【数学II】公式集一覧〜式と証明・複素数・図形と方程式・三角関数・指数対数・微分積分〜

①\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

②\((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)

\((a + b)^n\)

\(= {}_nC_n a^n + {}_nC_{n-1} a^{n -1}b + {}_nC_{n-2} a^{n -2}b^2\)
\(+ \cdots + {}_nC_{r} a^rb^{n-r} + \cdots + {}_nC_{0} b^n\)

\(A\) を \(B\)で割ったときの商を\(Q\), 余りを\(R\)とするとき

 \(A = BQ + R\)

と表せる。

※（割られる式）＝（割る式）×（商）＋（余り）

①\(\displaystyle\frac{A}{B} \times \displaystyle\frac{C}{D}=\displaystyle\frac{AC}{BD}\)

②\(\displaystyle\frac{A}{B} \div \displaystyle\frac{C}{D}\)\(=\displaystyle\frac{A}{B}\times\displaystyle\frac{D}{C}\)\(=\displaystyle\frac{AD}{BC}\)

③\(\displaystyle\frac{A}{C} + \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A+B}{C}\)

④\(\displaystyle\frac{A}{C} – \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A-B}{C}\)

①　\(ax^2 + bx + c = a’x^2 + b’x + c’\) が\(x\) の恒等式
⇔　\(a = a’, b = b’, c = c’\)

②　\(ax^2 + bx + c  = 0\) が \(x\) の恒等式
⇔　\(a = b = c = 0\)

①（左辺）or（右辺）を変形して，他方になることを示す

②（左辺）－（右辺）を変形して，\((左辺) – (右辺) = 0\) を示す

①（左辺）―（右辺）\(\geq 0\) を示す

②\((左辺)^2 –(右辺)^2 \geq 0\) を示す

実数\(a, b\) について

①\(a^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = 0\) のとき成り立つ）

②\(a^2 + b^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = b = 0\) のとき成り立つ）

\(a > 0, b > 0\) のとき　

\(\displaystyle\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\)

(等号成立は \(a = b\) のとき成り立つ)

\(i^2 = -1\)を満たす数を\(i\)と表す。

※特に、\(a > 0\) において　\(\sqrt{- a} = \sqrt{a} i \)

\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の判別式 \(D = b^2 – 4ac\) において

①\(D > 0\) ⇔　異なる２つの実数解をもつ（実数解２個）

②\(D = 0\) ⇔　重解をもつ（実数解１個）

③\(D < 0\) ⇔　異なる２つの虚数解をもつ（実数解なし）

※\(D \geq 0\) ⇔　実数解をもつ（実数解１or２個）

2次方程式\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき

和：\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\)
積：\(\alpha\beta = \displaystyle\frac{c}{a}\)

\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき

\(ax^2 + bx + c = a(x – \alpha)(x – \beta)\)

２数\(\alpha, \beta\) を解とする２次方程式の１つは

①\((x – \alpha)(x – \beta) = 0\)

②\(x^2 –(\alpha + \beta)x +\alpha\beta = 0\)

\(P(x)\) を\((x – k)\)で割った商を \(Q(x)\)、余りを\(R\)とすると

①\(P(x) = (x – k)Q(x) + R\)　と表せる

② \(P(k) = R\)

多項式\(P(k) = 0\) ⇔　多項式\(P(x)\) は \((x – k)\) を因数にもつ

２点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)の距離ABは

AB = \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – x_1)^2}\)

①点\((x_1, y_1)\) を通り，傾きが \(m\) の直線の方程式は

\(y – y_1 = m(x – x_1)\)

②点\((x_1, y_1)\) を通り，\(x\) 軸に垂直な直線の方程式は

\(x = x_1\)

２点\((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)を通る直線の方程式は

①\(x_1 \neq  x_2\) のとき　

\(y – y_1 = \displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)\)

②\(x_1 = x_2\) のとき

\(x = x_1\)

２直線\(y = m_1 x + n_1 , y = m_2 x + n_2\) について

①平行　⇔　\(m_1 = m_2\)

②垂直　⇔　\(m_1m_2 = -1\)　⇔　\(m_1 = -\displaystyle\frac{1}{m_2}\)

点\((x_1, y_1)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\) は

\(d = \displaystyle\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

※特に、原点\((0, 0)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\) は

\(d = \displaystyle\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

①中心\((a, b)\), 半径\(r\) の円の方程式は

\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\)

※特に、原点中心、半径\(r\) の円の方程式は

\(x^2 + y^2 = r^2\)

①中心と半径がわかる場合など

⇒　\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\)

②通る点がわかる場合など

⇒　\(x^2 + y^2 + lx +my + n = 0\)

円の半径を\(r\) , 円の中心から直線までの距離を\(d\)とするとき

①円と直線が2点で交わる　⇔　\(d < r\)

②円と直線が接する　⇔　\(d = r\)

③円と直線が交わらない　⇔　\(d > r\)

円 \(x^2 + y^2 = r^2\) 上の点\((x_1, y_2)\) における接線の方程式は

\(x_1 x + y_1 y = r^2\)

２つの円\(C_1\), \(C_2\) の半径をそれぞれ\(r , r’\)\((r > r’)\) ,中心間の距離を\(d\)とすると

• 互いに外部にある　⇔　\(d > r + r’\)
• 外接する　⇔　\(d = r + r’\)
• ２点で交わる　⇔　\(r – r’ < d < r + r’\)
• 内接する　⇔　\(d = r – r’\)
• 一方が他方の内部　⇔　\(d < r – r’\)

• 　条件を満たす点\(P\) の座標を\(x, y\)として、図示する
• 　\(x, y\) の関係式を求める
• 　逆に，②で求めた関係式（図形）上のすべての点\(P(x, y)\) が条件を満たすことを確かめる

半径１の円の弧の長さに対する角度　→　弧度法

\(180^\circ = \pi\)ラジアン

1. \(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
2. \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)
3. \(1+\tan^2{\theta}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2{\theta}}\)

• \(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\)
• \(\cos(\theta + 2n\pi) = \cos\theta\)
• \(\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta\)  

• \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)
• \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)
• \(\tan(-\theta) = -\tan\theta\)

※\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)関連の加減　→　変わる

\(\sin ⇒ \cos\)
\(\cos ⇒ \sin\)
\(\tan ⇒ \displaystyle\frac{1}{\tan}\)

※\(\pi\)関連の加減　→　変わらない

\(\sin ⇒ \sin\)
\(\cos ⇒ \cos\)
\(\tan ⇒ \tan \)

と覚える

周期：\(2\pi\), 原点対称

周期：\(2\pi\), \(y\)軸対称

周期：\(\pi\), 原点対称

1. \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
2. \(\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta\)
3. \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta\)
4. \(\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)
5. \(\tan(\alpha+\beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha \tan\beta}\)
6. \(\tan(\alpha – \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha – \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}\)

①\(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)

②\(\cos2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta\)
\(= 1 – 2\sin^2\theta\)
\(=2\cos^2\theta – 1\)

③\(\tan2\theta = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta}\)

①\(\sin^2\theta = \displaystyle\frac{1 – \cos2\theta}{2}\)

②\(\cos^2\theta = \displaystyle\frac{1 + \cos2\theta}{2}\)

③\(\tan^2\theta = \displaystyle\frac{1 – \cos2\theta}{1 + \cos2\theta }\)

①\(\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 – \cos\theta}{2}\)

②\(\cos^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 + \cos\theta}{2}\)

③\(\tan^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 – \cos\theta}{1 + \cos\theta }\)

\(a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)\)

※ただし、

\(\sin\alpha = \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

\(\cos\alpha = \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

\(a > 0, b > 0, m, n, p\) は正の整数とする。

1. \((\sqrt[n]{a})^n = a\)
2. \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
3. \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\)
4. \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)
5. \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)
6. \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}\)

\(m , n \)は有理数とする。

①　\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
②　\((a^m)^n = a^{mn}\)
③　\((ab)^n =a^n b^n\)

※\(a^0 =1 \)

定義域：実数全体，値域：\(0 < y\)

①\(1 < a\)(底が1より大きい)とき 
増加関数(\(x\)が増加すると\(y\)も増加)

②\(0 < a < 1\)(底が0より大きく、１より小さい)とき減少関数(\(x\)が減少すると\(y\)も減少)

\(a > 0, a \neq 1, M > 0\) とする。

\(a^p = M ⇔　p = \log_a M\)

※「\(M\) は\(a\) の何乗か（指数の逆）」の値を表す

定義域：\(0 < x\)，値域：実数全体

①\(1 < a\)(底が1より大きい)とき 
増加関数(\(x\)が増加すると\(y\)も増加)

②\(0 < a < 1\)(底が0より大きく、１より小さい)とき減少関数(\(x\)が減少すると\(y\)も減少)

関数\(f(x)\) において，\(x\) が\(a\) から\(b\)まで変化するときの平均変化率は

\(\displaystyle \color{red}{\displaystyle\frac{f(b) – f(a)}{b – a}}\)

※平均変化率は中学における「変化の割合」と同じ

関数\(f(x)\) の\(x = a\) における微分係数\(f’(a)\)は

\(\displaystyle \color{red}{f’(a) = \lim\limits_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h) – f(a)}{h}}\)

※微分係数\(f’(a)\) は「関数\(y = f(x)\)の\(x = a\)における接線の傾き」を表す

曲線\(y = f(x)\)上の点\(A(a, f(a)) における接線の方程式は

　　\(\displaystyle \color{red}{y – f(a) = f’(a)(x – a)}\)

関数\(y = f(x)\)において

①\(f’(x) > 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは増加する

※接線の傾きが正の範囲ではグラフは増加する

②\(f’(x) < 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは減少する

※接線の傾きが負の範囲ではグラフは減少する

③\(f’(x) = 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは一定

※接線の傾きが0の部分ではグラフは一定となる

関数\(y = f(x)\) について

①\(f’(x)\) の符号が\(x = a\)の前後で正から負に変わるとき、
\(f(x)\)は\(x = a\)で極大になるといい、\(f(a)\)を極大値という

②\(f’(x)\) の符号が\(x = a\)の前後で負から正に変わるとき、
\(f(x)\)は\(x = a\)で極小になるといい、\(f(a)\)を極小値という

※極大値と極小値をまとめて、「極値」という。

関数\(f(x)\)が\(x = a\)で極値をとるとき、\(f’(a) = 0\)

※ただし、\(f’(a) = 0\)であっても、関数\(f(x)\)は\(x = a\)で極値をとるとは限らない

\(F’(x) = f(x)\) のとき

\(\int f(x) dx = F(x) + C\) (\(C\) は積分定数)

※\(F(x)\)を原始関数という

\(\int x^n dx = \displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\) (\(C\) は積分定数)

\(k, l\) は定数とする

①\(\int kf(x) dx = k \int f(x) dx \)

②\(\int \{f(x) + g(x)\} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)

③\(\int \{kf(x) + lg(x)\} dx = k\int f(x) dx + l\int g(x) dx \)

\(k\) は定数とする

①\(\int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \)

②\(\int_{a}^{b} \{f(x) + g(x)\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \)

③\(\int_{a}^{a} f(x) dx = 0\)

④\(-\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{b}^{a} f(x) dx\)

⑤\(\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx\)

\(\displaystyle \color{red}{\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)}\) (\(a\)は定数)

区間 \(a\leq x \leq b\) において

\(f(x) \geq 0\) のとき　\(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}f(x)dx}\)

\(f(x) \leq 0\) のとき　\(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}\{-f(x)\}dx}\)

区間 \(a\leq x \leq b\)で\(f(x) \geq g(x)\) のとき

\(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}\{f(x) – g(x) \}dx}\)

\(y = f(x)\) において

①\(f(x)\)が奇関数のとき

\(\displaystyle \color{red}{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0}\)

②\(f(x)\)が偶関数のとき

\(\displaystyle \color{red}{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx} \)

\(\displaystyle \color{red}{\int_{\alpha}^{\beta}(x – \alpha)(x – \beta)dx = -\displaystyle\frac{1}{6}(\beta – \alpha)^3 }\)

\(\displaystyle \color{red}{\int_{\alpha}^{\beta}(x – \alpha)^2 dx = \displaystyle\frac{1}{3}(\beta – \alpha)^3 }\)

放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) と直線 \(g(x) = px+q\) の交点の \(x\) 座標を \(α, β(α<β）\)とするとき，この放物線と直線で囲まれた図形の面積 \(S\) は

\(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3}\)

放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) と直線 \(g(x) = px^2+qx+r\) の交点の \(x\) 座標を \(α, β(α<β）\)とするとき，この2つの放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) は

\(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a – p|}{6}(\beta – \alpha)^3}\)

放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) とその接線 \(g(x) = px+q\) の接点の \(x\) 座標を \(α\)とするとき，この放物線と接線および直線\(x = \beta\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は

\(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta – \alpha)^3}\)

図において，放物線 \( y = ax^2 + bx + c \) と2本の接線の接点\(Q\),\(P\)の \(x\) 座標をそれぞれ \( \alpha, \beta \)(\( \alpha < \beta \))とすると，

① \(\displaystyle \color{red}{r = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}}\)

② \(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3}\)

③ \(\displaystyle \color{red}{S’ = S_1 + S_2 = \displaystyle\frac{|a|}{12}(\beta – \alpha)^3}\)

④ \(\displaystyle \color{red}{S_1 = S_2 = \displaystyle\frac{|a|}{24}(\beta – \alpha)^3}\)

3次関数 \( y = f(x) \)（3次の係数が \( a \)）とその接線 \( y = g(x) \) が，\( x = \alpha \) で接し，\( x = \beta \) で交わるとき，この3次関数と接線で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^4 } \)

3次関数 \( y = f(x) \)（3次の係数が \( a \)）と2次関数 \( y = g(x) \) が，\( x = \alpha \) で接し，\( x = \beta \) で交わるとき，この3次関数と接線で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^4 } \)