【集合と命題】１．集合と要素とは～部分集合・補集合・共通部分・和集合・ドモルガンの法則～

集合と要素

集合と要素とは

例えば

「１から１０までの自然数の集まり」

のように

数やものの集まりのことを集合、集合を構成している１つ１つのものをその集合の要素といいます。

要素の表し方

\(a\) が集合 \(A\) の要素であることを

\(a \in A\)

と表し、\(a\) は集合 \(A\) に属するといいます。

また、逆に \(a\) が集合 \(A\) の要素でない場合は

\(a \notin A\)

と表します。

例えば、

「１から１０までの自然数の集まり」

の集合を \(P\) とすると

\(2 \in P\), \( 11 \notin P\)

となります。

集合の表し方

集合の表し方には,２種類あります。

パターン①：要素を書き並べる方法

集合の表し方の１つ目は「要素を書き並べる方法」です。

例

①　１から５までの自然数 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)

②　３で割り切れる自然数全体の集合\(B = \{3, 6, 9, 12, 15, \cdots\cdots\}\)

パターン②：要素の満たす条件を書く方法

「要素を書き並べる方法」でも集合は表せますが、この方法だと細かな条件をつけることができないため、不便なことが多くあります。

そこで、集合の表し方のもう１つに「要素の満たす条件を書く方法」があります。

例えば、パターン①で紹介した例①②は「要素の満たす条件を書く方法」で表すと以下のようになります。

例

①　１から５までの自然数 \(A = \{n| 1\leq n \leq 5, n は自然数\}\)

②　で割り切れる自然数全体の集合\(B = \{3x|x = 1, 2, 3, \cdots\cdots\}\)

上記のように要素の代表を\(n\), \(3x\) のように表し、 縦線の右にその要素が満たす条件を記載します。

部分集合

２つの集合\(A , B\) において、

\(A\) のどの要素も \(B\) の要素になっているとき,

すなわち

\(x \in A\) ならば \(x \in B\)

が成り立つとき、\(A\) は \(B\) の部分集合といい、

\(A \subset B\)

と表します。

例

\(A = \{1, 3, 5\} ,B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) のとき、\(A\) のどの要素も\(B\) の要素であるため
\(A \subset B\)
である

空集合

要素を１つも持たない集合を空集合といい、\(\emptyset\)で表します。

空集合は任意の集合\(A\) に対して部分集合、すなわち

\(\emptyset \subset A\)

となります。

共通部分と和集合

補集合

ド・モルガンの法則

\(A \cap B , A \cup B\) の補集合について、それぞれ次の法則が成り立ちます。

>> 「2.命題と条件（必要条件・十分条件、条件の否定）」へ進む