【数学C】ベクトル～基本公式・例題一覧～

\( \vec{ a } = (a_1, a_2), \vec{ b } = (b_1, b_2)\) とする。

・相等：\( \vec{ a } = \vec{ b }\) 　\(\iff\)　\(\color{red}{a_1 = b_1, a_2 = b_2}\)

・大きさ：\(\left| \vec{ a } \right| = \color{red}{\sqrt{a_1{}^2 + a_2{}^2}}\)

・成分による演算
\(k \vec{a} + l \vec{b} = k(a_1, a_2) + l(b_1 , b_2) = (ka_1 + lb_1 , ka_2 + lb_2)\)
※\(k, l\) は実数とする

\( \vec{ a } = (a_1, a_2, a_3), \vec{ b } = (b_1, b_2, b_3)\) とする。

・相等：\( \vec{ a } = \vec{ b }\) 　\(\iff\)　\(\color{red}{a_1 = b_1, a_2 = b_2, , a_3 = b_3}\)

・大きさ：\(\left| \vec{ a } \right| = \color{red}{\sqrt{a_1{}^2 + a_2{}^2 + a_3{}^2}}\)

・成分による演算
\(k \vec{a} + l \vec{b} = k(a_1, a_2 , a_3) + l(b_1 , b_2 , b_3) = (ka_1 + lb_1 , ka_2 + lb_2 , ka_3 + lb_3)\)
※\(k, l\) は実数とする　

\( \vec{ a } = (a_1, a_2), \vec{ b } = (b_1, b_2)\) とする。

\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{(b_1 – a_1, b_2 – a_2)}\)

\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \color{red}{\sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2}}\)

\( \vec{ a } = (a_1, a_2, a_3), \vec{ b } = (b_1, b_2, b_3)\) とする。

\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{(b_1 – a_1, b_2 – a_2 , b_3 – a_3)}\)

\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \color{red}{\sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2 + (b_3 – a_3)^2}}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \color{red}{\left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \cos\theta}\)
\((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\)

\(\cos\theta = \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right|}}\)

①　\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a }\)

②　\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\
\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)

③　\((k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})\)
※\(k\) は実数

④　\(\vec{a} \cdot \vec{a} = \color{red}{\left| \vec{a} \right| {}^2}\)

⑤　\(\left| \vec{a} \right| = \color{red}{\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}}\)

\(\vec{a} /\!/ \vec{b} \iff \color{red}{\vec{b} = k\vec{a}}\) (\(k\) は実数)

\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \color{red}{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}\)

\(\vec{ a } = (a_1 , a_2), \vec{ b } = (b_1 , b_2)\) とする。

\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \color{red}{a_1 b_1 + a_2 b_2}\)

\(\vec{ a } = (a_1 , a_2 , a_3), \vec{ b } = (b_1 , b_2 , b_3)\) とする。

\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \color{red}{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}\)

\(△OAB\) において,
\(\overrightarrow{ OA } = \vec{ a } = (a_1 , a_2), \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } = (b_1 , b_2)\) とすると,

面積 \(S = \color{red}{\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left| \vec{ a } \right|{}^2 \left| \vec{ b } \right|{}^2 – (\vec{ a } \cdot \vec{ b })^2} }\)\(= \color{red}{ \displaystyle\frac{1}{2}\left| a_1 b_2 – a_2 b_1 \right|} \)

\(A(\vec{ a }) ,B(\vec{ b }), C(\vec{ c })\) とする。

①　\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{\vec{b} – \vec{a}}\)

②　線分\( AB\) を\(m : n\) に内分する点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m + n}}\)

③　線分 \(AB\) を\(m : n\) に外分する点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{- n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m – n}}\)

④　線分 \(AB\) の中点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{ a } + \vec{ b }}{2}}\)

④　線分 \(AB\) の中点は　\( \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c }}{3}}\)

点\(A(\vec{ a })\) を通り、\(\vec{ d } \) \((\vec{ d } \neq \vec{ 0 } )\) に平行な直線上のベクトル \(\vec{ p }\)は

\(\vec{ p } = \color{red}{\vec{ a } + t \vec{ d }}\)
※\(\vec{ d } \)を方向ベクトルという。

点\(P(\vec{ p })\) が2点\(A(\vec{ a })\), \(B(\vec{ b })\)を通る直線上にあるとき、

①　\( \color{red}{\vec{ p } = (1 – t) \vec{ a } + t \vec{ b }}\)

②　\( \color{red}{\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } ( s + t = 1)}\)

\(\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB }\) のとき,

①　\(s + t = 1, s \geq 0 , t \geq 0 \) 　\(\iff\)　点 P の存在範囲は線分 AB 上
②　\(0 \leq s + t \leq 1 , s \geq 0 , t \geq 0\) \(\iff\)　点 P の存在範囲は △OAB の周および内部

\(k, s, t, u\) は実数とする。

①　点 \(P\) は直線 \(OA\)上にある　⇔　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = k\overrightarrow{ OA }}\)

②　点\(P\) は直線 \(AB\) 上にある　
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } (s + t = 1)}\)
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + (1 – s)\overrightarrow{ OB }}\)

③　点 \(P\)は平面 \(ABC\)上にある　
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } + u\overrightarrow{ OC } (s + t + u= 1)}\)
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } + ( 1 – s -t)\overrightarrow{ OC }}\)
\(\iff\)　\(\color{red}{\overrightarrow{ CP } = s\overrightarrow{ CA } + t\overrightarrow{ CB }}\)