１．複素数の性質
\(a, b, c, d\) は実数とする。
\(i^2 = -1\)を満たす数を\(i\)と表す。
※特に、\(a > 0\) において \(\sqrt{- a} = \sqrt{a} i \)
複素数 \(a +bi\)において
①\(a\) : 実部 , \(b\) : 虚部 という
②実数のとき, \(b = 0\)
③虚数のとき, \(b \neq 0\)
④純虚数のとき, \(a = 0, b \neq 0\)
\(a + bi = c +di ⇔ a = c かつ b = d\)
特に、\(a + bi = 0 ⇔ a = 0 かつ b = 0\)
２．２次方程式の解の種類の判別
\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の判別式 \(D = b^2 – 4ac\) において
①\(D > 0\) ⇔ 異なる２つの実数解をもつ（実数解２個）
②\(D = 0\) ⇔ 重解をもつ（実数解１個）
③\(D < 0\) ⇔ 異なる２つの虚数解をもつ（実数解なし）
※\(D \geq 0\) ⇔ 実数解をもつ（実数解１or２個）
３．解と係数の関係
2次方程式\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき
和：\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\)
積：\(\alpha\beta = \displaystyle\frac{c}{a}\)
\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき
\(ax^2 + bx + c = a(x – \alpha)(x – \beta)\)
２数\(\alpha, \beta\) を解とする２次方程式の１つは
①\((x – \alpha)(x – \beta) = 0\)
②\(x^2 –(\alpha + \beta)x +\alpha\beta = 0\)
４．剰余の定理
\(P(x)\) を\((x – k)\)で割った商を \(Q(x)\)、余りを\(R\)とすると
①\(P(x) = (x – k)Q(x) + R\) と表せる
② \(P(k) = R\)
５．因数定理
多項式\(P(k) = 0\) ⇔ 多項式\(P(x)\) は \((x – k)\) を因数にもつ
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