二次関数の決定の解き方（頂点・軸・グラフ上の３点・x軸との交点）～【数学Ⅰ】２次関数分野を解説～

2025年5月23日2025年5月24日

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この記事では、「頂点」「軸」「グラフ上の３点」など、特定の条件が与えられたときの２次関数の決定の問題について解説していきます。

２次関数の決定

以下のような例題について考えてみましょう。

例題　次の条件を満たす放物線をグラフにもつ２次関数を求めよ。
(1) 頂点が点\((1, 2)\) で,　点\((3, 6)\) を通る。
(2) 軸が直線 \(x = -1\) で,　２点 \((1, 3)\), \((-2, -3)\) を通る。
(3) 放物線\(y =x^2\) を平行移動したもので、点(1, -1) を通り、その頂点は直線\(y= 4x -1\) 上にある。
(4) \(x = 2\) のとき最大値 \(3\) をとり,　点\((1,2)\) を通る。
(5) 3点\((1, -2), (-2, -5), (3, 10)\) を通る。
(6) \(x\) 軸との交点が\((1, 0), (3, 0)\) であり, 点\((4, 3)\) を通る。

２次関数のおき方

数学では上記のような「～の値を求めよ。」という形式の問題が多く出題されます。

求めるものは「値」「関数」など様々ですが、原則的にはこのような場合は

「求めたい値を文字でおく」

というのが基本方針となります。

ただの「値」の場合のおき方は単純に「\(x\)」「\(a\)」などでおけばよいのですが、２次関数のおき方は以下の３種類の形があります。

２次関数のおき方

①（標準形）\(y = a(x – p)^2 + q\)
\(\iff\) 頂点・軸・最大値・最小値関連の場合

②（一般形）\(y = ax^2 + bx + c\)
\(\iff\) 通る３点がわかっている、微分・積分関連の場合

③（分解形）\(y = a(x – \alpha) (x – \beta)\)
\(\iff\) \(x\) 軸との交点がわかっている場合

シンスケ

上記のどのおき方がよいかは、問題にもよります。
問題のタイプによって、使い分けることが大切です。

（標準形）\(y = a(x – p)^2 + q\)　でおくタイプの問題

まずは、「\(y = a(x – p)^2 + q\)　でおくタイプの問題」をみていきましょう。

\(y = a(x – p)^2 + q\) はそもそも以下のように、\(y = ax^2\) のグラフを\(x\)軸方向に\(p\),\(y\)軸方向に\(q\) だけ平行移動した放物線であるため、頂点や軸がわかるところが大きな特徴でした。

頂点がわかっている問題

例題　次の条件を満たす放物線をグラフにもつ２次関数を求めよ。
(1) 頂点が点\((1, 2)\) で,　点\((3, 6)\) を通る。

解答

求める２次関数を

\(y = a(x – p)^2 + q \)　　　←　頂点の座標がわかっているときは標準形

とおく

頂点が\((1, 2)\) つまり、\(p = 1, q = 2\) であるから

\(y = a(x – 1)^2 + 2\)　　　←　頂点の座標がわかる場合はいきなりこの形式でおくのが一般的

と表せる

これが点\((3, 6)\) を通るから

\(6 = a(3 – 1)^2 + 2\)　　　←　通るときは代入してOK

これを解くと

\(a = 1\)

したがって、求める２次関数は

\(y = (x – 1)^2 + 2\)　　　　
\((y = x^2 -2x + 3 を答えとしてもよい)\)

軸がわかっている問題

例題　次の条件を満たす放物線をグラフにもつ２次関数を求めよ。
(2) 軸が直線 \(x = -1\) で,　２点 \((1, 3)\), \((-2, -3)\) を通る。

解答

求める２次関数を

\(y = a(x – p)^2 + q \)　←　軸の方程式がわかっているときは標準形

とおく

軸が直線\(x = -1\) つまり、\(p = -1\) であるから

\(y = a(x + 1)^2 + q\)　←　軸の方程式がわかる場合はいきなりこの形式でおくのが一般的

と表せる

これが点\((1, 3), (-2, -3)\) を通るから　←　通るときは代入してOK

\(3 = a(1 + 1)^2 + q\) ……①
\(-3 = a(-2 + 1)^2 + q\) ……②

①、②を解くと

\(a = 2, q = -5\)

したがって、求める２次関数は

\(y = 2(x + 1)^2 – 5\)

頂点の関係式がわかっている問題

例題　次の条件を満たす放物線をグラフにもつ２次関数を求めよ。
(3) 放物線\(y =x^2\) を平行移動したもので、点(1, -1) を通り、その頂点は直線\(y= 4x -1\) 上にある。

解答

求める２次関数を

\(y = a(x – p)^2 + q \)　←　頂点の座標の関係式がわかっているときも標準形でOK

とおく

求める放物線は\(y = x^2\) を平行移動したものより、　\(a = 1\)

また、頂点\((p, q)\) は直線\(y = 4x – 1\) 上にあるから、

\(q = 4p – 1\)

したがって、求める２次関数は

\(y = (x – p)^2 + 4p – 1\)　←　いきなりこの形式でおいてもOK

と表せる

これが、点\((1, -1)\) を通るから

\(-1 = (1 – p)^2 + 4p – 1\)

これを解くと

\(p = -1\)

したがって、求める２次関数は

\(y = (x + 1)^2 – 5\)

最大値・最小値がわかっている問題

少し応用問題になりますが、２次関数は最小値や最大値は原則、「頂点」or「端点（定義域の制限がある場合のみ）」でしかとりません。

（一般形）\(y = ax^2 + bx + c\)　でおくタイプの問題

続いて、「\(y = ax^2 + bx + c\)　でおくタイプの問題」をみていきましょう。

この関数の特徴は\(y = a(x – p)^2 + q\) と比較して、代入しやすい（代入したときの結果が簡単になりやすい）という点があります。

したがって、数学Ⅰの範囲では主に

「通る３点」がわかっているときに利用する

と覚えておくとよいでしょう。

※ただし、数学IAⅡBまでの範囲の場合は「微分・積分」においても原則一般形でおきます。

例題　次の条件を満たす放物線をグラフにもつ２次関数を求めよ。
(5) 3点\((1, -2), (-2, -5), (3, 10)\) を通る。

解答

求める２次関数を

\(y = ax^2 + bx^2 + c \)　←　グラフ上の通る３点がわかる場合は一般形でおく

とおく

これが、3点\((1, -2), (-2, -5), (3, 10)\) を通るから

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c 　　　……①\\
-5 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c　 ……② \\
　 10 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c 　 ……③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

したがって、

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-2 = a + b + c　　　　 ……①\\
-5 = 4a – 2b + c　　　……② \\
　 10 = 9a + 3b + c 　 ……③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

①、②、③を解くと

\(a = -1, b = 4, c = 6\)

したがって、求める２次関数は

\(y = – x^2 + 4x + 6\)