 3, \cdots, 9\)）の目盛を，\(10^n\)と\(m \times 10^n\) の間隔が\(\log_{10}m\) になるようにとる。

このように定めた目盛を対数目盛という。