【数学Ａ】公式集～場合の数と確率・図形の性質・数学と人間の活動（整数問題）～

①$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

②$A \cap B = \emptyset$ のとき　$n(A \cup B) =n(A)+n(B)$

$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$

２つの事柄A, Bは同時には起こらないとする。

Aの起こり方が$a$通りあり，Bの起こり方が$b$通りあるとすると，AまたはBの起こる場合の数は

$a+b$ 通り

事柄A の起こり方が$a$通りあり，そのおのおのの場合について，事柄B の起こり方が$b$通りあるとすると，AとBがともに起こる場合の数は

$a \times b$ 通り

異なる$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の総数は

${}_n P_r =n(n-1)(n-2) \cdots\cdots (n-r+1)$　　通り

異なる$n$個のものをすべて並べる場合の総数は

$n! = n(n-1)(n-2) \cdots\cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$　通り

異なる$n$個のものの円順列の総数は

$(n-1)!$

①　${}_n C_r$

$=\frac{{}_n P_{n-r}}{r!}$

$=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots\cdots (n-r+1)}{r(r-1)\cdots\cdots\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

②　${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ $(0!=1, {}_n C_0 =1)$

①　${}_n C_r = {}_n C_{n-r}$ $(ただし、0 \leq r \leq n)$

②　${}_n C_r = {}_{n-1} C_{r-1}+{}_{n-1}C_r$ $(ただし、1 \leq r \leq n-1, n \geq 2)$

aが$p$個, bが$q$個，c が$r$個あるとき，それら全部を１列に並べる順列の総数は

${}_n C_p \times {}_{n-p}C_q = \frac{n!}{p!q!r!}$ $(ただし、p+q+r=n)$

全事象$U$のどの根元事象も同様に確からしいとき，

事象$A$の起こる確率$P(A)$は

$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}$

$A$と$B$がともに起こる事象

$A$または$B$のどちらか一方が起こる事象

空集合$\emptyset$で表される事象

2つの事象$A, B$が同時に起こらないとき，$A, B$は互いに排反または、互いに排反事象であるという。

①　$0 \leq P(A) \leq 1$

②　空事象$\emptyset$の確率：$P(\emptyset)=0$

③　全事象$U$の確率：$P(U)=1$

④　事象$A, B$が互いに排反であるとき　$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

※特に, $A \cap B=\emptyset$のとき $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

$P(\overline{A})=1-P(A)$

２つの試行SとTが独立であるとき，Sで事象$A$が起こり，かつTで事象$B$が起こる確率$p$は，

$p=P(A)P(B)$

１回の試行で事象$A$の起こる確率を$p$とする。この試行を$n$回行う反復試行で，

$A$がちょうど$r$回起こる確率は

${}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}$

事象$A$が起こったときの事象$B$の起こる確率は

$P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

２つの事象$A, B$がともに起こる確率は

$P(A \cap B)=P(A)P_A(B)$)

$X$のとる値

$x_1,x_2,\cdots\cdots,x_n$

の起こる確率がそれぞれ

 $p_1, p_2,\cdots\cdots,p_n$

であるとき，

$X$の期待値は

　  $x_1p_1+ x_2p_2+ x_3p_3+\cdots\cdots+x_np_n$

凸多面体の頂点の数を$v$, 辺の数を$e$, 面の数を$f$とすると、

　　　　　　　　                 $v-e+f=2$

が常に成り立つ

２つの整数 $a , b$ について，ある整数 $k$ を用いて, $a=bk$と表されるとき，$b$は$a$の約数，$a$は$b$の倍数であるという。

素数…$2$ 以上の自然数で，$1$ とそれ自身以外に正の約数をもたない数

因数…整数がいくつかの整数の積で表されるとき，積を作る１つ１つの整数

素因数…素数である因数

素因数分解…自然数を素数だけの積の形に表すこと

公約数…$2$ つ以上の整数に共通な約数

最大公約数…公約数のうち最大のもの

公倍数…２つ以上の整数に共通な倍数

最小公倍数…公倍数のうち正で最小のもの

2つの整数 $a, b$ の最大公約数が $1$ であるとき， $a, b$ は互いに素であるといい、次が成り立つ

$a, b$ が互いに素で，$ak$ が $b$ の倍数であるならば，$k$ は $b$ の倍数である

$2$ の倍数 … 一の位が偶数 $(0, 2, 4, 6, 8)$

$3$ の倍数 … 各位の数の和が $3$ の倍数

$4$ の倍数 … 下 $2$ 桁が $4$ の倍数

$5$ の倍数 … 一の位が $0$ か $5$

$8$ の倍数 … 下 $3$ 桁が $8$ の倍数

$9$ の倍数 … 各位の数の和が $9$ の倍数

$10$ の倍数 … 一の位が $0$

$11$ の倍数　…　（偶数桁目の数の和）と（奇数桁目の数の和）の差が $11$ の倍数

自然数 $N=p^aq^br^c\cdots\cdots$ と素因数分解できるとき，$N$ の正の約数の個数は

$(a+1)(b+1)(c+1)\cdots\cdots$

となる。

整数$a$と正の整数$b$に対して

　　$a = bq + r,  0 \leq r < b$

を満たす整数 $q, r$ はただ１通りに定まる。

余りに着目した整数 $A$ のおき方

整数 $A$ は正の整数 $m$ で割ったときの余りに着目して，次のようにおくことができる

$mk, mk+1, mk+2, \cdots\cdots, mk + (m-1)$

例：「ある整数 $A$ は $3$ で割ったときの余りが $2$ である～」

→　$A = 3k+2$　(ただし，$k$ は整数)と表せる

２つの自然数 $a, b$ について，$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ , 余りを $r$ とすると

　　　$a$ と $b$ の最大公約数は，$b$ と $r$ の最大公約数に等しい

次の手順で $a,b$ の最大公約数を求めることができる

STEP①　$a$ を $b$ で割ったときの余り $r$ を求める

STEP②　$b$ を $r$ で割ったときの余り $s$ を求める

（以下、割る数を余りで割ることを繰り返す）

STEP③　STEP②の結果、余りが $0$ になったときの割る数が最大公約数となる

位取りの基礎を $n$ として数を表す方法を $n$ 進法という。また、位取りの基礎となる数 $n$ を底という。