【数学II】三角関数〜基本公式集・例題一覧〜

1.弧度法
弧度法の定義

半径1の円の弧の長さに対する角度 → 弧度法

\(180^\circ = \pi\)ラジアン

2.三角関数の定義
三角関数の定義

①\(\sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r}\)

②\(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r}\)

③\(\tan\theta = \displaystyle\frac{y}{x}\)

\(\theta\)の関数とみたとき、これらを三角関数という

3.三角関数の値
\(\cos, \sin\)の値 

\(\cos\)の値 → 単位円上の\(x\)座標

\(\sin\)の値 → 単位円上の\(y\)座標

\(\tan\) の値 

\(\tan\)の値 →   直線の傾き

三角関数の値の範囲 
  1. \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\)
  2. \(-1 \leq \sin\theta \leq 1\)
  3. \(\tan \theta\) → 実数全体
三角関数の符号 
4.三角関数の相互関係
三角関数の相互関係
  1. \(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
  2. \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)
  3. \(1+\tan^2{\theta}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2{\theta}}\)
5.三角関数の性質
\(\theta + 2n\pi\) の三角関数 \((n:整数)\)
  • \(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\)
  • \(\cos(\theta + 2n\pi) = \cos\theta\)
  • \(\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta\)  
\(-\theta\) の三角関数
  • \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)
  • \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)
  • \(\tan(-\theta) = -\tan\theta\)
\(\theta + \pi, \theta + \frac{\pi}{2}\)の三角関数

※\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)関連の加減 → 変わる

\(\sin ⇒ \cos\)
\(\cos ⇒ \sin\)
\(\tan ⇒ \displaystyle\frac{1}{\tan}\)

※\(\pi\)関連の加減 → 変わらない

\(\sin ⇒ \sin\)
\(\cos ⇒ \cos\)
\(\tan ⇒ \tan \)

と覚える

6.三角関数のグラフ
\(\sin\theta\) のグラフ

周期:\(2\pi\), 原点対称

\(\cos\theta\) のグラフ

周期:\(2\pi\), \(y\)軸対称

\(\tan\theta\) のグラフ

周期:\(\pi\), 原点対称

7.加法定理
2つの円の位置関係
  1. \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
  2. \(\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta\)
  3. \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta\)
  4. \(\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)
  5. \(\tan(\alpha+\beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha \tan\beta}\)
  6. \(\tan(\alpha – \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha – \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}\)
8.2倍角・半角の公式
2倍角の公式

①\(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)

②\(\cos2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta\)
\(= 1 – 2\sin^2\theta\)
\(=2\cos^2\theta – 1\)

③\(\tan2\theta = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta}\)

\(\sin^2\theta,\cos^2\theta,\tan^2\theta\)の公式

①\(\sin^2\theta = \displaystyle\frac{1 – \cos2\theta}{2}\)

②\(\cos^2\theta = \displaystyle\frac{1 + \cos2\theta}{2}\)

③\(\tan^2\theta = \displaystyle\frac{1 – \cos2\theta}{1 + \cos2\theta }\)

半角の公式

①\(\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 – \cos\theta}{2}\)

②\(\cos^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 + \cos\theta}{2}\)

③\(\tan^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 – \cos\theta}{1 + \cos\theta }\)

9.三角関数の合成
三角関数の合成

\(a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)\)

※ただし、

\(\sin\alpha = \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

\(\cos\alpha = \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

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