【数学Ⅲ】積分法～基本公式・例題一覧～

①　\(\displaystyle\int x^\alpha dx = \displaystyle\frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha + 1} + C\) (\(\alpha \neq -1\))

②　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x} dx = \log |x| + C\)

①　\(\displaystyle\int \sin x dx = – \cos x + C\)

②　\(\displaystyle\int \cos x dx = \sin x + C\)

③　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C\)

④　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x} = -\displaystyle\frac{1}{\tan x} + C\)

①　\(\displaystyle\int e^x dx = e^x + C\)

②　\(\displaystyle\int a^x dx = \displaystyle\frac{a^x}{\log a} + C\)

①　\(\displaystyle\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt \) \((x = g(t))\)

②　\(\displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \) \( (g(x) = u )\)

\( \displaystyle\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x) dx\)

①　\(f(x) \) が偶関数のとき　\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\)

②　\(f(x) \) が奇関数のとき　\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \)

\(x = g(t) \) は \(\alpha \leq t \leq \beta\) で微分可能,　\(a = g(\alpha), b = g(\beta)\) とする。

\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt\)

\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx = \left[ f(x)g(x) \right]_{a}^{b} – \displaystyle\int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx \)

\(a\) が定数のとき

\(\displaystyle\frac{d}{dx} \displaystyle\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)\)

①　\(\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle\sum_{k = 0}^{n – 1} f(x_k) \Delta x = \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} f(x_k) \Delta x\)

ここで、　\(\Delta x = \displaystyle\frac{b – a}{n}\) , \(x_k = a + k\Delta x\)

②　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{k = 0}^{n – 1} f(\displaystyle\frac{k}{n}) = \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} f(\displaystyle\frac{k}{n}) = \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) dx\)

区間 \(\left[ a, b \right] \) で \(f(x) \geq g(x)\) ならば

\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx \geq \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) dx\)

等号は,常に \(f(x) = g(x)\) であるときに限って成り立つ。

区間 \(a\leq x \leq b\) において

\(f(x) \geq 0\) のとき　\(S = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)

\(f(x) \leq 0\) のとき　\(S = \displaystyle\int_{a}^{b}\{-f(x)\}dx\)

区間 \(a\leq x \leq b\)で常に \(f(x) \geq g(x)\) のとき

\(S = \displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x) – g(x) \}dx\)

区間 \(c\leq y \leq d\) において常に \(g(y) \geq 0\) のとき　\(S = \displaystyle\int_{c}^{d}g(y)dy\)

区間 \(a\leq x \leq b\) において

\(V = \displaystyle\int_{a}^{b}S(x)dx\)

①　曲線 \(y = f(x)\) と\(x\) 軸の間の部分 \(( a \leq x \leq b )\) を\(x\) 軸の周りに１回転させてできる回転体の体積は

\(V = \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \{f (x)\}^2 dx = \pi \displaystyle\int_{a}^{b} y^2 dx \)

②　曲線 \(x = g(y)\) と \(y\) 軸の間の部分 \((c \leq y \leq d )\) を \(y\) 軸の周りに１回転させてできる回転体の体積は

\(V = \pi \displaystyle\int_{c}^{d} \{g (y)\}^2 dy = \pi \displaystyle\int_{c}^{d} x^2 dy \)

\(L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left( \displaystyle\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \displaystyle\frac{dy}{dt} \right)^2} dt \)

\(L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + \left( \displaystyle\frac{dy}{dx} \right)^2} dx \)

数直線上を運動する点\(P\) の速度を \(v = f(t)\) とし, \(t = a\) のときの \(P\) の座標を\(k\) とする。

①　\(t = b\) における\(P\) の座標 \(x\) は
\(x = k + \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) dt\)

②　\(t = a\) から\(t = b\) までの\(P\) の位置の変化量 \(s\) は
\(s = \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) dt\)

③　\(t = a\) から\(t = b\) までの\(P\) の道のり \(l\) は
\(l = \displaystyle\int_{a}^{b} |f(t)| dt\)