【数学Ⅱ】式と証明～公式・例題一覧～

①\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

②\((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)

\((a + b)^n\)

\(= {}_nC_n a^n + {}_nC_{n-1} a^{n -1}b + {}_nC_{n-2} a^{n -2}b^2\)
\(+ \cdots + {}_nC_{r} a^rb^{n-r} + \cdots + {}_nC_{0} b^n\)

\(A\) を \(B\)で割ったときの商を\(Q\), 余りを\(R\)とするとき

 \(A = BQ + R\)

と表せる。

※（割られる式）＝（割る式）×（商）＋（余り）

①\(\displaystyle\frac{A}{B} \times \displaystyle\frac{C}{D}=\displaystyle\frac{AC}{BD}\)

②\(\displaystyle\frac{A}{B} \div \displaystyle\frac{C}{D}\)\(=\displaystyle\frac{A}{B}\times\displaystyle\frac{D}{C}\)\(=\displaystyle\frac{AD}{BC}\)

③\(\displaystyle\frac{A}{C} + \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A+B}{C}\)

④\(\displaystyle\frac{A}{C} – \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A-B}{C}\)

①　\(ax^2 + bx + c = a’x^2 + b’x + c’\) が\(x\) の恒等式
⇔　\(a = a’, b = b’, c = c’\)

②　\(ax^2 + bx + c  = 0\) が \(x\) の恒等式
⇔　\(a = b = c = 0\)

①（左辺）or（右辺）を変形して，他方になることを示す

②（左辺）－（右辺）を変形して，\((左辺) – (右辺) = 0\) を示す

①（左辺）―（右辺）\(\geq 0\) を示す

②\((左辺)^2 –(右辺)^2 \geq 0\) を示す

実数\(a, b\) について

①\(a^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = 0\) のとき成り立つ）

②\(a^2 + b^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = b = 0\) のとき成り立つ）

\(a > 0, b > 0\) のとき　

\(\displaystyle\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\)

(等号成立は \(a = b\) のとき成り立つ)