指数〜基本公式・例題一覧〜
１．累乗根の性質
\(a > 0, b > 0, m, n, p\) は正の整数とする。
- \((\sqrt[n]{a})^n = a\)
- \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
- \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\)
- \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)
- \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)
- \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}\)
２．有理数の指数
\(a > 0 , m, n\) は正の整数, \(r\) は正の有理数とする
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
※特に、\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\), \(a^{-r} = \displaystyle\frac{1}{a^r}\)
３．指数法則
\(m , n \)は有理数とする。
① \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
② \((a^m)^n = a^{mn}\)
③ \((ab)^n =a^n b^n\)
※\(a^0 =1 \)
例題
次の計算をせよ。
① \(a^3 \times a^{-2} \)
② \((a^2)^{-3} \)
③ \((ab)^{-2} \)
解答
① \(a^3 \times a^{-2} = a^{3-2}=a \)
② \((a^2)^{-3} = a^{2 \times (-3)} =a^{-6} = \displaystyle\frac{1}{a^6}\)
③ \((ab)^{-2} = a^{-2} b^{-2} = \displaystyle\frac{1}{a^2b^2}\)
４．指数関数 \(y = a^x\) の性質
定義域：実数全体，値域：\(0 < y\)
①\(1 < a\)(底が1より大きい)とき
増加関数(\(x\)が増加すると\(y\)も増加)
②\(0 < a < 1\)(底が0より大きく、１より小さい)とき減少関数(\(x\)が減少すると\(y\)も減少)
対数〜基本公式・例題一覧〜
１．対数の定義
\(a > 0, a \neq 1, M > 0\) とする。
\(a^p = M ⇔ p = \log_a M\)
※「\(M\) は\(a\) の何乗か（指数の逆）」の値を表す
２．対数の性質
\(a > 0, a \neq 1, M > , N > 0, k\) :実数 とする。
- \(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 =0\), \(\log_a \displaystyle \frac{1}{a} = -1\)
- \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)
- \(\log_a M – \log_a N = \log_a \displaystyle\frac{M}{N}\)
- \(\log_a M^k =k \log_aM\)
３．底の変換公式
\(a > 0, b > 0, c > 0\) で，\(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1\) のとき，
\(\log_ab = \displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}\)
特に、\(\log_ab = \displaystyle\frac{1}{\log_ba}\)
４．対数関数 \(y = \log_ax\) の性質
定義域：\(0 < x\)，値域：実数全体
①\(1 < a\)(底が1より大きい)とき
増加関数(\(x\)が増加すると\(y\)も増加)
②\(0 < a < 1\)(底が0より大きく、１より小さい)とき減少関数(\(x\)が減少すると\(y\)も減少)
５．常用対数の利用
底が10 である対数を常用対数という
\(0 < x\) において
①\(n – 1 \leq \log_{10} x < n\)のとき、
\(x\) は\(n\)桁の整数
②\(-n \leq \log_{10} x < -(n-1) \)のとき、
\(x\) は小数第 \(n\) 位に初めて0でない数字が表れる
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