数学と人間の活動（整数問題）　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学A）〜

解説

1. まず、240を素因数分解します。 240 = 24 × 10 = (8 × 3) × (2 × 5) = (2³ × 3) × (2 × 5) = 2⁴ × 3¹ × 5¹
2. 素因数分解したときの各素因数の「指数」に1を足し、それらをすべて掛け合わせると、約数の個数が求まります。 (4 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 5 × 2 × 2 = 20

答え: 20個

解説

1. まず、72を素因数分解します。 72 = 8 × 9 = 2³ × 3²
2. 各素因数について、(p⁰ + p¹ + … + pⁿ) の形の和を作ります。
   • 2³ について: (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) = (1 + 2 + 4 + 8) = 15
   • 3² について: (3⁰ + 3¹ + 3²) = (1 + 3 + 9) = 13
3. これらの和をすべて掛け合わせると、約数の総和が求まります。 15 × 13 = 195 

答え: 195

解説

1. ある自然数の2乗になるということは、素因数分解したときに、すべての素因数の指数が偶数になるということです。
2. まず、180を素因数分解します。 180 = 18 × 10 = (2 × 9) × (2 × 5) = 2 × 3² × 2 × 5 = 2² × 3² × 5¹
3. 現在の各素因数の指数は、2が2 (偶数)、3が2 (偶数)、5が1 (奇数)です。
4. すべての指数を偶数にするためには、指数が奇数である「5¹」にもう一つ5を掛けて「5²」にする必要があります。
5. したがって、掛けるべき最小の自然数nは5です。 

答え: n = 5

解説

1. それぞれの数を素因数分解します。
   • 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7
   • 126 = 2 × 63 = 2 × 7 × 9 = 2 × 3² × 7
2. 最大公約数 (GCD): 両方に共通する素因数を、指数の小さい方で取り出して掛け合わせます。
   • 共通素因数: 2, 3, 7
   • 指数の小さい方: 2¹ , 3¹ , 7¹
   • 最大公約数 = 2 × 3 × 7 = 42
3. 最小公倍数 (LCM): 両方に現れるすべての素因数を、指数の大きい方で取り出して掛け合わせます。
   • 現れる素因数: 2, 3, 7
   • 指数の大きい方: 2² , 3² , 7¹
   • 最小公倍数 = 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7 = 252

答え: 最大公約数: 42, 最小公倍数: 252

解説

1. それぞれの数を素因数分解します。
   • 36 = 4 × 9 = 2² × 3²
   • 60 = 6 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5 = 2² × 3 × 5
   • 90 = 9 × 10 = 3² × 2 × 5 = 2 × 3² × 5
2. 最大公約数 (GCD): 3つの数すべてに共通する素因数を、指数の最も小さい方で取り出して掛け合わせます。
   • 共通素因数: 2, 3
   • 指数の最も小さい方: 2¹, 3¹
   • 最大公約数 = 2 × 3 = 6
3. 最小公倍数 (LCM): 3つの数に現れるすべての素因数を、指数の最も大きい方で取り出して掛け合わせます。
   • 現れる素因数: 2, 3, 5
   • 指数の最も大きい方: 2², 3², 5¹
   • 最小公倍数 = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180 

答え: 最大公約数: 6, 最小公倍数: 180

解説

1. タイルを隙間なく敷き詰めるには、正方形のタイルの1辺の長さが、縦の長さ96と横の長さ120の両方を割り切る必要があります。つまり、1辺の長さは96と120の「公約数」です。
2. 「できるだけ大きな正方形のタイル」を使うので、1辺の長さは96と120の「最大公約数」となります。
3. ユークリッドの互除法などで最大公約数を求めます。
   • 120 ÷ 96 = 1 余り 24
   • 96 ÷ 24 = 4 余り 0
   • 最大公約数は24です。よって、タイルの1辺の長さは24cmです。
4. 必要なタイルの枚数を計算します。
   • 縦方向: 96cm ÷ 24cm = 4枚
   • 横方向: 120cm ÷ 24cm = 5枚
   • 合計枚数: 4 × 5 = 20枚 

答え: タイルの1辺の長さ: 24cm, タイルの枚数: 20枚

解説 ユークリッドの互除法は、「大きい方の数を小さい方の数で割った余り」と「小さい方の数」の最大公約数が、元の2つの数の最大公約数に等しいことを利用して、計算を繰り返す方法です。

1. 273 を 119 で割る。 273 = 119 × 2 + 35
2. 119 を 余りの 35 で割る。 119 = 35 × 3 + 14
3. 35 を 余りの 14 で割る。 35 = 14 × 2 + 7
4. 14 を 余りの 7 で割る。 14 = 7 × 2 + 0
5. 余りが0になったときの割る方の数「7」が最大公約数です。 

答え: 7

解説 ユークリッドの互除法を逆にたどって解を求めます。

1. まず、43と18でユークリッドの互除法を行います。
   • 43 = 18 × 2 + 7 (①)
   • 18 = 7 × 2 + 4 (②)
   • 7 = 4 × 1 + 3 (③)
   • 4 = 3 × 1 + 1 (④)
2. 余りが1になった式(④)を、「1 = …」の形に変形します。 1 = 4 – 3 × 1
3. 下の式から順に、余りを消去するように代入していきます。まず式(③)から 3 = 7 – 4 × 1 を代入します。 1 = 4 – (7 – 4 × 1) × 1 1 = 4 – 7 × 1 + 4 × 1 1 = 4 × 2 – 7 × 1
4. 次に式(②)から 4 = 18 – 7 × 2 を代入します。 1 = (18 – 7 × 2) × 2 – 7 × 1 1 = 18 × 2 – 7 × 4 – 7 × 1 1 = 18 × 2 – 7 × 5
5. 最後に式(①)から 7 = 43 – 18 × 2 を代入します。 1 = 18 × 2 – (43 – 18 × 2) × 5 1 = 18 × 2 – 43 × 5 + 18 × 10 1 = 43 × (-5) + 18 × 12
6. 元の式 43x + 18y = 1 と比較すると、x = -5, y = 12 が得られます。 

答え:(x, y) = (-5, 12) （他の解も存在します）

解説

1. まず、この方程式を満たす整数解を1組見つけます（特殊解）。 y=0 のとき、5x = 45 となり x=9。 よって、(x, y) = (9, 0) は解の1つです。 5 × 9 + 3 × 0 = 45 (①)
2. 元の式と、この特殊解の式を引き算します。 (5x + 3y) – (5 × 9 + 3 × 0) = 45 – 45 5(x – 9) + 3y = 0
3. 移項します。 5(x – 9) = -3y
4. 5と3は互いに素（1以外に公約数を持たない）なので、(x – 9) は3の倍数でなければなりません。 そこで、k を整数として、 x – 9 = 3k と表すことができます。
5. xについて解くと、 x = 3k + 9
6. この x – 9 = 3k を 5(x – 9) = -3y の式に代入して y を求めます。 5(3k) = -3y 15k = -3y y = -5k
7. したがって、すべての整数解は k を整数として表すことができます。

答え:x = 3k + 9, y = -5k (kは整数)

解説

1. 式を因数分解します。 n² + n = n(n + 1) これは「連続する2つの整数の積」を表しています。
2. 整数nは「偶数」か「奇数」のいずれかです。場合分けして考えます。(i) nが偶数の場合 n = 2k (kは整数) と表せる。 n(n + 1) = 2k(2k + 1) この式は2の倍数なので、偶数である。(ii) nが奇数の場合 n = 2k + 1 (kは整数) と表せる。 このとき、n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) となる。 n(n + 1) = (2k + 1) × 2(k + 1) この式は2の倍数なので、偶数である。
3. (i), (ii)より、nが偶数の場合も奇数の場合も n² + n は偶数になる。 したがって、すべての整数nに対して n² + n は偶数である。

解説

1. 問題の条件を式で表します。a, bを整数として、
   • n = 7a + 3 (①)
   • n = 5b + 2 (②)
2. ①と②から、7a + 3 = 5b + 2 となり、これを変形して一次不定方程式を作ります。 7a – 5b = 2 – 3 7a – 5b = -1
3. この方程式の特殊解を1つ見つけます。例えば、a=2, b=3 を代入すると 7(2) – 5(3) = 14 – 15 = -1 となり、成り立ちます。
4. 一般解を求めます。 7a – 5b = -1 -) 7(2) – 5(3) = -17(a – 2) – 5(b – 3) = 0 7(a – 2) = 5(b – 3)
5. 7と5は互いに素なので、kを整数として a – 2 = 5k と書けます。 a = 5k + 2
6. この a を最初の式① n = 7a + 3 に代入して、nをkの式で表します。 n = 7(5k + 2) + 3 n = 35k + 14 + 3 n = 35k + 17
7. このnが3桁で最小になるような整数kを探します。
   • k=0 のとき n = 17
   • k=1 のとき n = 35 + 17 = 52
   • k=2 のとき n = 35 × 2 + 17 = 70 + 17 = 87
   • k=3 のとき n = 35 × 3 + 17 = 105 + 17 = 122
8. nが3桁になるのはk=3のときからで、その最小値は122です。 

答え: 122

解説

1. 3のべき乗を7で割った余りには周期性があるか調べます。（a ≡ b (mod 7) は「aを7で割った余りとbを7で割った余りが等しい」ことを意味します）
   • 3¹ = 3 ≡ 3 (mod 7)
   • 3² = 9 ≡ 2 (mod 7)
   • 3³ = 3² × 3 ≡ 2 × 3 = 6 ≡ -1 (mod 7)
   • 3⁴ = 3³ × 3 ≡ -1 × 3 = -3 ≡ 4 (mod 7)
   • 3⁵ = 3⁴ × 3 ≡ 4 × 3 = 12 ≡ 5 (mod 7)
   • 3⁶ = 3⁵ × 3 ≡ 5 × 3 = 15 ≡ 1 (mod 7)
2. 3⁶を7で割った余りが1になることが分かりました。これを利用します。 （3³ ≡ -1 (mod 7) を利用する方が計算が速いです）
3. 指数100を3で割ると、100 = 3 × 33 + 1 です。
4. これを利用して、\(3^{100}\)を変形します。 \(3^{100} = 3^{3 × 33 + 1}\) = (3³)³³ × 3¹
5. これを7で割った余りを考えると、 (3³)³³ × 3¹ ≡ (-1)³³ × 3 (mod 7) ≡ -1 × 3 (mod 7) ≡ -3 (mod 7)
6. 余りは正の数で答えるので、-3に7を足します。-3 + 7 = 4。 

答え: 4

解説 2進法の各桁は、右から順に1の位(2⁰), 2の位(2¹), 4の位(2²), 8の位(2³), 16の位(2⁴)… を表しています。 11010₍₂₎ = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 

答え: 26

解説 10進法の数をn進法で表すには、その数をnで繰り返し割り、商が0になるまで続けます。出てきた余りを逆順に並べるとn進法の数になります。

1. 59 を 3 で割る: 59 ÷ 3 = 19 余り 2
2. 商の 19 を 3 で割る: 19 ÷ 3 = 6 余り 1
3. 商の 6 を 3 で割る: 6 ÷ 3 = 2 余り 0
4. 商の 2 を 3 で割る: 2 ÷ 3 = 0 余り 2
5. 商が0になったので終了。余りを下から（逆順に）読みます。 2012 

答え:2012₍₃₎

解説： n進数を10進数に変換するには、各桁の「位の重み」を考えます。 2進数の場合、右から順に「1の位 (2⁰の位)」「2の位 (2¹の位)」「4の位 (2²の位)」「8の位 (2³の位)」…となります。

1101(2) の各桁の数字と、その位の重みを掛け合わせて、最後にすべてを足し合わせます。

• 1101(2) の一番左の「1」は、2³ の位（8の位）です。 → 1 × 2³ = 1 × 8 = 8
• 1101(2) の左から2番目の「1」は、2² の位（4の位）です。→ 1 × 2² = 1 × 4 = 4
• 1101(2) の左から3番目の「0」は、2¹ の位（2の位）です。 → 0 × 2¹ = 0 × 2 = 0
• 1101(2) の一番右の「1」は、2⁰ の位（1の位）です。 → 1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1

これらの値をすべて合計します。 8 + 4 + 0 + 1 = 13

答え：13

解説： 10進数をn進数に変換するには、その10進数をnで割り続け、出てきた「余り」を使います。計算は、商が0になるまで続けます。

1. 29 を 3 で割ります。 29 ÷ 3 = 9 余り 2
2. 前の計算の商「9」を、さらに 3 で割ります。 9 ÷ 3 = 3 余り 0
3. 前の計算の商「3」を、さらに 3 で割ります。 3 ÷ 3 = 1 余り 0
4. 前の計算の商「1」を、さらに 3 で割ります。 1 ÷ 3 = 0 余り 1

商が0になったので、計算はここで終わりです。 出てきた「余り」を、下から上への順に並べます。

1, 0, 0, 2

答え：\(1002_{(3)}\)

解説： n進数の足し算は、10進数の筆算と同じように、右の位から順に計算します。 ただし、2進数の場合は、各位の合計が「2」になったら、1つ上の位に「1」を繰り上げます。（10進数で「10」になったら繰り上げるのと同じ考え方です）

1.  **1の位**：1 + 0 = 1
2.  **2の位**：1 + 1 = 2
    2は2進数では「10」と表します。そのため、この位は「0」となり、上の位に「1」を繰り上げます。
3.  **4の位**：0 + 1 + (繰り上がりの1) = 2
    ここでも合計が2になったので、この位は「0」となり、さらに上の位に「1」を繰り上げます。
4.  **8の位**：1 + (繰り上がりの1) = 2
    ここでも合計が2になったので、この位は「0」となり、さらに上の位に「1」を繰り上げます。
5.  **16の位**：繰り上がってきた「1」がそのまま下ります。

答え：\(10001_{(2)}\)

解説：n進数の引き算も、10進数の筆算と同じように右の位から計算します。
引けない場合は、1つ上の位から「1」を借ります。このとき、借りてきた「1」は、計算している位では「n」として扱います。5進数の場合は「5」となります。

1.  **1の位**：1 - 4
    引けないので、上の位（5の位）から「1」を借ります。5の位の「2」は「1」になります。
    借りてきた「1」はこの位では「5」として扱えるので、(1 + 5) - 4 = 2 となります。
2.  **5の位**：(貸した後の) 1 - 3
    引けないので、さらに上の位（25の位）から「1」を借ります。25の位の「4」は「3」になります。
    借りてきた「1」はこの位では「5」として扱えるので、(1 + 5) - 3 = 3 となります。
3.  **25の位**：(貸した後の) 3 - 1 = 2

答え：\(232_{(5)}\)