【数学II】微分法・積分法〜基本公式・面積公式・例題一覧〜

関数\(f(x)\) において，\(x\) が\(a\) から\(b\)まで変化するときの平均変化率は

\(\displaystyle \color{red}{\displaystyle\frac{f(b) – f(a)}{b – a}}\)

※平均変化率は中学における「変化の割合」と同じ

関数\(f(x)\) の\(x = a\) における微分係数\(f’(a)\)は

\(\displaystyle \color{red}{f’(a) = \lim\limits_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h) – f(a)}{h}}\)

※微分係数\(f’(a)\) は「関数\(y = f(x)\)の\(x = a\)における接線の傾き」を表す

曲線\(y = f(x)\)上の点\(A(a, f(a)) における接線の方程式は

　　\(\displaystyle \color{red}{y – f(a) = f’(a)(x – a)}\)

関数\(y = f(x)\)において

①\(f’(x) > 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは増加する

※接線の傾きが正の範囲ではグラフは増加する

②\(f’(x) < 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは減少する

※接線の傾きが負の範囲ではグラフは減少する

③\(f’(x) = 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは一定

※接線の傾きが0の部分ではグラフは一定となる

関数\(y = f(x)\) について

①\(f’(x)\) の符号が\(x = a\)の前後で正から負に変わるとき、
\(f(x)\)は\(x = a\)で極大になるといい、\(f(a)\)を極大値という

②\(f’(x)\) の符号が\(x = a\)の前後で負から正に変わるとき、
\(f(x)\)は\(x = a\)で極小になるといい、\(f(a)\)を極小値という

※極大値と極小値をまとめて、「極値」という。

関数\(f(x)\)が\(x = a\)で極値をとるとき、\(f’(a) = 0\)

※ただし、\(f’(a) = 0\)であっても、関数\(f(x)\)は\(x = a\)で極値をとるとは限らない

\(F’(x) = f(x)\) のとき

\(\int f(x) dx = F(x) + C\) (\(C\) は積分定数)

※\(F(x)\)を原始関数という

\(\int x^n dx = \displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\) (\(C\) は積分定数)

\(k, l\) は定数とする

①\(\int kf(x) dx = k \int f(x) dx \)

②\(\int \{f(x) + g(x)\} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)

③\(\int \{kf(x) + lg(x)\} dx = k\int f(x) dx + l\int g(x) dx \)

\(k\) は定数とする

①\(\int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \)

②\(\int_{a}^{b} \{f(x) + g(x)\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \)

③\(\int_{a}^{a} f(x) dx = 0\)

④\(-\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{b}^{a} f(x) dx\)

⑤\(\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx\)

\(\displaystyle \color{red}{\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)}\) (\(a\)は定数)

区間 \(a\leq x \leq b\) において

\(f(x) \geq 0\) のとき　\(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}f(x)dx}\)

\(f(x) \leq 0\) のとき　\(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}\{-f(x)\}dx}\)

区間 \(a\leq x \leq b\)で\(f(x) \geq g(x)\) のとき

\(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}\{f(x) – g(x) \}dx}\)

\(y = f(x)\) において

①\(f(x)\)が奇関数のとき

\(\displaystyle \color{red}{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0}\)

②\(f(x)\)が偶関数のとき

\(\displaystyle \color{red}{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx} \)

\(\displaystyle \color{red}{\int_{\alpha}^{\beta}(x – \alpha)(x – \beta)dx = -\displaystyle\frac{1}{6}(\beta – \alpha)^3 }\)

\(\displaystyle \color{red}{\int_{\alpha}^{\beta}(x – \alpha)^2 dx = \displaystyle\frac{1}{3}(\beta – \alpha)^3 }\)

放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) と直線 \(g(x) = px+q\) の交点の \(x\) 座標を \(α, β(α<β）\)とするとき，この放物線と直線で囲まれた図形の面積 \(S\) は

\(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3}\)

放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) と直線 \(g(x) = px^2+qx+r\) の交点の \(x\) 座標を \(α, β(α<β）\)とするとき，この2つの放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) は

\(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a – p|}{6}(\beta – \alpha)^3}\)

放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) とその接線 \(g(x) = px+q\) の接点の \(x\) 座標を \(α\)とするとき，この放物線と接線および直線\(x = \beta\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は

\(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta – \alpha)^3}\)

図において，放物線 \( y = ax^2 + bx + c \) と2本の接線の接点\(Q\),\(P\)の \(x\) 座標をそれぞれ \( \alpha, \beta \)(\( \alpha < \beta \))とすると，

① \(\displaystyle \color{red}{r = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}}\)

② \(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3}\)

③ \(\displaystyle \color{red}{S’ = S_1 + S_2 = \displaystyle\frac{|a|}{12}(\beta – \alpha)^3}\)

④ \(\displaystyle \color{red}{S_1 = S_2 = \displaystyle\frac{|a|}{24}(\beta – \alpha)^3}\)

3次関数 \( y = f(x) \)（3次の係数が \( a \)）とその接線 \( y = g(x) \) が，\( x = \alpha \) で接し，\( x = \beta \) で交わるとき，この3次関数と接線で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^4 } \)

3次関数 \( y = f(x) \)（3次の係数が \( a \)）と2次関数 \( y = g(x) \) が，\( x = \alpha \) で接し，\( x = \beta \) で交わるとき，この3次関数と接線で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^4 } \)