【数と式】３－７．絶対値を含む方程式・不等式の解き方

2024年12月5日2024年12月13日

本記事の内容

絶対値の外し方の基本
絶対値を含む方程式・不等式の基本的な解き方
絶対値を含む方程式・不等式の応用問題の解き方

絶対値を含む方程式・不等式の解き方

絶対値とは～外し方の基本～

数直線上における原点\(O(0)\) と点\(P(a)\) との距離を,実数\(a\) の絶対値といい、

実数\(a\) の絶対値であれば \(|a|\)

と表します。

例えば、

① \(|3| = 3\)

シンスケ

原点 O から \(3\) までの距離は\(3\)です。
したがって、絶対値の中が正のときは、絶対値はそのまま外せばＯＫです。

② \(|-2| = -(-2) = 2\)

シンスケ

原点 O から \(-2\) までの距離は\(2\)です。
したがって、絶対値の中が負のときは、絶対値はマイナスをつけて外し、値は正になります。

したがって、基本的な絶対値の外し方は以下のようになります。

絶対値の外し方

絶対値の中が正　→　そのまま外す
絶対値の中が負　→　−をつけて外す

絶対値

\( \begin{eqnarray} |x| = \begin{cases} x & (x \geq 0 のとき) \\ -x&(x \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\) 　

例題

次の値を求めよ。
① \(|-3|\)
② \(|3.7|\)
③ \(|\pi -4|\)

解答

①　\(|-3| =-(-3)=3\)
②　\(|3.7|=3.7\)
③　\(|\pi-4|=-(\pi-4)=-\pi+4\)

絶対値を含む方程式・不等式の基本的な解き方

絶対値を含む方程式・不等式の基本的な解き方をみていきましょう。

絶対値を含む方程式・不等式

\(c\) が正の定数のとき

①　方程式 \(|x|=c\) の解は \(x=\pm c \)

②　不等式 \(|x|<c\) の解は \(-c<x<c\)

③　不等式 \(|x|>c\) の解は \(x<-c, c<x \)

例題

次の方程式・不等式を解け。
①　\(|x| = 2\)
②　\(|x|<2\)
③　\(|x|>2\)

解答

①　\(x=\pm 2 \)

②　\(-2<x<2\)

③　\(x<-2, 2<x \)

解説

①　\(|x| = 2\)

⇒　原点からの距離が \(2\) であるような \(x\) の値を求めよ。

という意味になります。

上記のように、原点からの距離が \(2\) であるような点の座標は \(2\) と \(-2\) の２つありますね。

したがって、

\(|x| = 2\) の解は

\(x=\pm 2 \)

となります。

シンスケ

マイナスの値もありますので注意しましょう。

②　\(|x| < 2\)

⇒　原点からの距離が \(2\) より小さいような \(x\) の値の範囲を求めよ。

という意味になります。

原点からの距離が \(2\) であるような点の座標は \(2\) と \(-2\) の２つありますが、このときより原点からの距離が小さい座標は上記のように\(-2\) と \(2\) の内側であればよいことがわかりますね。

したがって、

\(|x| < 2\) の解は

\(-2<x<2\)

となります。

シンスケ

「小さい場合は内側の範囲を答える」と覚えましょう。

①　\(|x| > 2\)

⇒　原点からの距離が \(2\) より大きいような \(x\) の値の範囲を求めよ。

という意味になります。

原点からの距離が \(2\) であるような点の座標は \(2\) と \(-2\) の２つありますが、このときより原点からの距離が大きい座標は上記のように\(-2\) と \(2\) の外側であればよいことがわかりますね。

したがって、

\(|x| > 2\) の解は

\(x < – 2, 2 < x\)

となります。

シンスケ

「大きい場合は外側の範囲を答える」と覚えましょう。

絶対値を含む方程式・不等式の応用問題の解き方

基本的な絶対値を含む方程式・不等式をふまえた上で応用問題にチャレンジしましょう。

応用問題　次の方程式・不等式を解け。
①　\(|2x – 1| = 5\)
②　\(|2x – 1| < 5\)
③　\(|2x – 1| > 5\)

解説

POINT

\( 2x – 1\) を１つの文字の塊\(A\)として考え、以下の基本的な解き方を利用する
①　方程式 \(|A| = 5\) の解は \(A = \pm 5 \)
②　不等式 \(|A| < 5\) の解は \(-5 < A < 5\)
③　不等式 \(|A| > 5\) の解は \(A < – 5, 5 < A \)

①\(|2x – 1| = 5\)

\(2x – 1 = \pm 5\)　⇐　\( 2x – 1\) を１つの文字の塊\(A\)として考える

\(2x – 1 = -5 or 2x – 1 =5\)

\(2x = -4 or 2x = 6\)

\(x = -2, 3\)

②\(|2x – 1| < 5\)

\(-5 < 2x -1 < 5\)　⇐　\( 2x – 1\) を１つの文字の塊\(A\)として考える

\(-5+1 < 2x -1 +1 < 5 + 1\)　⇐　１を足す

\(-4 < 2x < 6\)　⇐　２で割る

\(-2 < x < 3\)

③\(|2x – 1| > 5\)

\(2x – 1 < -5, 5 < 2x -1\)　⇐　\( 2x – 1\) を１つの文字の塊\(A\)として考える