１．３次式の展開と因数分解
① \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
② \((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)
例題
次の式を展開せよ。
（１）\((x + 1)^3 \)
（２）\((2x – y)^3 \)
解答
（１）\((x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x\cdot 1^2 + 1^3\)
\( = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)
（２）\((2x – y)^3 = (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 – y^3\)
\( = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\)
① \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\)
② \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\)
例題
\( x^3 + 8\) を因数分解せよ。
解答
\( x^3 + 8\)
\(= x^3 + 2^3\)
\(= (x + 2)(x^2 – 2x + 4)\)
２．二項定理
\((a + b)^n\)
\(= {}_nC_n a^n + {}_nC_{n-1} a^{n -1}b + {}_nC_{n-2} a^{n -2}b^2 + \cdots + {}_nC_{r} a^rb^{n-r} + \cdots + {}_nC_{0} b^n\)
例題
\((x – 2)^4\) を展開せよ。
解答
\((x – 2)^4\)
\(= {}_4C_4 x^4 + {}_4C_3 x^3 \cdot (-2) + {}_4C_2 x^2 \cdot (-2)^2 + {}_4C_1 x \cdot (-2)^3 + {}_4C_0 (-2)^4\)
\(= x^4 – 8x^3 + 24x^2 – 32x + 16\)
３．多項式の割り算
\(A\) を \(B\)で割ったときの商を\(Q\), 余りを\(R\)とするとき
\(A = BQ + R\)
と表せる。
※（割られる式）＝（割る式）×（商）＋（余り）
例題
整式\(x^3 + 4x^2 + 4x -2\) を整式\(B\) で割ると商が\(x + 3\) , 余りが \(2x + 1\) であるとき，\(B\) を求めよ。
解答
\(x^3 + 4x^2 + 4x -2 = B \times (x + 3) + (2x +1)\) と表せる
したがって，整理すると
\(x^3 + 4x^2 + 2x – 3 = B \times (x + 3)\)
よって，\(x^3 + 4x^2 + 2x – 3\) は \((x + 3)\)で割ると
\(B = x^2 + x – 1\)
４．分数式
① \(\displaystyle\frac{A}{B} \times \displaystyle\frac{C}{D}=\displaystyle\frac{AC}{BD}\)
② \(\displaystyle\frac{A}{B} \div \displaystyle\frac{C}{D}\)\(=\displaystyle\frac{A}{B}\times\displaystyle\frac{D}{C}\)\(=\displaystyle\frac{AD}{BC}\)
③ \(\displaystyle\frac{A}{C} + \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A+B}{C}\)
④ \(\displaystyle\frac{A}{C} – \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A-B}{C}\)
例題
次の計算をせよ。
（１）\(\displaystyle\frac{x^2 + x}{x – 1} \times \displaystyle\frac{3}{x + 1}\)
（２）\(\displaystyle\frac{x^2 – x}{x + 2} \div \displaystyle\frac{x – 1}{x^2 – 4}\)
（３）\(\displaystyle\frac{2x + 3}{x + 1} + \displaystyle\frac{x}{x + 1}\)
解答
（１）\(\displaystyle\frac{x^2 + x}{x – 1} \times \displaystyle\frac{3}{x + 1}\)
\(= \displaystyle\frac{x(x + 1)}{x – 1} \times \displaystyle\frac{3}{x + 1}\)
\(= \displaystyle\frac{3x}{x – 1}\)
（２）\(\displaystyle\frac{x^2 – x}{x + 2} \div \displaystyle\frac{x – 1}{x^2 – 4}\)
\(= \displaystyle\frac{x^2 – x}{x + 2} \times \displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 1}\)
\(= \displaystyle\frac{x(x – 1)}{x + 2} \times \displaystyle\frac{(x + 2)(x – 2)}{x – 1}\)
\(= x(x – 2)\)
（３）\(\displaystyle\frac{2x + 3}{x + 1} + \displaystyle\frac{x}{x + 1}\)
\(= \displaystyle\frac{3x + 3}{x + 1}\)
\(= \displaystyle\frac{3(x + 1)}{x + 1}\)
\(= 3\)
５．恒等式の性質
① \(ax^2 + bx + c = a’x^2 + b’x + c’\) が\(x\) の恒等式
⇔ \(a = a’, b = b’, c = c’\)
② \(ax^2 + bx + c = 0\) が \(x\) の恒等式
⇔ \(a = b = c = 0\)
例題
次の等式が\(x\) についての恒等式となるように，定数 \(a, b\) の値を定めよ。
\(x + 5 = (a + b)x + (2a + b)\)
解答
両辺の係数を比較すると
\(1 = a + b\)
\(5 = 2a + b\)
よって，
\(a = 4, b = -3\)
６．等式・不等式の証明
①（左辺）or（右辺）を変形して，他方になることを示す
②（左辺）－（右辺）を変形して，\((左辺) – (右辺) = 0\) を示す
例題
\((x + y)(x^2 – xy + y^2) = x^3 + y^3\) であることを証明せよ。
解答
\((左辺) = x^3 – x^2y + xy^2 + yx^2 – xy^2 + y^3\)
\(= x^3 + y^3\)
\(=(右辺)\)
よって，成り立つ。
① \((左辺) – (右辺) \geq 0\) を示す
②\((左辺)^2 –(右辺)^2 \geq 0\) を示す
例題
（１）\(x > y\) のとき，\(4x – y > x + 2y\) を証明せよ。
（２）\(x > 0\), \(y > 0\) のとき，\(\sqrt{x} + \sqrt{y} > \sqrt{x + y}\) を証明せよ。
解答
（１）\((左辺) – (右辺)\)
\(= (4x – y) – (x + 2y)\)
\(= 3x – 3y\)
\(= 3(x – y)\)
\(x > y\) であるから \(3(x – y) > 0\)
したがって，成り立つ
（２）\((左辺)^2 – (右辺)^2\)
\(= (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 – (\sqrt{x + y})^2\)
\(= (x + 2\sqrt{xy} +y) – (x + y)\)
\(= 2\sqrt{xy} > 0\)
よって，\((左辺)^2 > (右辺)^2\)
\(\sqrt{x} + \sqrt{y} > 0\), \(\sqrt{x + y} > 0\)
よって，
\((左辺) > (右辺)\) が成り立つ
実数\(a, b\) について
①\(a^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = 0\) のとき成り立つ）
②\(a^2 + b^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = b = 0\) のとき成り立つ）
例題
\(2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2\) であることを証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。
解答
\((左辺) – (右辺)\)
\(= 2(a^2 + b^2) – (a + b)^2\)
\(= 2a^2 + 2b^2 – (a^2 + 2ab + b^2)\)
\(= a^2 – 2ab + b^2\)
\(= (a – b)^2 \geq 0\)
よって、成り立つ
また，等号成立は \(a – b = 0\)
すなわち，\(a = b\) のときである
\(a > 0, b > 0\) のとき
\(\displaystyle\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\)
(等号成立は \(a = b\) のとき成り立つ)
例題
不等式 \(a + \displaystyle\frac{9}{a} \geq 6\) を証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。
解答
\(a > 0\), \(\displaystyle\frac{9}{a} > 0\) であるから，相加平均と相乗平均の大小関係より
\(a + \displaystyle\frac{9}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \displaystyle\frac{9}{a}} = 6\)
よって
\(a + \displaystyle\frac{9}{a} \geq 6\)
また，等号が成り立つのは，\(a > 0\) かつ \(a = \displaystyle\frac{9}{a}\)
すなわち，\(a = 3\)
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