このページではベクトルの基本公式を一覧にしています。
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【数学C】ベクトル～基本公式・例題一覧～
１．ベクトルの演算
\(k, l\) は,実数とする。
① \(\vec{ a } + \vec{ b } = \vec{ b } + \vec{ a }\) , \( (\vec{ a } + \vec{ b }) + \vec{ c } = \vec{ a } + (\vec{ b } + \vec{ c })\)
② \(\vec{ a } + (- \vec{ a }) = \vec{ 0 }\) , \(\vec{ a } + \vec{ 0 } = \vec{ a }\), \(\vec{ a } – \vec{ b } = \vec{ a } + (-\vec{ b })\)
③ \((k + l) \vec{ a } = k \vec{ a } + l \vec{ a }\) , \( k(\vec{ a } + \vec{ b }) = k\vec{ a } + k\vec{ b }\)
④ \(\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AC } \), \( \overrightarrow{ OA } – \overrightarrow{ OB } = \overrightarrow{ BA }\)
\(\overrightarrow{ AA } = \vec{ 0 }\), \(\overrightarrow{ BA } = -\overrightarrow{ AB }\)
例題
\(2(3\vec{ a } + \vec{ b }) + 3 ( -\vec{ a } + 4\vec{ b })\) を計算せよ。
解答
\(2(3\vec{ a } + \vec{ b }) + 3 ( -\vec{ a } + 4\vec{ b }) = 6\vec{ a } + 2\vec{ b } – 3\vec{ a } + 12\vec{ b }\)
\(= 3\vec{ a } + 14\vec{ b } \)
２．ベクトルの分解
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }, \vec{ b } \neq 0\) で, \(\vec{ a }\), \(\vec{ b }\) が平行でないとき
① 平面上の任意のベクトル \(\vec{ p } = \color{red}{s \vec{ a } + t \vec{ b }}\) のただ1通りの形に表される。
② \( s \vec{ a } + t \vec{ b } = s’ \vec{ a } + t’ \vec{ b }\) \(\iff\) \(\color{red}{s = s’} \), \( \color{red}{t = t’}\)
例題
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }, \vec{ b } \neq 0\) で, \(\vec{ a }\), \(\vec{ b }\) が平行でないとき
\( s \vec{ a } + t \vec{ b } = (t – 1) \vec{ a } + 3 \vec{ b }\)が成り立つような\(s, t\) の値を求めよ。
解答
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }, \vec{ b } \neq 0\) で, \(\vec{ a }\), \(\vec{ b }\) が平行でないから
\(s = t – 1 \cdots ①\)
\(t = 3 \cdots ②\)
①、②より
\(s = 2, t = 3\)
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }, \vec{ b } \neq 0, \vec{ c } \neq 0\) で, \(\vec{ a }\), \(\vec{ b }\) , \(\vec{ c }\) が同じ平面上にないとき
① 空間上の任意のベクトル \(\vec{ p } = \color{red}{s \vec{ a } + t \vec{ b } + + u \vec{ c }}\) のただ1通りの形に表される。
② \( s \vec{ a } + t \vec{ b } + u \vec{ c } = s’ \vec{ a } + t’ \vec{ b } + u’\vec{ c }\) \(\iff\) \(\color{red}{s = s’, t = t’, u = u’}\)
例題
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }, \vec{ b } \neq 0, \vec{ c } \neq 0\) で, \(\vec{ a }\), \(\vec{ b }\) , \(\vec{ c }\) が同じ平面上にないとき
\( s \vec{ a } + t \vec{ b } + u \vec{ c } = ( t + 1 )\vec{ a } + (u -1) \vec{ b } + 2s \vec{ c }\) となるような\(s, t, u\) を求めよ。
解答
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }, \vec{ b } \neq 0, \vec{ c } \neq 0\) で, \(\vec{ a }\), \(\vec{ b }\) , \(\vec{ c }\) が同じ平面上にないので
\(s = t + 2 \cdots ①\)
\(t = u – 1 \cdots ②\)
\(u = 2s \cdots ③\)
①、②、③より
\(s = -1 , t = -3 , u = -2\)
３．ベクトルの成分
\( \vec{ a } = (a_1, a_2), \vec{ b } = (b_1, b_2)\) とする。
・相等：\( \vec{ a } = \vec{ b }\) \(\iff\) \(\color{red}{a_1 = b_1, a_2 = b_2}\)
・大きさ：\(\left| \vec{ a } \right| = \color{red}{\sqrt{a_1{}^2 + a_2{}^2}}\)
・成分による演算
\(k \vec{a} + l \vec{b} = k(a_1, a_2) + l(b_1 , b_2) = (ka_1 + lb_1 , ka_2 + lb_2)\)
※\(k, l\) は実数とする
例題
（１）ベクトル \(\vec{d} = (4, -8)\) とベクトル \(\vec{e} = (-3, 5)\) について、\(2\vec{d} + 3\vec{e}\) を求めよ。
（２）ベクトル \(\vec{f} = (6, 9)\) について、\(\left|\vec{f}\right|\)（ベクトル \(\vec{f}\) の大きさ）を求めよ。
解答
（１）\(2\vec{d} + 3\vec{e} = 2(4, -8) + 3(-3, 5) = (8, -16) + (-9, 15) = (8 + (-9), -16 + 15) = (-1, -1)\)
（２）\(\left|\vec{f}\right| = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}\)
\( \vec{ a } = (a_1, a_2, a_3), \vec{ b } = (b_1, b_2, b_3)\) とする。
・相等：\( \vec{ a } = \vec{ b }\) \(\iff\) \(\color{red}{a_1 = b_1, a_2 = b_2, , a_3 = b_3}\)
・大きさ：\(\left| \vec{ a } \right| = \color{red}{\sqrt{a_1{}^2 + a_2{}^2 + a_3{}^2}}\)
・成分による演算
\(k \vec{a} + l \vec{b} = k(a_1, a_2 , a_3) + l(b_1 , b_2 , b_3) = (ka_1 + lb_1 , ka_2 + lb_2 , ka_3 + lb_3)\)
※\(k, l\) は実数とする
例題
（１）ベクトル \(\vec{a} = (2, 1, 3)\) とベクトル \(\vec{b} = (1, -2, -5)\) について、\(2\vec{a} + 3\vec{b}\) を求めよ。
（２）ベクトル \(\vec{c} = (3, 1, 2)\) について、\(\left|\vec{c}\right|\)（ベクトル \(\vec{c}\) の大きさ）を求めよ。
解答
（１）\(2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(2, 1, 3) + 3(1, -2, -5) = (4, 2, 6) + (3, -6, -15) = (4 + 3, 2 – 6, 6 – 15) = (7, -4, -9)\)
（２）\(\left|\vec{c}\right| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \)
４．\(\overrightarrow{ AB }\) の成分と大きさ
\( \vec{ a } = (a_1, a_2), \vec{ b } = (b_1, b_2)\) とする。
\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{(b_1 – a_1, b_2 – a_2)}\)
\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \color{red}{\sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2}}\)
例題
2点\(A(2, -1), B(-1, 3)\) において \(\overrightarrow{ AB }\), および \(\left|\overrightarrow{ AB }\right|\) を求めよ。
解答
\(\overrightarrow{ AB } = (-1 – 2, (3 – (-1)) = (-3, 4)\)
\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5\)
\( \vec{ a } = (a_1, a_2, a_3), \vec{ b } = (b_1, b_2, b_3)\) とする。
\(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{(b_1 – a_1, b_2 – a_2 , b_3 – a_3)}\)
\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \color{red}{\sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2 + (b_3 – a_3)^2}}\)
例題
2点\(A(2, -1, 0), B(-1, 2, 3)\) において \(\overrightarrow{ AB }\), および \(\left|\overrightarrow{ AB }\right|\) を求めよ。
解答
\(\overrightarrow{ AB } = (-1 – 2, 2 – (-1), 3 – 0) = (-3, 3, 3)\)
\(\left|\overrightarrow{ AB }\right| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
５．ベクトルの内積
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \color{red}{\left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \cos\theta}\)
\((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\)
\(\cos\theta = \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right|}}\)
例題
2つのベクトル \(\vec{a}, \vec{b}\) の大きさがそれぞれ\(\left|\vec{a}\right| = 5, \left|\vec{b}\right| = 3\) で, 2つのベクトルのなす角が 60° のとき、内積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) を求めよ。
解答
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos 60° = 5 \times 3 \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{15}{2}\)
① \(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a }\)
② \(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\
\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)
③ \((k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})\)
※\(k\) は実数
④ \(\vec{a} \cdot \vec{a} = \color{red}{\left| \vec{a} \right| {}^2}\)
⑤ \(\left| \vec{a} \right| = \color{red}{\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}}\)
６．ベクトルの平行と垂直
\(\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}\) とする。
\(\vec{a} /\!\!/ \vec{b} \iff \color{red}{\vec{b} = k\vec{a}}\) (\(k\) は実数)
例題
ベクトル \(\vec{u} = (k, 8)\) とベクトル \(\vec{v} = (3, 12)\) が平行になるとき、\(k\) の値を求めよ。
解答
ベクトル \(\vec{u}\) と \(\vec{v}\) が平行であるとき、\(\vec{u} = t\vec{v}\) （\(t\) は実数）と表せる。
\((k, 8) = t(3, 12) = (3t, 12t)\)
よって、\(k = 3t、8 = 12t\)
\(8 = 12t\) から \(t = \displaystyle\frac{8}{12} = \displaystyle\frac{2}{3}\)
\(k = 3t = 3 \times \displaystyle\frac{2}{3} = 2\)
\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \color{red}{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}\)
例題
ベクトル \(\vec{u} = (2, -3)\)、\(\vec{v} = (4, k)\) が垂直になるような定数 \(k\) の値を求めなさい。
解答
垂直になるとき \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
\(2 \times 4 + (-3) \times k = 0\)
\(8 – 3k = 0\)
\(k = \displaystyle\frac{8}{3}\)
７．ベクトルの内積と成分
\(\vec{ a } \neq \vec{ 0 }\), \(\vec{ b } \neq \vec{ 0 }\), \(\vec{ a }, \vec{ b }\) のなす角 \(\theta\) \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ )\) とする。
\(\vec{ a } = (a_1 , a_2), \vec{ b } = (b_1 , b_2)\) とする。
\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \color{red}{a_1 b_1 + a_2 b_2}\)
例題
2つのベクトル \(\vec{a} = (3, 4)、\vec{b} = (2, -1)\) について、内積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) を求めよ。
解答
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 – 4 = 2\)
\(\vec{ a } = (a_1 , a_2 , a_3), \vec{ b } = (b_1 , b_2 , b_3)\) とする。
\(\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \color{red}{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}\)
例題
2つのベクトル \(\vec{a} = (2, 1, -1)、\vec{b} = (3, -5, -3)\) について、内積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) を求めよ。
解答
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 + 1 \times (-5) + (-1) \times (-3) = 6 – 5 + 3 = 4\)
８．三角形の面積
\(△OAB\) において,
\(\overrightarrow{ OA } = \vec{ a } = (a_1 , a_2), \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } = (b_1 , b_2)\) とすると,
面積 \(S = \color{red}{\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left| \vec{ a } \right|{}^2 \left| \vec{ b } \right|{}^2 – (\vec{ a } \cdot \vec{ b })^2} }\)\( \color{red}{= \displaystyle\frac{1}{2}\left| a_1 b_2 – a_2 b_1 \right|} \)
例題
\(\left|\vec{u}\right| = 6\)、\(\left|\vec{v}\right| = 8\)、\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 24\) のとき、ベクトル \(\vec{u}\) と \(\vec{v}\) が作る三角形の面積\(S\)を求めよ。
解答
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta = 6 \times 8 \times \cos\theta = 48\cos\theta = 24\)
また、
\(\left|\vec{u}\right| = 6\)、\(\left|\vec{v}\right| = 8\)より
三角形の面積 \(S= \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left| \vec{ u } \right|{}^2 \left| \vec{ v } \right|{}^2 – (\vec{ u } \cdot \vec{ v })^2} = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{6^2 \cdot 8^2 – 24^2} = 12\sqrt{3}\)
９．位置ベクトル
\(A(\vec{ a }) ,B(\vec{ b }), C(\vec{ c })\) とする。
① \(\overrightarrow{ AB } = \color{red}{\vec{b} – \vec{a}}\)
② 線分\( AB\) を\(m : n\) に内分する点は \( \color{red}{\displaystyle\frac{n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m + n}}\)
③ 線分 \(AB\) を\(m : n\) に外分する点は \( \color{red}{\displaystyle\frac{- n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m – n}}\)
④ 線分 \(AB\) の中点は \( \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{ a } + \vec{ b }}{2}}\)
④ 線分 \(AB\) の中点は \( \color{red}{\displaystyle\frac{\vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c }}{3}}\)
例題
\(A(\vec{ a }) ,B(\vec{ b })\) とするとき，線分\( AB\) を\(2 : 1\) に内分する点を表す位置ベクトルを求めよ。 \( \color{red}{\displaystyle\frac{n\vec{ a } + m\vec{ b }}{m + n}}\)
解答
\(\displaystyle\frac{\vec{ a } + 2\vec{ b }}{2 + 1}\)より
\(\displaystyle\frac{\vec{ a } + 2\vec{ b }}{3}\)
１０．ベクトル方程式
\((s, t)\) は実数とする。
点\(A(\vec{ a })\) を通り、\(\vec{ d } \) \((\vec{ d } \neq \vec{ 0 } )\) に平行な直線上のベクトル \(\vec{ p }\)は
\(\vec{ p } = \color{red}{\vec{ a } + t \vec{ d }}\)
※\(\vec{ d } \)を方向ベクトルという。
例題
点\(A(1, 2)\)を通り、方向ベクトル\( \vec{d} = (2, 3)\) をもつ直線のベクトル方程式を求めよ。
解答
直線のベクトル方程式は \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) の形で表される。
点\(A(1, 2)\)の位置ベクトルを \(\vec{a} = (1, 2)\) とすると、
\(\vec{r} = (1, 2) + t(2, 3) = (1 + 2t, 2 + 3t)\)
点\(P(\vec{ p })\) が2点\(A(\vec{ a })\), \(B(\vec{ b })\)を通る直線上にあるとき、
① \( \color{red}{\vec{ p } = (1 – t) \vec{ a } + t \vec{ b }}\)
② \( \color{red}{\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } ( s + t = 1)}\)
例題
2点\(A(2, 1)、B(5, 4)\)を通る直線のベクトル方程式を求めよ。
解答
方向ベクトルは \(\overrightarrow{AB} = (5-2, 4-1) = (3, 3)\)であるから
点\(A(2, 1)\)を通る直線のベクトル方程式は
\(\vec{r} = (2, 1) + t(3, 3) = (2 + 3t, 1 + 3t)\)
\(\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB }\) のとき,
① \(s + t = 1, s \geq 0 , t \geq 0 \) \(\iff\) 点 P の存在範囲は線分 AB 上
② \(0 \leq s + t \leq 1 , s \geq 0 , t \geq 0\) \(\iff\) 点 P の存在範囲は △OAB の周および内部
例題
三角形OAB に対して，点P が
\(\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB }\)\(s + t = 2, s \geq 0 , t \geq 0 \)
を満たしながら動くとき，点Pの存在範囲を求めよ。
解答
\(s + t = 2\) から \(\displaystyle\frac{s}{2} + \displaystyle\frac{t}{2} = 1\)
また，
\(\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB }\)
\( = \displaystyle\frac{s}{2}(2\overrightarrow{ OA }) + \displaystyle\frac{t}{2}(2\overrightarrow{ OB })\)
ここで，\(\displaystyle\frac{s}{2} = s’\), \(\displaystyle\frac{t}{2} = t’\) とおくと
\(\overrightarrow{ OP } = s'(2\overrightarrow{ OA }) + t'(2\overrightarrow{ OB })\)\(s’ + t’ = 1, s’ \geq 0 , t’ \geq 0 \)
よって
\(2\overrightarrow{ OA } = \overrightarrow{ OA’ }, 2\overrightarrow{ OB } = \overrightarrow{ OB’ }\)を満たす点\(A’, B’\)をとると，点Pの存在範囲は線分A’B’ である。
１１．ベクトルの表し方（まとめ）
\(k, s, t, u\) は実数とする。
① 点 \(P\) は直線 \(OA\)上にある ⇔ \(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = k\overrightarrow{ OA }}\)
② 点\(P\) は直線 \(AB\) 上にある
\(\iff\) \(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } (s + t = 1)}\)
\(\iff\) \(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + (1 – s)\overrightarrow{ OB }}\)
③ 点 \(P\)は平面 \(ABC\)上にある
\(\iff\) \(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } + u\overrightarrow{ OC } (s + t + u= 1)}\)
\(\iff\) \(\color{red}{\overrightarrow{ OP } = s\overrightarrow{ OA } + t\overrightarrow{ OB } + ( 1 – s -t)\overrightarrow{ OC }}\)
\(\iff\) \(\color{red}{\overrightarrow{ CP } = s\overrightarrow{ CA } + t\overrightarrow{ CB }}\)
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