集合と命題　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学I）〜

\(\color{red}{3 \in A}\)

\(3\)は集合\(A\)に属することを示す記号 \(\in\) を使用する。

\(\color{red}{e \notin B}\)

\(e\)は集合\(B\)に属さないことを示す記号 \(\notin\)を使用する。

\(\color{red}{C = \{3, 6, 9\}}\)

\(10\)以下の自然数で\(3\)の倍数は\(3、6、9\)である。

\(\color{red}{D = \{x | x \text{は10以下の正の偶数}\}}\) または \(\color{red}{D = \{x | x = 2n, n = 1, 2, 3, 4, 5\}}\)

集合\(D\)の要素はすべて\(10\)以下の正の偶数なので、このような条件で表現できる。

\(\color{red}{\emptyset}\)

空集合は\(\emptyset\)で表す。

\(\color{red}{A \subset B (または A \subseteq B)}\)

\(A\)のすべての要素が\(B\)に含まれているので、\(A\)は\(B\)の部分集合である。

 \(\color{red}{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}}\)

2 つの要素を持つ集合の部分集合は\(2^2 = 4\)個ある。

\(\color{red}{A \cap B = \{3, 4\}}\)

AとBの共通要素は3と4である。

\(\color{red}{A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}\)

\(A\)または\(B\)に属する要素をすべて集めると\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)となる。

\(\color{red}{\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}}\)

全体集合\(U\)に属するが、\(A\)に属さない要素を集める。

\(\color{red}{A \cap B = \emptyset}\)

\(A\)と\(B\)に共通する要素がないので、空集合となる。

\(\color{red}{AとBの和集合の補集合は、Aの補集合とBの補集合の積集合に等しい。}\)

ド・モルガンの法則の基本的な内容を言葉で表現する。

\(\color{red}{A \cap B = \{x | 1 \leq x \leq 3\}}\)

\(A\)と\(B\)の共通部分は、両方の条件を満たす範囲である。

\(\color{red}{A \cup B = \{x | x \text{はすべての実数}\} = \mathbb{R}}\)

\(x < 2\)または\(x > -1\)という条件は、すべての実数を表す。

\(\color{red}{仮定: x = 2、結論: x^2 = 4}\)

「ならば」の前が仮定、後が結論である。

偽。ペンギンやダチョウなど飛べない鳥が存在するため。

反例を示すことで命題が偽であることを証明できる。

ある整数は偶数でない（奇数である）。

「すべて」の否定は「ある～でない」となる。

\(\color{red}{pが真かつqが真の場合}\)

論理では、積は両方が真のときのみ真となる。

\(\color{red}{pが偽かつqが偽の場合}\)

論理和は両方が偽のときのみ偽となる。

真

含意において、仮定が偽の場合は結論の真偽に関係なく命題は真となる。

\(\color{red}{x^2 = 9 ならば x = 3}\)

逆は仮定と結論を入れ替えた命題である。

\(\color{red}{x \neq 3$ ならば $x^2 \neq 9}\)

裏は仮定と結論をそれぞれ否定した命題である。

\(\color{red}{x^2 \neq 9 ならば x \neq 3}\)

対偶は仮定と結論を入れ替えてそれぞれ否定した命題である。

真

\(\color{red}{対偶「nが奇数ならばn^2は奇数」は真なので、元の命題も真。}\)

対偶と元の命題は同値なので、対偶の真偽で判定できる。

真

正の数同士の積は必ず正の数になる。

十分条件

\(x = 2\)であれば \(x² = 4\) が必ず成り立つため。

必要条件

\(x = 2\)であるためには\(x² = 4\)である必要があるが、\(x² = 4\)でも\(x = -2\)の可能性もある。

5個

集合\(A\)の要素\(1, 3, 5, 7, 9\)を数える。

7人

両方好きな生徒：\(12\)人より

数学のみ好きな生徒は\(25 – 12 = 13\)人、

理科のみ好きな生徒は\(20 – 12 = 8\)人 より

どちらも好きでない生徒は

\(40-(13+12+8) = 7人\)

\(\color{red}{A = \{2, 3\}}\)

方程式 \(x² – 5x + 6 = 0\) を解くと、

\((x-2)(x-3) = 0\) より、\(x = 2, 3\)

\(\color{red}{A \cap \overline{B} = \{1, 5\}}\)

\(\overline{B} = \{1, 5, 6\}\)なので、\(A \cap \overline{B} = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 5, 6\} = \{1, 5\}\)

真

\(x > 1\) かつ \(y > 2\)のとき、\(x + y > 1 + 2 = 3\) が必ず成り立つ。

\(\color{red}{\{-2, 1, 2\}}\)

\(x² – 4 = 0\)から\(x = \pm 2、x – 1 = 0\) から \(x = 1\)。これらの和集合は\(\{-2, 1, 2\}\)。

\(\color{red}{A \times A = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}}\)

直積集合は順序対のすべての組み合わせ。

\(\color{red}{逆：偽（x = 4のとき\sqrt{x} = 2とは限らない)}\)

\(\color{red}{裏：偽}\)

\(\color{red}{対偶：真}\)

元の命題は真なので、対偶も真。逆と裏は偽。

\(\color{red}{B \subseteq A}\)

\(A\cupB = A\)となるのは\(B\)が\(A\)の部分集合の場合。

真

\(4\)の倍数は必ず\(2\)の倍数（偶数）でもある。

\(\color{red}{任意の要素は集合Aに属するかその補集合\overline{A}に属するかのどちらかであり、全体集合Uのすべての要素が含まれるため。}\)

真

\(\color{red}{x = 1またはx = 2のとき、実際にx² – 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0が成り立つ。}\)

 \(\color{red}{A = \{x | -3 < x < 3\}}\)

\(|x| < 3\)は\(-3 < x < 3\)と同値。

十分条件

\(a > 0ならばa² > 0は成り立つが、a² > 0でもa < 0の場合がある。\)

偽

\(2 + 3 = 5\)は真だが、\(3 × 4 = 13\)は偽（正しくは\(12\)）なので、論理積は偽。

15人

\(50 – 10 = 40\)人が何らかの部活に所属。\(30 + 25 – x = 40\)より、\(x = 15\)人。

元の命題：真、対偶：真

有理数は実数の部分集合なので真。対偶も同値なので真。

\(\color{red}{A = \{x | -1 \leq x \leq 3\}}\)

\(x² – 2x – 3 = (x+1)(x-3) \leq 0\)より、\(-1 \leq x \leq 3\)。

\(\color{red}{すべての実数 x に対して x^2 < 0}\)

「ある」の否定は「すべて～ない」、「≥」の否定は「<」。

100人

\(n(A∪B) = 80 + 70 – 50 = 100人。\)

\(\color{red}{偽。反例： a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}とすると、両方無理数だが a + b = 0（有理数）。}\)

反例を示すことで命題が偽であることを証明。

\(\color{red}{A \cap B = \{1\}}\)

\(A = \{-1, 1\}、B = \{x | x > 0\}\)なので、共通部分は\(\{1\}\)。

\(\color{red}{十分条件。p \Rightarrow q は真だが、q \Rightarrow p は偽（ x = -3のとき x^2 = 9 > 4 だが x = -3 < 2）。}\)

\(x > 2\)ならば \(x² > 4\) は成り立つが、逆は成り立たない。