【数と式】実数とは～整数・自然数・有理数・無理数・絶対値について解説～

実数とは何か

実数とは簡単にいうと

「数直線やグラフ上にかける数」

のことをいいます。

例えば、

整数、小数、分数、自然数など中学校までで習う数はすべて数直線上に表せるので実数です。

実数は大きく「有理数」と「無理数」の２つに分かれます。

全体的なイメージ

実数とは～有理数について解説～

実数の中でも、まずは有理数についてみていきましょう。

有理数とは

分数で表される数

のことをいいます。

しっかりとした定義は次のようになります。

有理数の例①：整数

\(0\) および \(0\) に次々に \(1\) を足したり引いたりしてできる数、すなわち

\(\cdots \cdots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \cdots\)

のことを整数 といいます。

整数に関しては、例えば

\(5 = \displaystyle\frac{5}{1}\)

となるため、分数 \(\frac{m}{n}\) の形で表せます。

したがって、整数は有理数です。

有理数の例②：自然数

整数の中で正のもの、すなわち

\( 1, 2, 3, \cdots \cdots\)

のことを自然数といいます。

したがって、自然数はそもそも整数に含まれますので有理数です。

有理数の例③：有限小数

\(0.1, 8.25\)

のように終わりがある小数のことを有限小数といいます。

例えば、

\(0.1 = \displaystyle\frac{1}{10}\)

\(8.25 = \displaystyle\frac{825}{100} = \displaystyle\frac{33}{4}\)

と分数で表せるので有理数です。

有理数の例④：循環小数

\(1.33333 \cdots \cdots , 1.0185185 \cdots \cdots\)

のようにある特定の数字の配列が繰り返される小数を循環小数といいます。

例えば、

\(\displaystyle\frac{4}{3} = 1.33333 \cdots \cdots\)

\(\displaystyle\frac{55}{54} = 1.0185185 \cdots \cdots\)

となりますので、

\(1.33333 \cdots \cdots \) や \(1.0185185 \cdots \cdots\)

のような循環小数は有理数となります。

ここで,

循環小数は上記のままだと長くなってしまいますので,通常は

\(1.33333 \cdots \cdots　→　1.\dot{3} \)

\(1.0185185 \cdots \cdots →　1.0\dot{1} 8 \dot{5}\)

のように表します。

実数とは～無理数について解説～

実数の中で、有理数でない数、すなわち

循環しない無限小数で表される数のことを無理数といいます。

例えば

\(\sqrt{2} = 1.414213\cdots\cdots\)
\(\sqrt{3} = 1.7320508\cdots\cdots\)
\(\pi = 3.1415926535\cdots\cdots\)

となり、これらは無限小数かつ特定の数字の配列が繰り返されるわけでもありません。

したがって、これらは無理数となります。

実数とは～まとめと例題～

ここまでの内容のまとめと例題は以下のようになります。

実数とは～絶対値について解説～

実数どうしの距離について考えていきましょう。

数直線上における原点\(O(0)\) と点\(P(a)\) との距離を,実数\(a\) の絶対値といい、

実数\(a\) の絶対値であれば \(|a|\)

と表します。

例えば、

絶対値の外し方

絶対値の中が正　→　そのまま外す
絶対値の中が負　→　−をつけて外す

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