１．集合の要素の個数
\(U\)を全体集合とし，\(A, B\)をその部分集合とする。
①\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
②\(A \cap B = \emptyset \) のとき \(n(A \cup B) =n(A)+n(B)\)
例題
\(1\)から\(50\)までの整数のうち，\(2\)と\(9\)の少なくとも一方で割り切れる数は何個あるか。
解答
\(1\)から\(50\)までの整数のうち，
\(2\)で割り切れる数は \(50 \div 2=25\) より \(25\)個
\(9\)で割り切れる数は \(50 \div 9=5 \cdots 5 \)より \(5\)個
\(2\)かつ\(9\)、すなわち、\(18\)で割り切れる数は
\(50 \div 18=2 \cdots 14\) より \(2\)個
したがって、
\(2\)と\(9\)の少なくとも一方で割り切れる数は
\(25+5-2=28\) \(28\)個
\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)
例題
\(1\)から\(50\)までの整数のうち，\(8\)で割り切れない数は何個あるか。
解答
\(1\)から\(50\)までの整数のうち，\(8\)で割り切れる数は
\(50 \div 8=6 \cdots 2\) より \(6\)個
よって，\(8\)で割り切れない数は \(50-6=44\) より \(44\)個
２．場合の数
２つの事柄A, Bは同時には起こらないとする。
Aの起こり方が\(a\)通りあり，Bの起こり方が\(b\)通りあるとすると，AまたはBの起こる場合の数は
\(a+b\) 通り
例題
大小2個のさいころを投げるとき，目の和が3または5になる場合は何通りあるか。
解答
目の和が3になる場合の数は
\((1, 2), (2, 1) \)の ２通り
目の和が5になる場合の数は
\((1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \)の ４通り
この２つは同時には起こらないから
目の和が3または5になる場合の数は
\(2+4=6\) よって ６通り
事柄A の起こり方が\(a\)通りあり，そのおのおのの場合について，事柄B の起こり方が\(b\)通りあるとすると，AとBがともに起こる場合の数は
\(a \times b\) 通り
例題
３冊の国語の参考書の中から１冊，４冊の数学の参考書の中から１冊の合計２冊を選ぶ方法は何通りあるか。
解答
３冊の国語の参考書を選んだそれぞれの場合について、数学の参考書の選び方が４通りずつあるから
\(3 \times 4=12\) \(12\)通り
３．順列
異なる\(n\)個のものから\(r\)個選んで並べる場合の総数は
\({}_n P_r =n(n-1)(n-2) \cdots\cdots (n-r+1)\) 通り
例題
① \({}_5 P_3\)の値を求めよ。
②10人の中から委員長と副委員長を１人ずつ選ぶ方法は，何通りあるか。
解答
① \({}_5 P_3=5\cdot4\cdot3=60\)
② \({}_{10} P_2=10\cdot9=90\)
よって ９０通り
異なる\(n\)個のものをすべて並べる場合の総数は
\(n! = n(n-1)(n-2) \cdots\cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \) 通り
例題
① \(6!\)の値を求めよ。
② １から５までの数をすべて使ってできる整数は，何個あるか。
解答
① \(6!= 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=360 \)
② \(5!= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 \)
より 120個
４．円順列
異なる\(n\)個のものの円順列の総数は
\((n-1)!\)
例題
6人が円形のテーブルに着席するとき、並び方は全部で何通りあるか。
解答
\((6-1)!= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 \)
より 120通り
５．組合せ
① \({}_n C_r\)
\(=\frac{{}_n P_{n-r}}{r!}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots\cdots (n-r+1)}{r(r-1)\cdots\cdots\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
② \({}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) \((0!=1, {}_n C_0 =1)\)
① \({}_n C_r = {}_n C_{n-r}\) \((ただし、0 \leq r \leq n)\)
② \({}_n C_r = {}_{n-1} C_{r-1}+{}_{n-1}C_r\) \((ただし、1 \leq r \leq n-1, n \geq 2)\)
例題
① \({}_6 C_3\), \({}_{100} C_{98}\)の値をそれぞれ求めよ。
② 7人の生徒の中から２人を選ぶ方法は，何通りあるか。
解答
① \({}_6 C_3=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot 1}\)
\(=20\),
\({}_{100} C_{98}={}_100 C_2=\frac{100\cdot99}{2\cdot1}\)
\(=4950\)
② \({}_7 C_2=\frac{ 7 \cdot 6}{2\cdot 1}\)
\(=21\)
より ２１通り
６．同じものを含む順列
aが\(p\)個, bが\(q\)個，c が\(r\)個あるとき，それら全部を１列に並べる順列の総数は
\({}_n C_p \times {}_{n-p}C_q = \frac{n!}{p!q!r!}\) \((ただし、p+q+r=n)\)
例題
a, a, b, b, b, c,c の7文字を１列に並べる方法は何通りあるか。
解答
\(\frac{7!}{2!3!2!}=210\)
よって 210通り
※\({}_7 C_2 \times {}_5 C_3=210\) でも可
７．事象と確率
全事象\(U\)のどの根元事象も同様に確からしいとき，
事象\(A\)の起こる確率\(P(A)\)は
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}\)
例題
ジョーカーを除く１組52枚のトランプから１枚を選ぶとき，その札が3である確率を求めよ。
解答
全52枚の中に3の札は4枚あるから
\(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
よって, 求める確率は
\(\frac{1}{13}\)
８．いろいろな事象
２つの事象を\(A,B\)とする。
\(A\)と\(B\)がともに起こる事象
\(A\)または\(B\)のどちらか一方が起こる事象
空集合\(\emptyset\)で表される事象
2つの事象\(A, B\)が同時に起こらないとき，\(A, B\)は互いに排反または、互いに排反事象であるという。
９．確率の基本性質
① \(0 \leq P(A) \leq 1\)
② 空事象\(\emptyset\)の確率：\(P(\emptyset)=0\)
③ 全事象\(U\)の確率：\(P(U)=1\)
④ 事象\(A, B\)が互いに排反であるとき \(P(A \cup B)=P(A)+P(B) \)
例題
白玉4個, 赤玉3個が入っている袋から，玉を同時に３個取り出すとき，すべて同じ色が出る確率を求めよ。
解答
すべて同じ色が出るのは，取り出した３個の玉がすべて白玉か赤玉の場合のみである。
①すべて白玉である確率は
\(\frac{{}_4 C_3}{{}_7C_3}\)
②すべて赤玉である確率は
\(\frac{{}_3 C_3}{{}_7C_3}\)
①，②は互いに排反であるから、求める確率は
\(\frac{{}_4 C_3}{{}_7C_3}+\frac{{}_3 C_3}{{}_7C_3}\)
\(=\frac{1}{7}\)
１０．和事象の確率
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
※特に, \(A \cap B=\emptyset\)のとき \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)
例題
1から50までの50枚のカードから1枚を取り出すとき，その番号が3または5で割り切れる確率を求めよ。
解答
50枚のうち
①3で割り切れる数は
\(50 \div 3=16 \cdots 2\) より \(16\)枚
②５で割り切れる数は
\(50 \div 5=10 \) より \(10\)枚
③3かつ５すなわち１５で割り切れる数は
\(50 \div 15=3 \cdots 5 \) より \(3\)枚
したがって、３または５で割り切れる確率は
\(\frac{16+10-3}{50}\)
\(=\frac{23}{50}\)
１１．余事象の確率
\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
例題
1から50までの50枚のカードから1枚を取り出すとき，その番号が3または5で割り切れる確率を求めよ。
解答
50枚のうち7で割り切れる数は
\(50 \div 7=7 \cdots 1\) より \(7\)枚
よって、7の倍数である確率は
\(\frac{7}{50}\)
したがって，7の倍数でない確率は
\(1-\frac{7}{50}\)
\(=\frac{43}{50}\)
１２．独立な試行の確率
２つの試行SとTが独立であるとき，Sで事象\(A\)が起こり，かつTで事象\(B\)が起こる確率\(p\)は，
\(p=P(A)P(B)\)
例題
ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚を抜き取り，カードを見てからもとに戻すことを2回行うとき，１回目に３の札、２回目にスペードの札が出る確率を求めよ。
解答
52枚のトランプの中に3の札は4枚、スペードの札は13枚あり、１回目と２回目の事象は独立しているから、
\(\frac{4}{52} \cdot \frac{13}{52}\)
\(=\frac{1}{52}\)
よって
\(\frac{1}{52}\)
１３．反復試行の確率
１回の試行で事象\(A\)の起こる確率を\(p\)とする。この試行を\(n\)回行う反復試行で，
\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
\({}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
例題
白玉2個，赤玉3個が入っている袋から玉を1個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを3回続けて行うとき，白玉がちょうど２回出る確率を求めよ。
解答
袋から玉を１個取り出したとき，
白玉が出る確率 → \(\frac{2}{5}\)
赤玉が出る確率 → \(\frac{3}{5}\)
したがって、白玉がちょうど２回でる確率は
\({}_3 C_2 (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5})\)
\(=\frac{36}{125}\)
よって
\(\frac{36}{125}\)
１４．条件付き確率
事象\(A\)が起こったときの事象\(B\)の起こる確率は
\(P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
例題
ある鉄道の乗客のうち、全体の30％が定期券利用者で，全体の10％が学生の定期券利用者であることがわかった。定期券利用者の中から１人を選び出すとき，その人が学生である確率を求めよ。
解答
乗客全体から選び出された１人が定期券利用者であるという事象を\(A\),
学生であるという事象を\(B\)とすると、
\(P(A)=\frac{30}{100}\), \(P(A \cap B=\frac{10}{100})\)
よって、求める確率は
\(P_A(B)\)
\(=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
\(=\frac{10}{100} \div \frac{30}{100}\)
\(=\frac{1}{3}\)
１５．確率の乗法定理
２つの事象\(A, B\)がともに起こる確率は
\(P(A \cap B)=P(A)P_A(B)\))
例題
当たりくじ4本を含む10本のくじの中から，引いたくじはもとに戻さないで，1本ずつ2回続けてくじを引く。このとき2本とも当たる確率を求めよ。
解答
1本目が当たる事象を\(A\), ２本目が当たるという事象を\(B\)とすると，
\(P(A)=\frac{4}{10}\)
また、１本目が当たりであるとき，２本目が当たる確率は全部で9本から当たりくじ3本のどれかが出ればよいから
\(P_A(B)=\frac{3}{9}\)
よって、２本とも当たる確率は，確率の乗法定理より、
\(P(A \cap B)\)
\(=P(A)P_A(B)\)
\(= \frac{4}{10} \times \frac{3}{9}\)
\(= \frac{2}{15}\)
よって
\( \frac{2}{15}\)
１６．期待値
\(X\)のとる値
\(x_1,x_2,\cdots\cdots,x_n\)
の起こる確率がそれぞれ
\(p_1, p_2,\cdots\cdots,p_n\)
であるとき，
\(X\)の期待値は
\(x_1p_1+ x_2p_2+ x_3p_3+\cdots\cdots+x_np_n\)
例題
１個のさいころを投げて，４以下の目が出ると100円，５の目が出ると200円，６の目が出ると300円の賞金が得られるとする。この試行において，さいころを１回投げて得られる賞金額の期待値を求めよ。
解答
１回さいころを投げて
４以下の目(100円)が出る確率は \(\frac{4}{6}\)
５の目(200円)が出る確率は \(\frac{1}{6}\)
６の目(300円)が出る確率は \(\frac{1}{6}\)
であるから、１回投げて得られる賞金額の期待値は
\(100 \times \frac{4}{6}+200 \times \frac{1}{6}+300 \times \frac{1}{6}\)
\(=150\)
よって １５０円
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