場合の数と確率　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学A）〜

和集合の要素の個数を求める公式 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) を使います。

この公式に与えられた値を代入します。

n(A∪B) = 12 + 18 – 5

n(A∪B) = 30 – 5

n(A∪B) = 25

答え: 25

1. 1.n(A∩B)を求める

和集合の公式 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) を変形して, 共通部分の要素の個数を求めます。

n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)

この式に与えられた値を代入します。

n(A∩B) = 25 + 15 – 32

n(A∩B) = 40 – 32

n(A∩B) = 8

2. 2.n(Ā)を求める

補集合の要素の個数を求める公式 n(Ā) = n(U) – n(A) を使います。

この式に与えられた値を代入します。

n(Ā) = 50 – 25

n(Ā) = 25

答え: n(A∩B) = 8, n(Ā) = 25

まず、それぞれの集合の要素の個数を求めます。

• n(U): 1から100までの整数なので, n(U)=100。
• n(A): 100を4で割ると, 100 ÷ 4 = 25。4の倍数は25個あるので, n(A)=25。
• n(B): 100を6で割ると, 100 ÷ 6 = 16 余り 4。6の倍数は16個あるので, n(B)=16。

(1) n(A∩B)を求める

   A∩Bは「4の倍数であり、かつ6の倍数である」数の集合です。これは4と6の最小公倍数である12の倍数の集合と同じです。

   100を12で割ると, 100 ÷ 12 = 8 余り 4。12の倍数は8個あるので, n(A∩B)=8。

(2) n(A∪B)を求める

   和集合の公式 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) を使います。

   n(A∪B) = 25 + 16 – 8

   n(A∪B) = 41 – 8

   n(A∪B) = 33

答え: (1) 8, (2) 3

(1) n(B̄)を求める

   補集合の公式 n(B̄) = n(U) – n(B) を使います。

   n(B̄) = 80 – 25

   n(B̄) = 55

(2) n(Ā∩B̄)を求める

   ド・モルガンの法則により, Ā∩B̄ は (A∪B) の補集合 (A∪B)¯ と同じです。

   したがって, n(Ā∩B̄) = n((A∪B)¯) となります。

   まず、n(A∪B)を求めます。

   n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

   n(A∪B) = 40 + 25 – 10 = 55

   次に、補集合の公式を使って n((A∪B)¯) を求めます。

   n((A∪B)¯) = n(U) – n(A∪B)

   n((A∪B)¯) = 80 – 55

   n((A∪B)¯) = 25

   よって, n(Ā∩B̄) = 25 です。

答え: (1) 55, (2) 25

生徒全体の集合をU、電車を利用する生徒の集合をA、バスを利用する生徒の集合をBとします。

問題文から、以下のことがわかります。

• n(U) = 40
• n(A) = 23
• n(B) = 18
• n(A∩B) = 7

(1) 電車かバスの少なくとも一方を利用する生徒の人数

   これは和集合 A∪B の要素の個数 n(A∪B) を求めることと同じです。

   公式 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) を使います。

   n(A∪B) = 23 + 18 – 7

   n(A∪B) = 41 – 7

   n(A∪B) = 34

   よって、少なくとも一方を利用する生徒は34人です。

(2) 電車もバスも利用しない生徒の人数

   これは、集合Aにも集合Bにも属さない生徒の人数、つまり n(Ā∩B̄) を求めることです。

   ド・モルガンの法則により, Ā∩B̄ = (A∪B)¯ です。

   したがって, 求める人数は n(U) – n(A∪B) で計算できます。

   n(U) – n(A∪B) = 40 – 34

   = 6

   よって、どちらも利用しない生徒は6人です。

答え: (1) 34人, (2) 6人

解説 これは、異なる5個のものから3個を選んで並べる順列の問題です。順列の総数は、記号P（Permutation）を使って計算します。

考え方

1. 1番目の人を選ぶ: 5人の中から選ぶので、5通り。
2. 2番目の人を選ぶ: 1番目の人を除いた残り4人の中から選ぶので、4通り。
3. 3番目の人を選ぶ: 1番目と2番目の人を除いた残り3人の中から選ぶので、3通り。

これらの事象は連続して起こるので、積の法則を使います。

計算過程 式は ₅P₃ と表せます。 ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60

答え 60通り

解説 これは、異なる4個のものをすべて使って一列に並べる順列の問題です。n個のものをすべて並べる順列は「nの階乗（n!）」で計算します。

考え方

1. 1番目の位置に置く本を選ぶ: 4冊の中から選ぶので、4通り。
2. 2番目の位置に置く本を選ぶ: 残りの3冊の中から選ぶので、3通り。
3. 3番目の位置に置く本を選ぶ: 残りの2冊の中から選ぶので、2通り。
4. 4番目の位置に置く本を選ぶ: 最後の1冊なので、1通り。

計算過程 式は ₄P₄ または 4! と表せます。 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

答え 24通り

解説 「隣り合う」という条件がある場合、隣り合うものを「ひとかたまり」として考えます。

考え方

1. 女子2人をひとかたまりと考える: 女子2人（A, B）を【女子グループ】という1つのものと見なします。 すると、並べる対象は「男子3人」と「【女子グループ】1つ」の合計4つになります。
2. 合計4つのものを並べる: この4つのものを一列に並べる並べ方は、4! 通りです。 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通り
3. かたまりの中の並び方を考える: 【女子グループ】の中で、女子2人（A, B）の並び方は「A, B」と「B, A」の2通りあります。これは 2! で計算できます。 2! = 2 × 1 = 2通り
4. 最終的な計算: ステップ2とステップ3の事象は同時に起こるので、積の法則を使って掛け合わせます。

計算過程 (男子3人と女子グループ1つの並べ方) × (女子グループ内の並べ方) = 4! × 2! = (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) = 24 × 2 = 48

答え 48通り

解説 「隣り合わない」という条件がある場合、先に条件のないほう（この場合は男子）を並べて、その間または両端に条件のあるほう（女子）を入れると考えます。

考え方

1. 先に男子3人を並べる: 男子3人を一列に並べる並べ方は 3! 通りです。 3! = 3 × 2 × 1 = 6通り
2. 男子の間と両端に女子を入れる場所を考える: 男子3人を並べると、女子が入れる場所は以下の「△」の4か所になります。 △ 男子 △ 男子 △ 男子 △
3. 4つの場所に女子2人を入れる: この4つの場所から2つを選んで女子2人を並べます。これは、4個の異なる場所から2個を選んで並べる順列なので、₄P₂ で計算します。 ₄P₂ = 4 × 3 = 12通り
4. 最終的な計算: ステップ1とステップ3の事象は同時に起こるので、積の法則を使って掛け合わせます。

計算過程 (男子3人の並べ方) × (女子2人の入れ方) = 3! × ₄P₂ = (3 × 2 × 1) × (4 × 3) = 6 × 12 = 72

答え 72通り

解説 「偶数」という条件は、一の位の数字によって決まります。条件のある位から先に考えるのがポイントです。

考え方

1. 一の位の数字を決める: 偶数になるためには、一の位が偶数である必要があります。使える数字 1, 2, 3, 4, 5 の中で偶数は「2」と「4」です。 よって、一の位の選び方は2通りです。
2. 百の位と十の位の数字を決める: 一の位で1個の数字を使いました。残りの数字は4個です。 この残った4個の数字の中から2個を選んで、百の位と十の位に並べます。 これは、4個の異なるものから2個を選んで並べる順列なので、₄P₂ で計算します。 ₄P₂ = 4 × 3 = 12通り
3. 最終的な計算: ステップ1とステップ2の事象は連続して起こるので、積の法則を使って掛け合わせます。

計算過程 (一の位の選び方) × (百の位と十の位の選び方) = 2 × ₄P₂ = 2 × (4 × 3) = 2 × 12 = 24

答え 24個

解説

1. 円順列では、回転して同じになる並び方は1通りと数えます。これを計算するために、まず1人の生徒を特定の位置に固定します。
2. Aさんをある席に固定したと想像してください。そうすると、残りの5人の生徒は、Aさんから見てどの席に座るかという、一列に並ぶ順列（線順列）と同じように考えることができます。
3. 残りの5人が並ぶ方法は、5の階乗（5!）で計算できます。
   • 計算式: (6 – 1)! = 5!
4. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

答え：120通り

解説

1. 隣り合うものは「1つのセット」として考えます。まず、先生2人を1つの「かたまり」と見なします。
2. そうすると、「先生のかたまり」1つと、生徒4人の、合計5つのものを円形に並べる問題になります。
3. 5つのものを円形に並べる方法は、問題1と同様に (5 – 1)! で計算できます。
   • (5 – 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通り
4. 次に、「先生のかたまり」の中での並び方を考えます。先生Aと先生Bの並び方は、「A, B」と「B, A」の2通りあります。これは 2! で計算できます。
   • 2! = 2 × 1 = 2通り
5. 最後に、ステップ3で計算した並べ方の数と、ステップ4で計算したかたまりの中の並べ方の数を掛け合わせます（積の法則）。
   • 24 × 2 = 48通り

答え：48通り

解説

1. 「隣り合わない」という指定がある場合、先に条件がないもの（この場合は男子）を並べます。
2. まず、男子4人を円形に並べます。その方法は (4 – 1)! です。
   • (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6通り
3. 次に、並んだ男子と男子の間にある席に女子を座らせます。男子4人が座ると、その間には4つの席ができます。
   • （男1）席1（男2）席2（男3）席3（男4）席4
4. この4つの席の中から、女子2人が座る2つの席を選んで並べます。これは4つのものから2つを選ぶ順列（₄P₂）で計算します。
   • ₄P₂ = 4 × 3 = 12通り
5. 最後に、男子の並べ方の数と、女子の並べ方の数を掛け合わせます。
   • 6 × 12 = 72通り

答え：72通り

解説

1. この問題も、まずどちらか一方（例えば男子）を先に並べます。
2. 男子3人を円形に並べる方法は (3 – 1)! です。
   • (3 – 1)! = 2! = 2 × 1 = 2通り
3. 男子を並べると、男子と男子の間に席が3つできます。
   • （男1）席1（男2）席2（男3）席3
4. この3つの席に、女子3人が座ることになります。これは、特定の3つの席に3人が並ぶので、通常の順列（3!）で計算します。
   • 3! = 3 × 2 × 1 = 6通り
5. 最後に、男子の並べ方の数と、女子の並べ方の数を掛け合わせます。
   • 2 × 6 = 12通り

答え：12通り

解説

1. 数珠順列や腕輪のように「裏返せる」ものは、円順列の考え方を応用します。
2. まず、裏返すことを考えずに、7個の玉を円形に並べる方法を計算します。これは (7 – 1)! です。
   • (7 – 1)! = 6! = 720通り
3. 円順列では、時計回りの並びと反時計回りの並びは別のものとして数えられます。しかし、腕輪は裏返せるので、ある並びを裏返すと、その反時計回りの並びと同じになります。
4. つまり、ほとんどの並びは「元の並び」と「裏返した並び」でペアになっています。そのため、円順列で計算した数を2で割ることで、重複をなくすことができます。
   • 計算式: (7 – 1)! / 2
5. 720 / 2 = 360通り

答え：360通り

解説

1. 考え方 10冊はすべて異なる本で、選ぶ順番は関係ありません（例えば、「A, B, C」と選ぶのも「C, B, A」と選ぶのも同じ3冊の組合せです）。したがって、これは「組合せ」の問題です。 全部で10個のものから3個を選ぶ組合せの数を計算します。式は₁₀C₃となります。
2. 計算過程 組合せの公式 nCr = n! / (r! * (n-r)!) を使います。 ₁₀C₃ = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) まず分母を計算します：3 × 2 × 1 = 6 次に分子を計算します：10 × 9 × 8 = 720 最後に割り算をします：720 ÷ 6 = 120【計算のコツ】 分数の形で先に約分すると計算が楽になります。 ₁₀C₃ = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = (10 × 3 × 4) / (1 × 1 × 1) （9を3で割り、8を2で割る） = 120
3. 答え 120通り

解説 

(1) 男子2人、女子2人を選ぶ

1. 考え方 「男子6人から2人を選ぶ」ことと、「女子4人から2人を選ぶ」ことは、それぞれ独立して行われます。
   • 男子の選び方：6人から2人を選ぶ組合せ → ₆C₂
   • 女子の選び方：4人から2人を選ぶ組合せ → ₄C₂ 両方の選び方を満たす必要があるので、「積の法則」を使い、2つの結果を掛け合わせます。
2. 計算過程
   • 男子の選び方：₆C₂ = (6 × 5) / (2 × 1) = 15通り
   • 女子の選び方：₄C₂ = (4 × 3) / (2 × 1) = 6通り
   • 総数：15 × 6 = 90通り
3. 答え 90通り

(2) 特定のAさん（女子）が必ず選ばれる

1. 考え方 4人の代表のうち、1人はAさんで確定しています。したがって、考えるべきは「残りの3つの席を、Aさん以外の人からどう選ぶか」です。
   • 全体の人数：10人 → Aさんを除く9人
   • 残りの選ぶ人数：4人 → Aさんを除く3人 つまり、9人の中から3人を選ぶ組合せを計算すればよいことになります。式は₉C₃です。
2. 計算過程 ₉C₃ = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 3 × 4 × 7 = 84通り
3. 答え 84通り

解説

1. 考え方 三角形を作るには、7個の点から3個の点を選べば、1つの三角形が自動的に決まります。選ぶ順番は関係ないので、組合せの問題です。 円周上の点は、どの3点をとっても一直線上に並ぶことはありません。したがって、単純に7個の点から3個を選ぶ組合せの数を計算すればOKです。式は₇C₃となります。
2. 計算過程 ₇C₃ = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 7 × 5 = 35
3. 答え 35個

解説

1. 考え方 「3個とも同じ色になる」場合は、以下の3つのパターンが考えられます。
   • パターンA：3個とも白玉
   • パターンB：3個とも赤玉
   • パターンC：3個とも青玉 これらのパターンは同時には起こらない（例えば「3個とも白」でありながら「3個とも赤」であることはない）ので、「和の法則」を使い、各パターンの組合せの数を足し合わせます。
2. 計算過程
   • パターンA（3個とも白玉） 白玉5個の中から3個を選ぶ組合せ：₅C₃ ₅C₃ = ₅C₂ （5-3=2なので計算が楽な方に変形） = (5 × 4) / (2 × 1) = 10通り
   • パターンB（3個とも赤玉） 赤玉4個の中から3個を選ぶ組合せ：₄C₃ ₄C₃ = ₄C₁ （4-3=1なので） = 4 / 1 = 4通り
   • パターンC（3個とも青玉） 青玉3個の中から3個を選ぶ組合せ：₃C₃ ₃C₃ = 1通り
   • 合計 和の法則より、すべての場合を足し合わせます。 10 + 4 + 1 = 15通り
3. 答え 15通り

解説

1. 考え方 これは段階的に選んでいく組合せの問題です。
   • ステップ1：まず、9人の中からAグループに入る3人を選びます。
   • ステップ2：次に、残った6人の中からBグループに入る3人を選びます。
   • ステップ3：最後に、残った3人の中からCグループに入る3人を選びます。 これらのステップは連続して行われるので、「積の法則」を使ってすべて掛け合わせます。
2. 計算過程
   • ステップ1（Aグループを選ぶ） 9人から3人を選ぶ組合せ：₉C₃ ₉C₃ = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84通り
   • ステップ2（Bグループを選ぶ） 残りは6人（9 – 3 = 6）。この6人から3人を選ぶ組合せ：₆C₃ ₆C₃ = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20通り
   • ステップ3（Cグループを選ぶ） 残りは3人（6 – 3 = 3）。この3人から3人を選ぶ組合せ：₃C₃ ₃C₃ = 1通り
   • 総数 積の法則より、すべての場合を掛け合わせます。 84 × 20 × 1 = 1680通り
3. 答え 1680通り

【補足】もし問題が「3人ずつの3つのグループに分ける」だけで、グループにA, B, Cのような区別がない場合は、上記の答えを3!（3つのグループの並び方）で割る必要があります。今回は区別があるため、1680通りが答えです。

【解説】 この問題は、「同じものを含む順列」の考え方を使います。

1. 全体の文字数を確認する “YOKOHAMA” には、合計8文字あります。もしすべての文字が異なっていれば、順列の総数は 8! （8の階乗）となります。
2. 同じ文字の数を確認する
   • “O” が2個あります。
   • “A” が2個あります。
   • その他の文字 (Y, K, H, M) は1個ずつです。
3. 公式を適用する 全部で n 個あり、その中に同じものが p 個, q 個, r 個, … とある場合、その順列の総数は次の式で求められます。$$\frac{n!}{p!\times q!\times r!\times \dots }$$p!×q!×r!×…n!​
4. 計算する この問題では、n=8, p=2 (Oの数), q=2 (Aの数) です。$$\frac{8!}{2!\times 2!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (2\times 1)}$$2!×2!8!​=(2×1)×(2×1)8×7×6×5×4×3×2×1​$$=\frac{40320}{2\times 2}=\frac{40320}{4}=10080$$=2×240320​=440320​=10080

答え：10080通り

【解説】 これも「同じものを含む順列」の問題です。

1. 全体の数字の数を確認する 全部で6個の数字があります。
2. 同じ数字の数を確認する
   • “1” が3個あります。
   • “2” が2個あります。
   • “3” が1個あります。
3. 公式を適用する n=6, p=3 (1の数), q=2 (2の数) として、公式に当てはめます。$$\frac{6!}{3!\times 2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(3\times 2\times 1)\times (2\times 1)}$$3!×2!6!​=(3×2×1)×(2×1)6×5×4×3×2×1​
4. 計算する 分母と分子で約分すると計算が楽になります。$$=\frac{6\times 5\times 4}{2\times 1}=6\times 5\times 2=60$$=2×16×5×4​=6×5×2=60

答え：60個

【解説】 この問題には「0が先頭に来てはいけない」という制約があります。

考え方1：全体の順列から、0が先頭に来る場合を引く

1. 制約なしで全通りを計算する まず、0が先頭に来る場合もすべて含めて、7個の数字を並べる場合の数を計算します。
   • 全体の数: 7個
   • 同じ数字: “1”が2個, “2”が3個$$\frac{7!}{2!\times 3!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (3\times 2\times 1)}=\frac{5040}{12}=420\text{通り}$$2!×3!7!​=(2×1)×(3×2×1)7×6×5×4×3×2×1​=125040​=420通り
2. 7桁の整数にならない場合（0が先頭に来る場合）を計算する 先頭の位に0を固定し、残りの6個の数字 (1, 1, 2, 2, 2, 3) を並べる場合の数を計算します。
   • 全体の数: 6個
   • 同じ数字: “1”が2個, “2”が3個$$\frac{6!}{2!\times 3!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (3\times 2\times 1)}=\frac{720}{12}=60\text{通り}$$2!×3!6!​=(2×1)×(3×2×1)6×5×4×3×2×1​=12720​=60通り
3. 全体の数から引く 7桁の整数になるのは、全通りから0が先頭に来る場合を引いたものです。$$420-60=360$$420−60=360

答え：360個

【解説】

1. 条件を満たすように文字を配置する 「両端がSである」という条件があるので、まず両端にSを配置します。 S _ _ _ _ _ S

SUCCESS には S が3個、 C が2個、 U が1個、 E が1個あります。 両端に S を2個使ったので、残りの文字は S, C, C, U, E の5文字です。

2. 残りの文字の並べ方を計算する 中央の5つの空きスペースに、残った5文字 S, C, C, U, E を並べます。 これは「同じものを含む順列」です。

• n = 5 (残りの全文字数)
• p = 2 (Cの個数)

よって、計算式は 5! / 2! となります。

3. 計算する 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 2! = 2 × 1 = 2

式に代入すると、 120 / 2 = 60

答え：60通り

【解説】

「隣り合わない」という条件がある問題では、先に「隣り合っても良いもの」を並べて、その隙間に「隣り合わないもの」を入れると考えます。

1. b以外の文字を並べる まず、b以外の文字 a, a, a, c, d の5文字を並べます。 これは「同じものを含む順列」です。

• n = 5 (文字の総数)
• p = 3 (aの個数)

並べ方の総数は 5! / 3! です。 5! / 3! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) = 5 × 4 = 20 通り。

2. 隙間にbを入れる a, a, a, c, d を並べたとき、その両端と文字の間に bを入れることができる「隙間」ができます。 _ a _ a _ a _ c _ d _ 隙間は _ で示した6箇所あります。

この6箇所のうち、2箇所を選んで b を1つずつ入れます。b どうしは区別がないので、選ぶ順番は関係ありません。これは「組み合わせ (C)」の考え方を使います。 6つの場所から2つを選ぶ組み合わせなので、 ₆C₂ となります。

₆C₂ = (6 × 5) / (2 × 1) = 15 通り。

3. 結果を掛け合わせる b以外の文字の並べ方（20通り）と、bの入れ方（15通り）はそれぞれ独立して起こるので、最終的な総数はこれらの積で求められます。 20 × 15 = 300

答え：300通り

解説

1. 起こりうるすべての事象の場合の数を求める（全事象） 2個のサイコロを投げるとき、それぞれのサイコロの目は1から6までの6通りあります。 したがって、目の出方の総数は、積の法則により 6 × 6 = 36通り となります。
2. 条件を満たす事象の場合の数を求める 出た目の数の和が8になる組み合わせを考えます。2個のサイコロの目を(A, B)とすると、 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通りです。
3. 確率を計算する 確率は「(条件を満たす事象の場合の数) / (全事象の場合の数)」で求められます。 したがって、求める確率は 5 / 36 となります。

答え: 5/36

解説

1. 全事象の場合の数を求める 合計10個の玉から同時に2個を取り出す組み合わせの総数を求めます。 これは組合せの計算 ₁₀C₂ で求められます。 ₁₀C₂ = (10 × 9) / (2 × 1) = 45 通り となります。
2. 条件を満たす事象の場合の数を求める 2個とも赤玉であるためには、4個の赤玉から2個を取り出す必要があります。 この組み合わせの数は ₄C₂ で求められます。 ₄C₂ = (4 × 3) / (2 × 1) = 6 通り となります。
3. 確率を計算する 求める確率は、 (2個とも赤玉である場合の数) / (すべての取り出し方の場合の数) = 6 / 45 約分して、 = 2 / 15 となります。

答え: 2/15

解説

1. 全事象の場合の数を求める 5人が1列に並ぶ並び方の総数を求めます。 これは5の階乗 5! で計算できます。 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 通り となります。
2. 条件を満たす事象の場合の数を求める 女子2人が隣り合う場合を考えます。 まず、女子2人を「1つのグループ」として扱います。 すると、男子3人と「女子グループ」1つの合計4つを並べることになります。 この並び方は 4! 通りです。 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 通り 次に、「女子グループ」の中での女子2人の並び方を考えます。 2人が並ぶ方法は 2! 通りです。 2! = 2 × 1 = 2 通り したがって、女子2人が隣り合う並び方の総数は、積の法則により24 × 2 = 48 通り となります。
3. 確率を計算する 求める確率は、 (女子2人が隣り合う並び方の数) / (全員の並び方の総数) = 48 / 120 約分して、 = 2 / 5 となります。

答え: 2/5

解説

「少なくとも1回は表が出る」という事象は、「1回表が出る」「2回表が出る」「3回表が出る」場合を含んでおり、直接計算するのは少し複雑です。 こういう場合は、**余事象（よじしょう）**を考えると簡単になります。

「少なくとも1回は表が出る」の余事象は、「1回も表が出ない」つまり「3回とも裏が出る」です。

1. 全事象の場合の数を求める 硬貨を1回投げると、表か裏の2通りが出ます。これを3回繰り返すので、 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 通り となります。
2. 余事象の場合の数を求める 余事象である「3回とも裏が出る」のは、「(裏, 裏, 裏)」の1通りだけです。
3. 余事象の確率を計算する 余事象の確率は、 1 / 8 となります。
4. 求める事象の確率を計算する 求めたい確率 P(A) は、1 - P(余事象) で計算できます。 1 - (1/8) = 7/8 となります。

答え: 7/8

解説

この問題は、和事象の確率の考え方を使います。 P(AまたはB) = P(A) + P(B) - P(AかつB)

1. 全事象の場合の数を求める 52枚のトランプから1枚を引くので、全事象は52通りです。
2. 各事象の確率を求める
   • 事象A: エースを引く エースは4枚（スペード、クラブ、ダイヤ、ハート）あるので、その確率は P(A) = 4/52 です。
   • 事象B: ハートを引く ハートは13枚あるので、その確率は P(B) = 13/52 です。
   • 事象AかつB: エースであり、かつハートであるカード（ハートのエース）を引く ハートのエースは1枚だけなので、その確率は P(AかつB) = 1/52です。
3. 和事象の確率を計算する 求める確率は「エースまたはハート」なので、公式に当てはめます。 P(AまたはB) = P(A) + P(B) - P(AかつB) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = (4 + 13 - 1) / 52 = 16 / 52 約分して、 = 4 / 13 となります。

別解 エースのカードは4枚。 ハートのカードは13枚。 このうち「ハートのエース」の1枚が重複して数えられています。 よって、エースまたはハートであるカードの枚数は 4 + 13 - 1 = 16 枚です。 したがって、求める確率は 16/52 = 4/13 となります。

答え: 4/13

【解説】 この問題は、同じ試行（硬貨投げ）を繰り返す「反復試行の確率」の問題です。

1. 1回の試行の確率を確認する
   • 硬貨を1回投げて、表が出る確率は 1/2
   • 裏が出る（表が出ない）確率は 1/2
2. 反復試行の確率の公式を使うn 回の試行のうち、ある事象が k 回起こる確率は、次の公式で求められます。 P = nCk × p^k × (1-p)^(n-k)
   • n: 試行の回数 → 4回
   • k: 求めたい事象が起こる回数 → 表が3回
   • p: 1回の試行で求めたい事象が起こる確率 → 表が出る確率 1/2
3. 公式に値を代入して計算する
   • 求める確率は、4回中3回表が出る確率なので、 ₄C₃ × (1/2)³ × (1/2)¹ となります。
   • ₄C₃ の計算: ₄C₃ = ₄C₁ = 4
   • 確率の計算: 4 × (1/8) × (1/2) = 4/16 = 1/4

答え： 1/4

【解説】 これも反復試行の確率の問題です。

1. 1回の試行の確率を確認する
   • さいころを1回投げて、1の目が出る確率は 1/6
   • 1以外の目が出る（1の目が出ない）確率は 1 - 1/6 = 5/6
2. 反復試行の確率の公式を使う
   • n: 試行の回数 → 5回
   • k: 求めたい事象が起こる回数 → 1の目が2回
   • p: 1回の試行で求めたい事象が起こる確率 → 1の目が出る確率 1/6
3. 公式に値を代入して計算する
   • 求める確率は、5回中2回1の目が出る確率なので、 ₅C₂ × (1/6)² × (5/6)³ となります。
   • ₅C₂ の計算: ₅C₂ = (5 × 4) / (2 × 1) = 10
   • 確率の計算: 10 × (1/36) × (125/216) = 1250 / 7776
   • 約分する: 1250 / 7776 = 625 / 3888

答え： 625/3888

【解説】 「玉を袋に戻す」ので、毎回袋の中の状態は同じになります。これも独立な反復試行です。

1. 1回の試行の確率を確認する
   • 袋の中の玉は全部で 3 + 7 = 10 個です。
   • 1回の試行で赤玉が出る確率は 3/10
   • 赤玉が出ない（白玉が出る）確率は 7/10
2. 反復試行の確率の公式を使う
   • n: 試行の回数 → 4回
   • k: 求めたい事象が起こる回数 → 赤玉が1回
   • p: 1回の試行で求めたい事象が起こる確率 → 赤玉が出る確率 3/10
3. 公式に値を代入して計算する
   • 求める確率は、4回中1回赤玉が出る確率なので、 ₄C₁ × (3/10)¹ × (7/10)³ となります。
   • ₄C₁ の計算: ₄C₁ = 4
   • 確率の計算: 4 × (3/10) × (343/1000) = (12 × 343) / 10000 = 4116 / 10000
   • 約分する: 4116 / 10000 = 1029 / 2500

答え： 1029/2500

【解説】 「3回以上成功する」というのは、「ちょうど3回成功する」場合と「ちょうど4回成功する」場合のことです。この2つの場合は同時に起こらないので、それぞれの確率を計算して、最後に足し合わせます。

1. 場合①：ちょうど3回成功する確率
   • n=4, k=3, p=2/3
   • 失敗する確率は 1 - 2/3 = 1/3
   • 確率は ₄C₃ × (2/3)³ × (1/3)¹ = 4 × (8/27) × (1/3) = 32/81
2. 場合②：ちょうど4回成功する確率
   • n=4, k=4, p=2/3
   • 確率は ₄C₄ × (2/3)⁴ × (1/3)⁰ = 1 × (16/81) × 1 = 16/81
3. 2つの場合の確率を足し合わせる
   • 求める確率は (場合①の確率) + (場合②の確率) です。
   • 32/81 + 16/81 = 48/81
4. 約分する
   • 48/81 = 16/27

答え： 16/27

【解説】 「少なくとも1回は〜」という問題は、その反対の事象（余事象）を考えると簡単に解けることが多いです。

1. 余事象を考える
   • 「少なくとも1回は6の目が出る」の余事象は、「1回も6の目が出ない（3回とも6以外の目が出る）」ということです。
   • （求める確率） = 1 - （余事象の確率） で計算できます。
2. 余事象の確率（1回も6の目が出ない確率）を求める
   • さいころを1回投げて、6の目が出ない（1, 2, 3, 4, 5の目が出る）確率は 5/6 です。
   • この試行を3回繰り返すので、3回とも6の目が出ない確率は、 (5/6) × (5/6) × (5/6) = (5/6)³ = 125/216
3. 全体の確率 1 から余事象の確率を引く
   • 求める確率は、 1 - (125/216) = 216/216 - 125/216 = 91/216

答え： 91/216

解説

事象の定義

• 事象A：引いたカードの数字が偶数である。
• 事象B：引いたカードの数字が5より大きい。

求めたいのは、事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる条件付き確率 P(B|A) です。

1. 事象Aが起こる場合の数を数える 全10枚のカード {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} の中で、偶数であるものは {2, 4, 6, 8, 10} の5枚です。 これが今回の「新しい全体の集合（標本空間）」と考えられます。

2. 事象Aと事象Bが同時に起こる場合の数を数える ステップ1の偶数の集合 {2, 4, 6, 8, 10} の中で、さらに「5より大きい」という条件を満たすものを探します。 それは {6, 8, 10} の3枚です。

3. 確率を計算する 条件付き確率は、「事象Aが起こった場合」を分母、「その中で事象Bも起こる場合」を分子として計算します。

P(B|A) = (AとBが同時に起こる場合の数) / (Aが起こる場合の数) = 3 / 5

答え: 3/5

解説

事象の定義

• 事象A：1回目に赤玉を取り出す。
• 事象B：2回目に赤玉を取り出す。

求めたいのは、事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる条件付き確率 P(B|A) です。

1. 最初の状態を確認する 袋の中には、赤玉4個、白玉6個、合計10個の玉があります。

2. 事象Aが起こった後の状態を考える 「1回目に取り出した玉が赤玉であった」という条件が与えられています。 この条件が起こった後の袋の中の状態を考えます。

• 赤玉：4個 – 1個 = 3個
• 白玉：6個 (変わらない)
• 合計の玉：10個 – 1個 = 9個

3. 確率を計算する この「赤玉3個、白玉6個、合計9個」の状態から、もう1個玉を取り出すときに、それが赤玉である確率を計算します。

P(B|A) = (残っている赤玉の数) / (残っている玉の合計数) = 3 / 9 = 1/3

答え: 1/3

解説

事象の定義

• 事象A：出た目の和が9以上である。
• 事象B：小さいサイコロの目が5である。

求めたいのは、事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる条件付き確率 P(B|A) です。 サイコロの目の出方は全部で 6 × 6 = 36 通りあります。

1. 事象Aが起こる場合の数をリストアップする 出た目の和が9以上になる組み合わせを（小, 大）の形で書き出します。

• 和が9：(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
• 和が10：(4, 6), (5, 5), (6, 4)
• 和が11：(5, 6), (6, 5)
• 和が12：(6, 6) 合計で 4 + 3 + 2 + 1 = 10 通りです。

2. 事象Aと事象Bが同時に起こる場合の数を数える ステップ1の10通りの中で、「小さいサイコロの目が5である」ものを探します。 (5, 4), (5, 5), (5, 6) の3通りです。

3. 確率を計算する 条件付き確率は、「事象Aが起こった場合」を分母、「その中で事象Bも起こる場合」を分子として計算します。

P(B|A) = (AとBが同時に起こる場合の数) / (Aが起こる場合の数) = 3 / 10

答え: 3/10

解説

事象の定義

• 事象A：選ばれた生徒が自転車を利用している。
• 事象B：選ばれた生徒が電車を利用している。

求めたいのは、事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる条件付き確率 P(B|A) です。

1. 事象Aが起こる人数を数える 問題文より、自転車を利用している生徒（事象A）は25人です。 これが今回の「新しい全体の集合」と考えられます。

2. 事象Aと事象Bが同時に起こる人数を数える 「自転車を利用していて、かつ電車も利用している」生徒（事象Aかつ事象B）は、問題文の「両方を利用している生徒」にあたるので、8人です。

3. 確率を計算する 条件付き確率は、「自転車を利用している生徒」を分母、「その中で電車も利用している生徒」を分子として計算します。

P(B|A) = (自転車と電車の両方を利用する人数) / (自転車を利用する人数) = 8 / 25

答え: 8/25

解説

10000個の製品が作られたと仮定して考えると分かりやすくなります。

1. 全体の状況を整理する

• 全製品：10000個
• 機械Aで製造：10000個 × 50% = 5000個
• 機械Bで製造：10000個 × 50% = 5000個

2. 不良品の数を計算する

• 機械Aからの不良品：5000個 × 4% = 200個
• 機械Bからの不良品：5000個 × 2% = 100個
• 不良品の合計：200個 + 100個 = 300個

3. 条件付き確率を考える 求めたいのは、「不良品であった（合計300個）」という条件の中で、それが「機械Aで製造されたもの（200個）」である確率です。

4. 確率を計算する これが今回の「新しい全体の集合」です。

確率 = (条件に合う場合の数) / (起こりうる全体の数) = (機械Aからの不良品の数) / (不良品の合計数) = 200 / 300 = 2/3

答え: 2/3

解説 期待値とは、ある試行を行ったときに得られる値の平均値のことです。それぞれの事象が起こる確率と、その事象が起こったときに得られる値を掛け合わせ、それらをすべて足し合わせることで計算できます。

1. 確率変数と確率を整理する さいころを投げたときに出る目（得られる値）を確率変数 X とします。X のとりうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6 です。 それぞれの目が出る確率は、すべて $\frac{1}{6}$ です。 これを表にまとめると、以下のようになります。

2. 期待値を計算する 期待値 E(X)は、「(値) × (その値が出る確率)」をすべて足し合わせて求めます。 $E(X)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}$
3.  $E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}$
4.  $E(X)=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3.5$

答え 3.5

解説

1. 確率変数と確率を整理する もらえる賞金を確率変数 $X$X とします。$X$X のとりうる値は 1000円, 500円, 0円 です。 それぞれの賞金が当たる確率は、以下の通りです。
   • X=1000 となる確率: $\frac{1}{10}$​
   • X=500 となる確率: $\frac{2}{10}$
   • X=0 となる確率: $\frac{7}{10}$
   これを確率分布表にまとめます。

2. 期待値を計算する 期待値 $E(X)$ は、「(賞金) × (その賞金が当たる確率)」をすべて足し合わせて求めます。 $E(X)=1000\times \frac{1}{10}+500\times \frac{2}{10}+0\times \frac{7}{10}$​
3. $E(X)=100+100+0$
4. $E(X)=200$

答え 200円