【数と式】２－４．実数とは～整数・自然数・有理数・絶対値～

実数とは～整数・自然数・有理数・無理数・実数の違い～

数学Ⅰで扱う数には以下のような種類があります。

整数

\(0\) および \(0\) に次々に \(1\) を足したり引いたりしてできる数、すなわち

\(\cdots \cdots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \cdots\)

のことを整数 といいます。

自然数

整数の中で正のもの、すなわち

\( 1, 2, 3, \cdots \cdots\)

のことを自然数といいます。

有理数

整数\(m\) と\(0\) でない整数\(n\) を用いて分数 \(\frac{m}{n}\) の形に表される数、すなわち

\(\displaystyle \frac{3}{5}, 5, -\displaystyle \frac{2}{3}, 0.1 \)

のことを有理数といいます。

例えば、上記の中で

\(5 = \displaystyle\frac{5}{1}\)

\(0.1 = \displaystyle\frac{1}{10}\)

となるため、やはり分数 \(\frac{m}{n}\) の形に表されます。

また、有理数は小数で表すと以下のようになります。

\(\displaystyle\frac{33}{4} = 8.25\)

\(\displaystyle\frac{15}{8} = 1.875\)

\(\displaystyle\frac{4}{3} = 1.33333 \cdots \cdots\)

\(\displaystyle\frac{55}{54} = 1.0185185 \cdots \cdots\)

ここで,

\(8.25, 1.875\)

のように小数点以下第何位かで終わる小数を有限小数といい、

\(1.33333 \cdots \cdots , 1.0185185 \cdots \cdots\)

のようにある特定の数字の配列が繰り返される小数を循環小数といいます。

循環小数は上記のままだと長くなってしまいますので,通常は

\(1.\dot{3} , 1.0\dot{1} 8 \dot{5}\)

のように表します。

したがって、

有理数はすべて整数、有限小数、循環小数で表すことができ,逆に、整数・有限小数・循環小数は分数の形で表せるため、有理数となります。

無理数

循環しない無限小数で表される数のことを無理数といいます。

例えば

\(\sqrt{2} = 1.414213\cdots\cdots\)
\(\sqrt{3} = 1.7320508\cdots\cdots\)
\(\pi = 3.1415926535\cdots\cdots\)

となりますので、これらは無理数となります。

実数

有理数（整数・有限小数・循環小数）と無理数を合わせて実数といいます。

絶対値

数直線上における原点\(O(0)\) と点\(P(a)\) との距離を,実数\(a\) の絶対値といい、

実数\(a\) の絶対値であれば \(|a|\)

と表します。

例えば、

絶対値の外し方

絶対値の中が正　→　そのまま外す
絶対値の中が負　→　−をつけて外す

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