【数学Ⅱ】図形と方程式～公式集・例題一覧～

２点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)の距離ABは

AB = \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – x_1)^2}\)

①点\((x_1, y_1)\) を通り，傾きが \(m\) の直線の方程式は

\(y – y_1 = m(x – x_1)\)

②点\((x_1, y_1)\) を通り，\(x\) 軸に垂直な直線の方程式は

\(x = x_1\)

２点\((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)を通る直線の方程式は

①\(x_1 \neq  x_2\) のとき　

\(y – y_1 = \displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)\)

②\(x_1 = x_2\) のとき

\(x = x_1\)

２直線\(y = m_1 x + n_1 , y = m_2 x + n_2\) について

①平行　⇔　\(m_1 = m_2\)

②垂直　⇔　\(m_1m_2 = -1\)　⇔　\(m_1 = -\displaystyle\frac{1}{m_2}\)

点\((x_1, y_1)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\) は

\(d = \displaystyle\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

※特に、原点\((0, 0)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\) は

\(d = \displaystyle\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

①中心\((a, b)\), 半径\(r\) の円の方程式は

\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\)

※特に、原点中心、半径\(r\) の円の方程式は

\(x^2 + y^2 = r^2\)

①中心と半径がわかる場合など

⇒　\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\)

②通る点がわかる場合など

⇒　\(x^2 + y^2 + lx +my + n = 0\)

円の半径を\(r\) , 円の中心から直線までの距離を\(d\)とするとき

①円と直線が2点で交わる　⇔　\(d < r\)

②円と直線が接する　⇔　\(d = r\)

③円と直線が交わらない　⇔　\(d > r\)

円 \(x^2 + y^2 = r^2\) 上の点\((x_1, y_2)\) における接線の方程式は

\(x_1 x + y_1 y = r^2\)

２つの円\(C_1\), \(C_2\) の半径をそれぞれ\(r , r’\)\((r > r’)\) ,中心間の距離を\(d\)とすると

• 互いに外部にある　⇔　\(d > r + r’\)
• 外接する　⇔　\(d = r + r’\)
• ２点で交わる　⇔　\(r – r’ < d < r + r’\)
• 内接する　⇔　\(d = r – r’\)
• 一方が他方の内部　⇔　\(d < r – r’\)

• 　条件を満たす点\(P\) の座標を\(x, y\)として、図示する
• 　\(x, y\) の関係式を求める
• 　逆に，②で求めた関係式（図形）上のすべての点\(P(x, y)\) が条件を満たすことを確かめる