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\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) \)
の形で表される方程式を２次方程式といいます。
この記事では、２次方程式の解き方について解説しています。
２次方程式の解き方
結論、２次方程式の解き方には以下の３つの方法があります。
① 因数分解の利用
⇒ 左辺が因数分解できるとき
② 平方根の利用
⇒ \(\color{red}{x^2 = p}\) の形になるとき（\(\color{red}{x}\) の項がないとき）
③ 解の公式の利用
⇒ 左辺が因数分解できないとき
※\(x\) の係数が偶数のときは、偶数解の公式を利用する
①因数分解を利用する解法
２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\)において、以下の例題のように左辺が因数分解できる形のときは「因数分解を利用した解法」を用います。
例題 ２次方程式 \(x^2 – 3x – 4 = 0\) を解け。
\(x^2 – 3x – 4 = 0\) ← 左辺が因数分解できる
左辺を因数分解すると
\((x + 1) (x – 4) = 0\)
よって
\(x + 1 = 0\) または \(x – 4 = 0\) ← A×B＝０のとき A＝０またはB＝０
すなわち
\(x = -1\) または \(x = 4\)
よって
\(x = -1, 4\)
②平方根を利用する解法
２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\)において、\(b = 0\) のとき、
すなわち、
\(ax^2 + c = 0 (a \neq 0)\)
のときは、
\(x^2 = p (p は定数)\)
に変形できるため、「平方根を利用した解法」を用います。
例題 ２次方程式 \(x^2 – 4 = 0\) を解け。
\(x^2 – 4 = 0\) ← \(\color{red}{x}\) の項がない場合は、平方根を利用する
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
③解の公式を利用する解法
２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\)において、以下の例題のように左辺が因数分解できない形のときは以下の「解の公式を利用した解法」を用います。
解の公式
２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解は、
\(x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
例題 ２次方程式 \(2x^2 + 7x + 1 = 0\) を解け。
\(2x^2 + 7x + 1 = 0\) ← 左辺が因数分解できない
\(x = \displaystyle\frac{-7 \pm \sqrt{7^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2\cdot 2}\)
\(= \displaystyle\frac{-7 \pm \sqrt{41}}{4}\)
偶数解の公式
２次方程式 \(ax^2 + 2b’x + c = 0\) の解は, 解の公式を利用することにより、次のようになる。
\(x = \displaystyle\frac{-2b’ \pm \sqrt{(2b’)^2 – 4ac}}{2a}\)
\(= \displaystyle\frac{-2b’ \pm \sqrt{4b’^2 – 4ac}}{2a}\)
\(= \displaystyle\frac{-2b’ \pm 2\sqrt{b’^2 – ac}}{2a}\)
\(= \displaystyle\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2 – ac}}{a}\)
したがって、次の偶数解の公式が成り立ちます。
２次方程式 \(ax^2 + 2b’x + c = 0\) の解は、
\(x = \displaystyle\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2 – ac}}{a}\)
シンスケしたがって、\(x\) の係数が偶数の場合は以下の偶数解の公式を利用すると簡単に計算することができます。
例題 ２次方程式 \(7x^2 + 4x – 1 = 0\) を解け。
\(7x^2 + 4x – 1 = 0\) ← \(\color{red}{x}\) の係数が偶数の場合は偶数解の公式を利用する
\(\color{red}{(a = 7, b’ = 2, c = -1)}\) ← \(\color{red}{x}\) の係数だけ半分にしておく
\(x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 7 \cdot (-1)}}{7}\)
\(= \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{11}}{7}\)
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