【中学数学】図形~公式・例題一覧(平面図形・立体図形・空間図形)~

ここでは、【中学数学】「図形」分野でよく利用する公式(基礎知識)や例題を一覧にしてまとめています。

1.平面図形
円周の長さ・円の面積

半径 \(r\) の円において, 円周率を\(\pi\) とすると

①円周の長さ \(l = 2 \pi r\)
※(直径)× (円周率)

②円の面積 \(S = \pi r^2\)
※(半径)×(半径)×(円周率)

例題

半径 \(3\) の円について,次の問いに答えよ。円周率を\(\pi\) とする。

(1)円周の長さ \(l\) を求めよ。

(2)円の面積 \(S\) を求めよ。

解答

(1)\(l = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi\)

(2)\(S = \pi \times 3^2 = 9\pi\)

扇形の弧の長さ・面積

半径 \(r\) 中心角 \(a\) の扇形において,

円周率を\(\pi\) とすると

①弧の長さ \(l = 2 \pi r \times \displaystyle\frac{a}{360^\circ}\)
※円周に対する割合\(\displaystyle\frac{a}{360^\circ}\)を掛けると弧の長さになる

②面積 \(S = \pi r^2 \times \displaystyle\frac{a}{360^\circ }\)
※円の面積に対する割合\(\displaystyle\frac{a}{360^\circ }\)を掛けると扇形の面積になる

例題

半径 \(3\) , 中心角 \(60^{\circ}\) の扇形について, 次の問いに答えよ。円周率を\(\pi\) とする。

(1)弧の長さ \(l\) を求めよ。

(2)面積 \(S\) を求めよ。

解答

(1)\(l = 2 \times \pi \times 3 \times \displaystyle\frac{60^\circ}{360^\circ} = \pi\)

(2)\(S = \pi \times 3^2 \times \displaystyle\frac{60^\circ}{360^\circ}= \displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

多角形の内角の和と正多角形の内角

①\(n\) 角形の内角の和は

\( 180^\circ \times (n -2)\)
※三角形(内角の和が180°)が\((n – 2)\)個あると考える

②正\(n\)角形の1つの内角の大きさは

\(\displaystyle\frac{1}{n}\{180^\circ  \times (n -2)\}\)
※正\(n\)角形はすべての内角の和が等しいため、\(n\) 角形の内角の和を頂点の数\(n\)で割る

例題

正十角形の1つの内角の大きさを求めよ。

解答

\(\displaystyle\frac{1}{10}\{180^\circ  \times (10 – 2)\} = 144^{\circ}\)

三角形の合同条件

①3辺の長さがそれぞれ等しい(三辺相等)

②2辺のその間の角がそれぞれ等しい(二辺挟角相等)

③1辺とその両端の角がそれぞれ等しい(一辺両端角相等)

※特に、直角三角形の合同条件は以下になる

①’ 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

②’ 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

例題

線分ABと CD が, AP = DP, CP = BPとなるように,点P で交わっている。

このとき,△APC ≡ △DPBであることを証明せよ。

解答

△APC と △DPB において

① AP = DP (仮定より)
② CP = BP(仮定より)
③ ∠APC = ∠DPB(対頂角より)

①、②、③から2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

△APC ≡ △DPB

三角形の相似条件

①3辺の比がそれぞれ等しい(三辺比相等)
②2辺の比とその間の角が等しい(二辺比挟角相等)
③2つの角がそれぞれ等しい(二角相等)

例題

次の2つの三角形は相似であることを示せ。

解答

三角形ABCと三角形DEFにおいて

① AB:BC = DE:EF = 2:3
② ∠ABC = ∠DEF = 60°

①、②より、2辺の比とその間の角が等しいから

三角形ABCと三角形DEFは相似である

平行線と比

図において、\(DE /\!/ BC\) のとき

①\(AD : AB = AE : AC = DE : BC\)
② \(AD : DB = AE : EC\)

例題

次の図の△ABC において, \(DE /\!/ BC\)のとき, \(x\) の値を求めなさい。

解答

\(DE /\!/ BC\) のとき

△ABC∽△ADE より

AB : AD = BC : DE より,

\(x + 6 : 6 = 6 : 4\)

\(4(x + 6) = 36\)

\(x +6 = 9\)

\(x = 3\)

中点連結定理

三角形ABCにおいて\(M, N\) がそれぞれ\(AB, AC\) の中点のとき

①\(MN /\!/ BC\)
②\(MN:BC = 1:2\)

例題

次の図の△ABC において, 点D, E は三角形ABCの中点であるとき\(x\) の値を求めなさい。

解答

点D,Eが三角形ABCの中点であるとき,中点連結定理より,

\(DE /\!/ BC\)  かつ DE : BC = 1 : 2 より,

\(x = 4 \times 2 = 8\)

\(\angle\)Aの内角の二等分線

△ABCの\(\angle\)Aの内角の二等分線と辺BCとの交点Pは,辺BCをAB:ACに内分する

BP:PC=BA:AC

例題

右の図でAPは\(\angle\)Aの内角の二等分線とする。AB=8, AC=6 であるとき,

BP:PCを求めよ。

解答

APは\(\angle\)Aの内角の二等分線より

BP:PC=BA:AC=8:6=4:3

円周角の定理

①図において、4点A, B, P, Q が同一円周上にあるとき、 

\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB

②円周角は中心角の半分

※特に、直径(中心角\(180^\circ\))がつくる円周角は直角(\(90^\circ\))

例題

図において、4点A, B, P, Q が同一円周上にあり、∠AQB = 50° のとき, ∠APBの値を求めよ。

解答

4点A, B, P, Q が同一円周上にあるから、円周角の定理より

\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB = 50°

円に内接する四角形

四角形が円に内接するとき、

①対角の和は \(180^\circ\)

②内角は,その対角の外角に等しい

例題

右の図のように,四角形ABCDが円に内接し,
\(\angle\mathrm{BAD} = 113^{\circ}\)です。
このとき,
\(\angle\mathrm{\alpha}\)
の大きさを求めなさい。

解答

四角形ABCDは円に内接しているので

\(\alpha = \angle\mathrm{BAD} = 113^{\circ}\)

よって

\(\color{red}{\alpha = 113^{\circ}}\)

方べきの定理

①\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\)

②\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\)

③\(PA \cdot PB =PT^2\)

例題

次の図において、CPの長さを求めよ。

解答

方べきの定理より

\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\) より

\(4 \times 2 = PC \times 3\)

\(CP = \displaystyle\frac{8}{3}\)

チェバの定理

図のような△ABC において

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \cdot \displaystyle\frac{PC}{BP} \cdot \displaystyle\frac{QA}{CQ} = 1\)

例題

次の図の△ABC において, \(3\) 点\(P, Q, R\) は

それぞれ辺\(BC, CA, AB\)上の点です。

\(3\) つの線分\(AP, PQ, CR\) が1点\(O\) で交わるとき,

\(AR:RB\) を最も簡単な整数の比で表しなさい。

解答

△ABC においてチェバの定理より

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{PC}{BP} \times \displaystyle\frac{QA}{CQ} =1 \)

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{7}{6} \times \displaystyle\frac{4}{5} =1 \)

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} = \displaystyle\frac{15}{14} \)

したがって、

\(\color{red}{AR : RB = 14 : 15}\)

メネラウスの定理

図のような△ABC と直線\(\ell\)において

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \cdot \displaystyle\frac{PC}{BP} \cdot \displaystyle\frac{QA}{CQ} = 1\)

例題

次の図の△ABC において, \(3\) 点\(P, Q, R\) は

それぞれ辺\(BC, CA, AB\)上の点です。

\(3\) つの線分\(AP, PQ, CR\) が1点\(O\) で交わるとき,

\(AO:OP\) を最も簡単な整数の比で表しなさい。

解答

三角形ABCと線分CRにおいて、メネラウスの定理より

\(\displaystyle\frac{QC}{AQ} \cdot \displaystyle\frac{BP}{CB} \cdot \displaystyle\frac{OA}{PO} = 1\) より

\(\displaystyle\frac{5}{4} \cdot \displaystyle\frac{6}{13} \cdot \displaystyle\frac{OA}{PO} = 1\) より

\(\displaystyle\frac{OA}{PO} = \displaystyle\frac{26}{15}\)

よって

AO:OP=26:15

三平方の定理

\(\angle C = 90^\circ\) の直角三角形ACBにおいて

\(a^2 + b^2 = c^2\)

例題

右の図の直角三角形において、\(x\) の値を求めなさい。

解答

三平方の定理より

\(x = \sqrt{3^2 + 6^2}\)

\(x = \sqrt{45}\)

\(\color{red}{x = 3\sqrt{5}}\)

座標平面上の2点間の距離

2点\(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) 間の距離\(d\) は

\(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)

例題

2点\(A(2, 1), B(5, 3)\)の距離 AB を求めよ。

解答

AB \(= \sqrt{(5 – 2)^2 + (3 – 1)^2}\)

\(= \sqrt{9 + 4}\)

\(= \sqrt{13}\)

2.立体図形・空間図形
〇〇柱の体積

①角柱の体積

底面積が\(S\), 高さが\(h\) の角柱の体積\(V\) は

\(V = SH\)

※(角柱の体積)=(底面積)×(高さ)

②円柱の体積

底面の半径が \(r\)、 高さが \(h\) の円柱の体積\(V\)は

\(V = \pi r^2 h\)

※円柱の場合は底面積\(S = \pi r^2\)となる

例題

底面の半径が \(2\)、 高さが \(5\) の円柱の体積\(V\) を求めよ。

解答

\(V = \pi 2^2 \times 5 = 20\pi\)

〇〇錐の体積

①角錐の体積

底面積が\(S\), 高さが\(h\) の角柱の体積\(V\) は

\(V = \displaystyle\frac{1}{3}SH\)

※(角柱の体積)=\(\displaystyle\frac{1}{3}\)×(底面積)×(高さ)

②円錐の体積

底面の半径が \(r\)、 高さが \(h\) の円柱の体積\(V\)は

\(V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

※円錐の場合は底面積\(S = \pi r^2\)となる

例題

底面の半径が \(2\)、 高さが \(6\) である円錐の体積\(V\) を求めよ。

解答

\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 8\pi \)

円柱の側面積

底面の半径\(r\), 高さが\(h\) である円柱の側面積\(S\)は

\(S = 2 \pi r h\)

例題

底面の半径\(2\), 高さが\(5\) である円柱の側面積\(S\) を求めよ。

解答

\(S = 2 \cdot \pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi\)

円錐の側面積

底面の半径\(r\), 母線の長さが\(l\) である円錐における側面積\(S\)は

\(S = \pi r l\)

例題

底面の半径\(2\), 母線の長さが\(5\) である円錐における側面積\(S\) を求めよ。

解答

\(S = \pi \cdot 2 \cdot 5 = 10\pi\)

球の体積・表面積

半径\(r\) の球において

①体積\(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)

※「身(\(3\))の上に心配(\(4\pi\))ある(\(r\))ので参上(\(3乗\))」

と覚える

②表面積\(S = 4\pi r^2\)

※「心配(\(4\pi\))ある(\(r\))事情(\(2\)乗)」

と覚える

例題

半径が \(3\) である球について次の問いに答えよ。

(1)体積\(V\)

(2)表面積\(S\)

解答

(1)体積\(V = \displaystyle\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 3^3 = 36\pi\)

(2)表面積\(S = 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 36\pi\)

直方体の対角線の長さ

各辺の長さが\(a, b, c\)である直方体の対角線の長さ\(L\)

\(L = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)         

例題

次のような直方体の対角線の長さ\(L\) を求めよ。

解答

\(L = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\)     

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