【数学Ⅰ】公式集~数と式・集合と命題・2次関数・図形と計量・データの分析~

目次

【数学Ⅰ】数と式~公式集~

【数と式】1.多項式の乗法
指数法則

\(m , n \)は正の整数とする。

① \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) 

② \((a^m)^n = a^{mn}\)

③ \((ab)^n =a^n b^n\)

※\(a^0 =1 \)

展開公式

①\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

②\((a+b) (a-b) = a^2 – b^2 \)

③\((x+a) (x+b) = x^2 + (a+b) x + ab \)

④\((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc) x + bd\)

\((a+b+c)^2\)の展開公式

\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)

【数と式】2.因数分解
共通因数のくくり出し

\(AB + AC = A (B+C) \)

因数分解の公式

① \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 , a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)

② \(a^2 – b^2 = (a+b) (a-b) \)

③ \( x^2 + (a+b) x + ab = (x+a) (x+b)\)

④ \( acx^2 + (ad+bc) x + bd=(ax+b) (cx+d)\) ※たすきがけ

【数と式】3.実数
実数の分類
絶対値

\( \begin{eqnarray} |x| = \begin{cases} x & (x \geq 0 のとき) \\ -x&(x \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\)  

【数と式】4.平方根
平方根の性質

① \(a \geq 0\) のとき \((\sqrt{a})^2 =(- \sqrt{a})^2 = a, \sqrt{a} \geq 0 \)

② \( \begin{eqnarray} \sqrt{a^2}=|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0 のとき) \\ -a&(a \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\)

平方根の公式

\(a>0, b>0, k>0 \) のとき

① \(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)

② \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

③ \(\sqrt{k^2 a} = k \sqrt{a} \)

【数と式】5.1次不等式
不等式の性質

① \(A < B \) ならば \(A+C < B+C, A-C < B-C\)

② \(A < B\) ならば

\(C>0\) のとき \(AC < BC, \frac{A}{C} < \frac{B}{C} \)

\(C<0\) のとき \(AC > BC, \frac{A}{C} > \frac{B}{C} \)

1次不等式の解法

STEP① 不等式を \(ax > b, ax \leq b \) などの形に整理する。

STEP② 整理された不等式の両辺を \(x\) の係数 \(a\) で割る。

連立不等式の解法

STEP① それぞれの不等式を解く

STEP② 解いた不等式の共通範囲を求める

【数と式】6.絶対値を含む方程式・不等式
絶対値を含む方程式・不等式

\(c\) が正の定数のとき

① 方程式 \(|x|=c\) の解は \(x=\pm c \)

② 不等式 \(|x|<c\) の解は \(-c<x<c\)

③ 不等式 \(|x|>c\) の解は \(x<-c, c<x \)

【数学Ⅰ】集合と命題~公式集~

【集合と命題】1.集合
\(A とB 共通部分( A \cap B)\)

\(A, B\) のどちらにも属する要素全体の集合

\(A とB の和集合( A \cup B)\)

\(A, B\) の少なくとも一方に属する要素全体の集合

\(A\) の補集合 \((\overline{ A })\)

全体集合\(U\)の部分集合\(A\)に対して、\(U\)の要素で,\(A\)には属さない要素全体の集合

ド・モルガンの法則

① \(\overline{ A\cap B } =\overline{ A }\cup \overline{ B }\)

② \(\overline{ A\cup B } =\overline{ A }\cap \overline{ B }\)

【集合と命題】2.必要条件と十分条件
必要条件と十分条件

2つの条件\(p, q\)について

① 命題\(p \Rightarrow q\)が真であるとき

\(p\) は\(q\) であるための 十分条件

\(q\) は\(p\) であるための 必要条件

② 命題\(p \Rightarrow q\)と(q \Rightarrow p\)がともに真であるとき(すなわち、\(p \Leftrightarrow q\)であるとき)

\(p\) は\(q\) (\(q\)は\(p\))であるための 必要十分条件 (\(p\) と\(q\)は同値

【集合と命題】3.条件の否定
条件の否定

「条件\(p\)でない」という条件を条件\(p\)の否定といい、\(\overline{p}\) で表す。

【集合と命題】4.命題の逆・対偶・裏
命題の逆・対偶・裏
【集合と命題】5.命題と証明
命題と証明のテクニック

① 対偶の利用 

命題\(p \Rightarrow q\) を証明するには, その対偶\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。
(命題\(p \Rightarrow q\) とその対偶\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)の真偽は一致する)

② 背理法の利用

命題が成り立たないと仮定して矛盾を導く

【数学Ⅰ】2次関数~公式集~

【2次関数】1.2次関数のグラフ
\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフ

頂点:点\((p, q)\)

軸:直線\(x=p\)

※\(y=ax^2\) のグラフを

\(x\)軸方向に\(p\)

\(y\)軸方向に\(q\)

だけ平行移動した放物線を表す。

平方完成

\(ax^2+bx+c\)の形を\(a(x-p)^2+q\)に変形することを平方完成という。

\(x^2-2px=(x-p)^2-p^2\)

\(y=ax^2+bx+c\)のグラフ

平方完成すると

\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\)に変形できる。

頂点:\((-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a})\)

軸:直線 \(x=-\frac{b}{2a}\)

【2次関数】2.平行移動
平行移動

\(x\)方向に\(p\), \(y\)軸方向に\(q\)平行移動

①点\((a, b)\) → \((a+p, b+p)\)

②関数\(y=f(x)\)

→ \(y-q=f(x-p)\) すなわち \(y=f(x-p)+q\)

※関数の平行移動は

\(x\) → \(x-p\)

\(y\) → \(y-q\)

に置き換えればOK

【2次関数】3.対称移動
対称移動

①点\((a, b)\)

\(x\)軸対称 → \((a, -b)\)

\(y\)軸対称 → \((-a, b)\)

原点対称 → \((-a, -b)\)

②関数\(y=f(x)\)

\(x\)軸対称 → \(-y=f(x)\) ⇔\(y=-f(x)\)

\(y\)軸対称 → \(y=f(-x)\)

原点対称 → \(-y=f(-x)\) ⇔\(y=-f(-x)\)

※\(x\)軸対称は\(y\),

\(y\)軸対称は\(x\),

原点対称は\(x, y\)両方

の符号が変わると覚える

【2次関数】4.2次関数の最大値・最小値
2次関数\(y=ax^2+bx+c\)の最大・最小

STEP① 平方完成して、\(y=a(x-p)^2+q\)の形にする。

STEP② 頂点・軸を求め、グラフをかく

STEP③ グラフの\(y\)座標が最も大きい値(最大値)、最も小さい値(最小値)を求める

【2次関数】5.2次関数の決定
2次関数の決定

STEP① 求める2次関数をおく

①放物線の頂点・軸・最大値・最小値関係がわかっている場合 

→ \(y=a(x-p)^2+q\)とおく

②グラフが通る3点がわかっている場合

→ \(y=ax^2+bx+c\)とおく

③\(x\)軸との交点がわかっている場合

→ \(y=a(x-α)(x-β)\) とおく

STEP② STEP①でおいた2次関数に条件をあてはめて立式する

STEP③ 立式した方程式を解き、条件を満たす2次関数を求める。

【2次関数】6.2次方程式
2次方程式の解の公式

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は

\(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

2次方程式の偶数解の公式

2次方程式\(ax^2+2b’x+c=0\)(\(x\)の項が偶数の場合)の解は

\(x=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解き方

①因数分解の利用

⇒ 左辺が因数分解できるとき

②平方根の利用

⇒ \(x^2=p\)の形になるとき(\(x\)の項がないとき)

③解の公式の利用

⇒ ①,②以外のとき

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の実数解の個数

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)の判別式\(D=b^2-4ac\)において

\(D>0\) ⇔ 異なる2つの実数解をもつ(解は2個)

\(D=0\) ⇔ 重解をもつ(解は1個)

\(D<0\) ⇔ 実数解をもたない(解は0個)

※特に、\(D \geq 0\) ⇔ 実数解をもつ(解は1個or2個)

2次方程式 \(ax^2+2b’x+c=0\)(\(x\)の項が偶数の場合)の実数解の個数

2次方程式 \(ax^2+2b’x+c=0\)の判別式\(D/4={b’}^2-ac\)において

\(D/4>0\) ⇔ 異なる2つの実数解をもつ(解は2個)

\(D/4=0\) ⇔ 重解をもつ(解は1個)

\(D/4<0\) ⇔ 実数解をもたない(解は0個) ※特に、\(D/4 \geq 0\) ⇔ 実数解をもつ

【2次関数】7.2次関数のグラフと\(x\)軸の交点の個数
2次関数のグラフと\(x\)軸の交点の個数

2次関数\(y=ax^2+bx+c\) のグラフと\(x\)軸の交点の数は\(D=b^2-4ac\)において

\(D>0\) ⇔ 異なる2点で交わる(交点は2個)

\(D=0\) ⇔ 1点で接する(交点は1個)

\(D<0\) ⇔ 共有点をもたない(交点は0個)

※特に、\(D \geq 0\) ⇔ 交点をもつ(交点は1個or 2個)

【2次関数】8.2次不等式の解
2次不等式の解

STEP① 2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)を解き、2次関数\(y=ax^2+bx+c\) と\(x\)軸との交点を求める。

STEP② \(x\)軸との交点を利用して2次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフをかく

STEP③ グラフから条件を満たす\(x\)の範囲を求める

【数学Ⅰ】図形と計量(三角比)~公式集~

【図形と計量】1.三角比の定義
三角比の定義

すなわち、

【図形と計量】2.三角比の値
sin, cos の値
tan の値
【図形と計量】3.90°ーθ,180°ーθの三角比
90°ーθの三角比

①\(\sin{(90°-\theta)}=\cos\theta\)

②\(\cos{(90°-\theta)}=\sin\theta\)

③\(\tan{(90°-\theta)}=\frac{1}{\tan\theta}\)

180°ーθの三角比

\(\sin{(180°-\theta)}=\sin\theta\)

\(\cos{(180°-\theta)}=-\cos\theta\)

\(\tan{(180°-\theta)}=-\tan\theta\)

【図形と計量】4.三角比の符号
三角比の符号
【図形と計量】5.三角比の相互関係
三角比の相互関係

①\(tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}\)

②\(sin^2 \theta +cos^2 \theta =1 \)

③\(1+tan^2 \theta =\frac{1}{cos^2 \theta}\)

【図形と計量】6.正弦定理
正弦定理
正弦定理
【図形と計量】7.余弦定理
余弦定理①
余弦定理
余弦定理②
余弦定理
【図形と計量】8.三角形の面積
三角形の面積公式

【数学Ⅰ】データの整理~公式集~

【データの分析】1.データの整理
度数分布表

データのとる値をいくつかの区間に区切って階級を定め、各階級に度数を対応させた表。

各階級の真ん中の値を階級値という。

ヒストグラム

度数分布表を柱状のグラフで表したもの

【データの分析】2.データの代表値
平均値

\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+ \cdots\cdots +x_n)\)

最頻値

データにおける最も個数の多い値。

度数分布表における度数が最も大きい階級の階級値

中央値(メジアン)

データを値の大きさの順に並べたとき中央の位置にくる値。

データの大きさが偶数のときは,中央に並ぶ2つの値の平均値。

【データの分析】3.四分位数
範囲

データの最大値から最小値を引いた差の値

四分位数・四分位範囲・四分位偏差

四分位数:データの値を大きさの順に並べたとき,4等分する位置にくる値。

小さい方から順に,第1四分位数\(Q_1\),第2四分位数\(Q_2\),第3四分位数\(Q_3\)という。

※(第2四分位数\(Q_2\))=(中央値)

四分位範囲:第3四分位数\(Q_3\)と第1四分位数\(Q_1\)の差\(Q_3-Q_1)\)

四分位偏差:四分位範囲の半分\(\frac{ Q_3-Q_1}{2}\)

【データの分析】4.箱ひげ図
箱ひげ図・外れ値

箱ひげ図:データの最小値,第1四分位数,中央値第3四分位数,最大値を,箱とひげ(線)で表した図。

外れ値:データの中で,他の値から極端に離れた値。

【データの分析】5.分散と標準偏差
偏差・分散・標準偏差

偏差:変量\(x\)の各値と平均値との差
\(x_1-\overline{x}, x_2-\overline{x}, \cdots\cdots ,  x_n-\overline{x}\)

分散\(s^2\):偏差の2乗の平均値
\(s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots\cdots+(x_n-\overline{x})^2\}\)
\(s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2\)

標準偏差\(s\):分散\(s^2\)の正の平方根
標準偏差\(s=\sqrt{s^2}\)

【データの分析】6.相関関係
散布図

散布図:2つの変量からなるデータを平面上に図示した図

相関関係

2つの変量からなるデータにおいて

① 一方が増加すると他方も増加する傾向がある → 正の相関

② 一方が増加すると他方が減少する傾向がある → 負の相関

③ ①②のどちらでもない → 相関がない

【データの分析】7.相関係数
共分散

2つの変量\(x, y\)において,\(x\)の偏差と\(y\)の偏差の積\((x_k-\overline{x})(y_k-\overline{y})\)

\(s_{xy}=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\}\)

相関係数

\(x\)と\(y\)の共分散\(s_{xy}\)を,\(x\)の標準偏差\(s_x\)と\(y\)の標準偏差\(s_y\)の積で割った値

相関係数\(r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}\)

\(=\frac{(xとyの共分散)}{(xの標準偏差)×(yの標準偏差)}\)

※\(-1 \leq r \leq 1\)

正の相関が強い:相関係数\(r\)が\(1\)に近い値となる

負の相関が強い:相関係数\(r\)が\(-1\)に近い値となる

相関がない:相関係数\(r\)が\(0\)に近い値となる

【データの分析】8.仮説検定
仮説検定

得られたデータをもとに,ある主張が正しいかどうかを仮説を立てて判断する手法

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