ここでは、【数学A】「図形の性質」でよく利用する公式（基礎知識）と例題を一覧にしています。
１．角の二等分線の公式
△ABCの\(\angle\)Aの内角の二等分線と辺BCとの交点Pは，辺BCをAB：ACに内分する
BP：PC＝BA：AC
例題
右の図でAPは\(\angle\)Aの内角の二等分線とする。AB＝8, AC＝6 であるとき,
BP：PCを求めよ。
解答
APは\(\angle\)Aの内角の二等分線より
BP：PC＝BA：AC＝8：6＝4：3
AB \(\ne\)AC である△ABCの\(\angle\)Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点Qは，辺BCをAB：ACに外分し、次が成り立つ
BQ：QC＝BA：AC
例題
図のような, AB = 12, BC = 10, CA = 8 である三角形ABCにおいて, ∠A の外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。
辺 CD の長さを求めよ。
解答
ADは∠Aの外角の二等分線より
BD：CD＝BA：AC＝12：8＝3：2
よって
(10 + CD) ：CD ＝3：2
2(10 + CD) ＝3CD
CD ＝ 20
２．三角形の外心・内心・重心
点Oが三角形ABCの外心
①点Oは３辺の垂直二等分線の交点
②点Oは外接円の中心（OA=OB=OC）
例題
次の図で点O は三角形ABC の外心であるとするとき,∠\(\alpha\) の値を求めよ。
解答
点O が三角形ABC の外心であるとき, 円周角の定理より
∠\(\alpha = 65 \times 2 = 130^{\circ}\)
点Iが三角形ABCの内心
①点Iは内角の二等分線の交点
②点Iは内接円の中心（ID=IE=IF）
例題
次の図で点Ｉ は三角形ABC の内心であるとするとき,∠\(\alpha\) の値を求めよ。
解答
点Ｉ が三角形ABC の内心であるとき, 線分AO, BO, CO は∠A, ∠B, ∠C の二等分線であるから,
\(\angle OAB = \angle OAC = 35^{\circ}\)
\(\angle OBA = \angle OBC = \beta^{\circ}\)
\(\angle OCB = \angle OCA = \gamma^{\circ}\)
より
\(2\beta + 2\gamma = 180^{\circ} – 70^{\circ} = 110^{\circ}\)
\(\beta + \gamma = 55^{\circ}\)
したがって、
\(\alpha = 180^{\circ} – 55^{\circ} = 125^{\circ}\)
点Gが三角形ABCの重心
①点Gは３つの中線の交点。
②各頂点から中点までの比が２：１
例題
三角形ABCの重心をGとし,2点A, Gから直線BCに下した垂線を,それぞれAH, GK とするとき,
AH：GKを求めよ。
解答
辺BC の中点をMとする
AHとGKは平行であるから,
AH：GK = AM：GM
Gは三角形ABC の重心であるから
AG：GM = 2：1
よって AM：GM = 3：1
したがって
AH：GK = 3：1
３．チェバの定理
図のような△ABC において
\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \cdot \displaystyle\frac{PC}{BP} \cdot \displaystyle\frac{QA}{CQ} = 1\)
例題
次の図の△ABC において, \(3\) 点\(P, Q, R\) は
それぞれ辺\(BC, CA, AB\)上の点です。
\(3\) つの線分\(AP, PQ, CR\) が1点\(O\) で交わるとき,
\(AR:RB\) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
解答
△ABC においてチェバの定理より
\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{PC}{BP} \times \displaystyle\frac{QA}{CQ} =1 \)
\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{7}{6} \times \displaystyle\frac{4}{5} =1 \)
\(\displaystyle\frac{RB}{AR} = \displaystyle\frac{15}{14} \)
したがって、
\(\color{red}{AR : RB = 14 : 15}\)
４．メネラウスの定理
図のような△ABC と直線\(\ell\)において
\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \cdot \displaystyle\frac{PC}{BP} \cdot \displaystyle\frac{QA}{CQ} = 1\)
例題
次の図の△ABC において, \(3\) 点\(P, Q, R\) は
それぞれ辺\(BC, CA, AB\)上の点です。
\(3\) つの線分\(AP, PQ, CR\) が1点\(O\) で交わるとき,
\(AO:OP\) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
解答
三角形ABCと線分CRにおいて、メネラウスの定理より
\(\displaystyle\frac{QC}{AQ} \cdot \displaystyle\frac{BP}{CB} \cdot \displaystyle\frac{OA}{PO} = 1\) より
\(\displaystyle\frac{5}{4} \cdot \displaystyle\frac{6}{13} \cdot \displaystyle\frac{OA}{PO} = 1\) より
\(\displaystyle\frac{OA}{PO} = \displaystyle\frac{26}{15}\)
よって
AO：OP＝26：15
５．円周角の定理とその逆
①図において、４点A, B, P, Q が同一円周上にあるとき、
\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB
②円周角は中心角の半分
※特に、直径（中心角\(180^\circ\)）がつくる円周角は直角（\(90^\circ\)）
例題
図において、４点A, B, P, Q が同一円周上にあり、∠AQB = 50° のとき, ∠APBの値を求めよ。
解答
４点A, B, P, Q が同一円周上にあるから、円周角の定理より
\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB = 50°
図において、\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB が成り立つとき、
４点A, B, P, Q は同一円周上にある
（四角形ABPQは円に内接する）
６．円に内接する四角形
四角形が円に内接するとき、
①対角の和は \(180^\circ\)
②内角は，その対角の外角に等しい
例題
右の図のように,四角形ABCDが円に内接し,
\(\angle\mathrm{BAD} = 113^{\circ}\)です。
このとき,
\(\angle\mathrm{\alpha}\)
の大きさを求めなさい。
解答
四角形ABCDは円に内接しているので
\(\alpha = \angle\mathrm{BAD} = 113^{\circ}\)
よって
\(\color{red}{\alpha = 113^{\circ}}\)
７．接線と弦の作る角
図において、直線ATが円Oの接線であるとき、
\(\angle ACB = \angle BAT\)
例題
右の図で,直線\(\ell\) は円の接線,Aはその接点である。
このとき,角\(\theta\)を求めよ。
解答
\(\theta = 55^{\circ}\)
８．方べきの定理
①\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\)
②\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\)
③\(PA \cdot PB =PT^2\)
例題
次の図において、CPの長さを求めよ。
解答
方べきの定理より
\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\) より
\(4 \times 2 = PC \times 3\)
\(CP = \displaystyle\frac{8}{3}\)
９．多面体
多角形の面で囲まれた立体を多面体といい、へこみのない多面体を凸多面体という
凸多面体の頂点の数を\(v\), 辺の数を\(e\), 面の数を\(f\)とすると、
\(v-e+f=2\)
が常に成り立つ
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