【数学B】数列～基本公式・例題一覧～

初項\(a\), 公差\(d\) の等差数列\(\{a_n\}\)の一般項は

\(\color{red}{a_n = a + (n – 1)d}\)

数列\(a, b, c\)が等差数列　⇔　\(\color{red}{2b = a + c}\)

①　初項\(a\), 第\(n\)項が\(l\)の等差数列の和\(S_n\)

\(\color{red}{S_n = \displaystyle\frac{1}{2}n(a + l)}\)

②　初項\(a\), 公差\(d\)の等差数列の和\(S_n\)

\(\color{red}{S_n = \displaystyle\frac{1}{2}n\{2a + (n – 1)d\}}\)

※①式において、\(l = a + (n – 1)d\)とすることで導くことができる

③　自然数\(1, 2, 3, \cdots, n\)の和\(S_n\)

\(\color{red}{S_n = \displaystyle\frac{1}{2}n(n + 1)}\)

※①式において、\(a=1, l = n\) とすることで導くことができる

初項\(a\), 公比\(r\) の等比数列\(\{a_n\}\)の一般項は

\(\color{red}{a_n = a r^{n – 1}}\)

数列\(a, b, c\)が等比数列　⇔　\(\color{red}{b^2 = ac}\)

※ただし、(\(a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0\))

初項\(a\), 公比\(r\) の等比数列\(\{a_n\}\)の初項から第\(n\) 項までの和\(S_n\)は

①　\( r \neq 1\) のとき

\(\color{red}{S_n = \displaystyle\frac{a(1 – r^n)}{1 – r} = \displaystyle\frac{a(r^n – 1)}{r – 1}}\)

②　\(r = 1\) のとき

\(\color{red}{S_n = na}\)

\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n a_k =a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\cdots + a_n\)

①　\(\color{red}{\displaystyle\sum_{k = 1}^n c = nc}\)
※特に, \(\displaystyle\sum_{k = 1}^n 1 = n\)

②　\(\color{red}{\displaystyle\sum_{k = 1}^n k = \displaystyle\frac{1}{2} n (n + 1)}\)

③　\(\color{red}{\displaystyle\sum_{k = 1}^n k^2 = \displaystyle\frac{1}{6} n (n + 1)(2n + 1)}\)

④　\(\color{red}{\displaystyle\sum_{k = 1}^n k^3 = \left\{\displaystyle\frac{1}{2} n (n + 1) \right\}^2} \)

①　\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n (a_k + b_k) = \displaystyle\sum_{k = 1}^n a_k + \displaystyle\sum_{k = 1}^n b_k\)

②　\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n pa_k = p\displaystyle\sum_{k = 1}^n a_k\)
※\(p\) は \(k\) に無関係な定数

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると
※\(b_n = a_{n + 1} – a_n (n = 1, 2, 3, \cdots\cdots)\)

\(n \geq 2\) のとき　\(\color{red}{a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k = 1}^{n – 1} b_k}\)

数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると

①　\(a_1 = S_1\)

②　\(n \geq 2\) のとき　\(\color{red}{a_n = S_n – S_{n – 1}}\)

\(\displaystyle\frac{px + q}{(x + a)(x + b)} = \displaystyle\frac{A}{x + a} + \displaystyle\frac{B}{x + b}\)

（等差数列）×（等比数列）の数列の和\(S\) は、\(S – rS\) を計算することで求めることができる。
※\(r\) は等比数列の公比

①　\(a_{n + 1} = a_n + d\) 　⇒　公差 \(\color{red}{d}\) の等差数列

②　\(a_{n + 1} = ra_n\)　⇒　公比 \(\color{red}{r}\) の等比数列

③　\(a_{n + 1} = a_n + (n の式) \)　 ⇒　階差数列を利用

④　\(a_{n + 1} = pa_n + q\)
⇒　\(\color{red}{a_{n+1} – c = p(a_n – c)}\)に変形

⑤　\(a_{n + 1} = ca_n + c^{n+2}\) (\(c\)は定数)
⇒　両辺を\(\color{red}{c^{n + 1}}\) で割る

⑥　\(a_{n + 1} = \displaystyle\frac{a_n}{pa_n + q}\) (\(p, q\)は定数)
⇒　両辺の逆数をとる

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} +ra_n = 0\)
⇒　\(\color{red}{a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} – \alpha a_n )}\) に変形

\(n\) 回目と \((n + 1)\) 回目に注目して,確率\(p_n\) と\(p_{n+1}\) の漸化式を作る。

自然数 \(n\) に関する事柄 \(P\) が,すべての自然数\(n\) について成り立つことを証明するには, 次の [1] と [2]を示せばよい。

[1] \(n = 1\) のとき \(P\) が成り立つ。

[2] \(n = k\) のとき \(P\) が成り立つと仮定すると,\(n = k + 1\) のときにも\(P\) が成り立つ。