【数学Ａ】公式集～場合の数と確率・図形の性質・数学と人間の活動（整数問題）～

①\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)

②\(A \cap B = \emptyset　\) のとき　\(n(A \cup B) =n(A)+n(B)\)

\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)

２つの事柄A, Bは同時には起こらないとする。

Aの起こり方が\(a\)通りあり，Bの起こり方が\(b\)通りあるとすると，AまたはBの起こる場合の数は

\(a+b\) 通り

事柄A の起こり方が\(a\)通りあり，そのおのおのの場合について，事柄B の起こり方が\(b\)通りあるとすると，AとBがともに起こる場合の数は

\(a \times b\) 通り

異なる\(n\)個のものから\(r\)個選んで並べる場合の総数は

\({}_n P_r =n(n-1)(n-2) \cdots\cdots (n-r+1)\)　　通り

異なる\(n\)個のものをすべて並べる場合の総数は

\(n! = n(n-1)(n-2) \cdots\cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)　通り

異なる\(n\)個のものの円順列の総数は

\((n-1)!\)

①　\({}_n C_r\)

\(=\frac{{}_n P_{n-r}}{r!}\)

\(=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots\cdots (n-r+1)}{r(r-1)\cdots\cdots\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)

②　\({}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) \((0!=1, {}_n C_0 =1)\)

①　\({}_n C_r = {}_n C_{n-r}\) \((ただし、0 \leq r \leq n)\)

②　\({}_n C_r = {}_{n-1} C_{r-1}+{}_{n-1}C_r\) \((ただし、1 \leq r \leq n-1, n \geq 2)\)

aが\(p\)個, bが\(q\)個，c が\(r\)個あるとき，それら全部を１列に並べる順列の総数は

\({}_n C_p \times {}_{n-p}C_q = \frac{n!}{p!q!r!}\) \((ただし、p+q+r=n)\)

全事象\(U\)のどの根元事象も同様に確からしいとき，

事象\(A\)の起こる確率\(P(A)\)は

\(P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}\)

\(A\)と\(B\)がともに起こる事象

\(A\)または\(B\)のどちらか一方が起こる事象

空集合\(\emptyset\)で表される事象

2つの事象\(A, B\)が同時に起こらないとき，\(A, B\)は互いに排反または、互いに排反事象であるという。

①　\(0 \leq P(A) \leq 1\)

②　空事象\(\emptyset\)の確率：\(P(\emptyset)=0\)

③　全事象\(U\)の確率：\(P(U)=1\)

④　事象\(A, B\)が互いに排反であるとき　\(P(A \cup B)=P(A)+P(B) \)

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)

※特に, \(A \cap B=\emptyset\)のとき \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)

\(P(\overline{A})=1-P(A)\)

２つの試行SとTが独立であるとき，Sで事象\(A\)が起こり，かつTで事象\(B\)が起こる確率\(p\)は，

\(p=P(A)P(B)\)

１回の試行で事象\(A\)の起こる確率を\(p\)とする。この試行を\(n\)回行う反復試行で，

\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は

\({}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)

事象\(A\)が起こったときの事象\(B\)の起こる確率は

\(P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

２つの事象\(A, B\)がともに起こる確率は

\(P(A \cap B)=P(A)P_A(B)\))

\(X\)のとる値

\(x_1,x_2,\cdots\cdots,x_n\)

の起こる確率がそれぞれ

 \(p_1, p_2,\cdots\cdots,p_n\)

であるとき，

\(X\)の期待値は

　  \(x_1p_1+ x_2p_2+ x_3p_3+\cdots\cdots+x_np_n\)

凸多面体の頂点の数を\(v\), 辺の数を\(e\), 面の数を\(f\)とすると、

　　　　　　　　                 \(v-e+f=2\)

が常に成り立つ

２つの整数 \(a , b\) について，ある整数 \(k\) を用いて, \(a=bk\)と表されるとき，\(b\)は\(a\)の約数，\(a\)は\(b\)の倍数であるという。

素数…\(2\) 以上の自然数で，\(1\) とそれ自身以外に正の約数をもたない数

因数…整数がいくつかの整数の積で表されるとき，積を作る１つ１つの整数

素因数…素数である因数

素因数分解…自然数を素数だけの積の形に表すこと

公約数…\(2\) つ以上の整数に共通な約数

最大公約数…公約数のうち最大のもの

公倍数…２つ以上の整数に共通な倍数

最小公倍数…公倍数のうち正で最小のもの

2つの整数 \(a, b\) の最大公約数が \(1\) であるとき， \(a, b\) は互いに素であるといい、次が成り立つ

\(a, b\) が互いに素で，\(ak\) が \(b\) の倍数であるならば，\(k\) は \(b\) の倍数である

\(2\) の倍数 … 一の位が偶数 \((0, 2, 4, 6, 8)\)

\(3\) の倍数 … 各位の数の和が \(3\) の倍数

\(4\) の倍数 … 下 \(2\) 桁が \(4\) の倍数

\(5\) の倍数 … 一の位が \(0\) か \(5\)

\(8\) の倍数 … 下 \(3\) 桁が \(8\) の倍数

\(9\) の倍数 … 各位の数の和が \(9\) の倍数

\(10\) の倍数 … 一の位が \(0\)

\(11\) の倍数　…　（偶数桁目の数の和）と（奇数桁目の数の和）の差が \(11\) の倍数

自然数 \(N=p^aq^br^c\cdots\cdots\) と素因数分解できるとき，\(N\) の正の約数の個数は

\((a+1)(b+1)(c+1)\cdots\cdots\)

となる。

整数\(a\)と正の整数\(b\)に対して

　　\(a = bq + r,  0 \leq r < b\)

を満たす整数 \(q, r\) はただ１通りに定まる。

余りに着目した整数 \(A\) のおき方

整数 \(A\) は正の整数 \(m\) で割ったときの余りに着目して，次のようにおくことができる

\(mk, mk+1, mk+2, \cdots\cdots, mk + (m-1)\)

例：「ある整数 \(A\) は \(3\) で割ったときの余りが \(2\) である～」

→　\(A = 3k+2 \)　(ただし，\(k\) は整数)と表せる

２つの自然数 \(a, b\) について，\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\) , 余りを \(r\) とすると

　　　\(a\) と \(b\) の最大公約数は，\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい

次の手順で \(a,b\) の最大公約数を求めることができる

STEP①　\(a\) を \(b\) で割ったときの余り \(r\) を求める

STEP②　\(b\) を \(r\) で割ったときの余り \(s\) を求める

（以下、割る数を余りで割ることを繰り返す）

STEP③　STEP②の結果、余りが \(0\) になったときの割る数が最大公約数となる

位取りの基礎を \(n\) として数を表す方法を \(n\) 進法という。また、位取りの基礎となる数 \(n\) を底という。