２次関数のグラフの書き方～【数学Ⅰ】２次関数分野解説～

関数とは

\(x\) の値を定めるとそれに対応して\(y\) の値がただ１つ定まるとき, \(y\) は \(x\) の関数といいます。

例えば

\(y = 3x + 1\)

は\(x\) の値を１つ定めると\(y\) の値がただ１つ定まるので\(y\) は \(x\) の関数です。

\(y = 3x + 1\) のように\(x\) の１次式で表される関数を\(x\) の１次関数といいます。

１次関数のグラフの書き方はこちら

１次関数は\(a\), \(b\) を定数として一般に次の形で表されます。

\(y = ax + b\) \((a \neq 0)\)

２次関数のグラフの書き方

\(x\) の２次式で表される関数を\(x\) の２次関数といいます。

２次関数は\(a\), \(b\) , \(c\) を定数として一般に次の形で表されます。

\(y = ax^2 + bx + c\) \((a \neq 0)\)

2次関数\(y = ax^2\)のグラフの書き方

まず、\(y = ax^2\) のグラフを考えてみましょう。

一般に、２次関数\(y = ax^2\) のグラフは,　原点\(O\) を通り, \(y\) 軸に関して対称な曲線となります。

上記のように、２次関数\(y = ax^2\) のグラフは\(a\) の値の符号によって、２種類存在します。

このグラフの形の曲線を放物線といい、放物線は対称の軸を必ずもっています。

この対称の軸のことを、その放物線の軸といい、軸と放物線の交点を,その放物線の頂点といいます。

２次関数\(y = ax^2\) のグラフの場合は、軸が\(y\) 軸, 頂点が原点の放物線となります。

２次関数\(y = a(x – p)^2 + q\) のグラフの書き方

続いて、\(y = a(x – p)^2 + q\) のグラフを考えてみましょう。

例えば、\(y = 2(x – 3)^2 + 4\)のグラフは値を調べると以下のようになります。

すなわち、\(y = 2x^2\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(3\) , \(y\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した放物線となります。

つまり、この放物線の頂点は\((3, 4)\) , 軸は直線 \(x = 3\) となります。

一般に、２次関数 \(y = a(x – p)^2 + q\) は次のことがいえます。

したがって、このことを活用すると、以下の手順により \( y = a(x – p)^2 + q\) のグラフを書くことができます。

例題　2次関数\(y = 2(x – 3)^2 + 4\) の頂点と軸を求めよ。

２次関数\(y = ax^2 + bx + c\) のグラフの書き方

続いて、\(y = ax^2 + bx + c\) のグラフを考えてみましょう。

結論、これは \( y = a(x – p)^2 + q\) の 形に変形することで２次関数のグラフをかくことができます。

このような変形をすることを平方完成するといいます。

平方完成

基本的な平方完成は２乗の展開公式

\((x – p)^2 = x^2 -2px + p^2\) より

例題　\(2x^2 – 4x + 1\) の平方完成をせよ。

例題　\(y = -2x^2 – 8x – 3\) のグラフをかけ。また, その頂点と軸を求めよ。

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