中学数学公式一覧～数と式・関数・図形～

①　加法の交換法則 : \(a + b = b + a\) 　

②　加法の結合法則 : \((a + b) + c = a + (b + c)\)

③　乗法の交換法則 : \(a \times b = b \times a\)

④　乗法の結合法則 : \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)

⑤　分配法則Ⅰ：\(a \times (b \times c) = a \times b + a \times c\)

⑥　分配法則Ⅱ：\((a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd\)

\(x = y\) とするとき

①　\(x + z = y + z\)　←両辺に同じものを足した値は等しい

②　\(x – z = y – z\) 　←両辺に同じものを引いた値は等しい

③　\(x \times z = y \times z\) 　←両辺に同じものをかけた値は等しい

④　\(x \div z = y \div z\) 　←両辺に同じものを割った値は等しい

⑤　\(y = x\) 　←両辺は入れかえても等しい

\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\)　←比例式の外項の積と内項の積は等しい

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は

\(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

2次方程式\(ax^2+2b’x+c=0\)(\(x\)の項が偶数の場合)の解は

\(x=\displaystyle\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)

①因数分解の利用

⇒　左辺が因数分解できるとき

②平方根の利用

⇒　\(x^2=p\)の形になるとき（\(x\)の項がないとき）

③解の公式の利用

⇒　①，②以外のとき

\(m , n \)は正の整数とする。

①　\(a^m \times a^n = a^{m + n}\)　

②　\(a^m \div a^n = a^{m – n}\)

③　\((a^m)^n = a^{mn}\)

④　\((ab)^n =a^n b^n\)　

※\(a^0 =1 \)　

①\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

②\((a+b) (a-b) = a^2 – b^2 \)

③\((x+a) (x+b) = x^2 + (a+b) x + ab \)

④\((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc) x + bd\)

\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)

\(AB + AC = A (B+C) \)

①　\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 , a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)

②　\(a^2 – b^2 = (a+b) (a-b) \)

③　\( x^2 + (a+b) x + ab = (x+a) (x+b)\)

④　\( acx^2 + (ad+bc) x + bd=(ax+b) (cx+d)\) ※たすきがけ

①　\(a \geq 0\) のとき　\((\sqrt{a})^2 =(- \sqrt{a})^2 = a, \sqrt{a} \geq 0 \)

②　\( \begin{eqnarray} \sqrt{a^2}=|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0 のとき) \\ -a&(a \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\)

\(a>0, b>0, k>0 \) のとき

①　\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)

②　\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

③　\(\sqrt{k^2 a} = k \sqrt{a} \)

\(x\) が \(y\) に比例するとき

\(y = ax  (a: 比例定数) \)

\(x\) が \(y\) に反比例するとき

\(y= \displaystyle\frac{a}{x} (a:比例定数)\)

点\((a, b)\)に関して

\(x\)軸対称　→ \((a, -b)\)
\(y\)軸対称　→ \((-a, b)\)
原点対称　→ \((-a, -b)\)

※\(x\)軸対称は\(y\),\(y\)軸対称は\(x\),原点対称は\(x, y\)両方の符号が変わる

\(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\)のとき

線分AB の中点Mの座標は

\(M(\displaystyle\frac{ x_{1}+ x_{2}}{2},\displaystyle \frac{ y_{1}+ y_{2}}{2})\)

　1次関数 \(y = ax + b\)のグラフは

　傾き\(a\),  \(y\) 切片が \(b\) の直線

※\(a\) が正　→　右上がり直線
　\(a\) が負　→　右下がり直線

グラフの手順

①　\(x\) 軸, \(y\) 軸, 原点をかく
②　\(y\) 切片（\(y\) 軸との交点）をとる
③　グラフの概形をかく

①点 \((x_1, y_1)\) を通り，傾き\(m\) の直線の方程式

→　\(y – y_1 = m (x – x_1)\)

②異なる2点 \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) を通る直線の方程式

→　・\(x_1 \neq x_2\) のとき

　　　　　\(y – y_1 = \displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)\)

     ・\( x_1 = x_2\) のとき

　　　　　\(x = x_1\)

　　※\(\displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\)は直線の傾きを表している

２次関数 \(y = ax^2 \) のグラフは原点を頂点とする放物線

（変化の割合）\( = \displaystyle\frac{(y の増加量)}{(x の増加量)}\)

　→　異なる２点を通る、直線の傾きを表す

①\(n\) 角形の内角の和は

\( 180^\circ \times (n -2)\)
※三角形（内角の和が180°）が\((n – 2)\)個あると考える

②正\(n\)角形の１つの内角の大きさは

\(\displaystyle\frac{1}{n}\{180^\circ  \times (n -2)\}\)
※正\(n\)角形はすべての内角の和が等しいため、\(n\) 角形の内角の和を頂点の数\(n\)で割る

①３辺の長さがそれぞれ等しい（三辺相等）

②２辺のその間の角がそれぞれ等しい（二辺挟角相等）

③１辺とその両端の角がそれぞれ等しい（一辺両端角相等）

①３辺の比がそれぞれ等しい（三辺比相等）
②２辺の比とその間の角が等しい（二辺比挟角相等）
③２つの角がそれぞれ等しい（二角相等）

三角形ABCにおいて\(M, N\) がそれぞれ\(AB, AC\) の中点のとき

①\(MN /\!/ BC\)
②\(MN:BC = 1:2\)

△ABCの\(\angle\)Aの内角の二等分線と辺BCとの交点Pは，辺BCをAB：ACに内分する

BP：PC＝BA：AC

①図において、４点A, B, P, Q が同一円周上にあるとき、　

\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB

②円周角は中心角の半分

※特に、直径（中心角\(180^\circ\)）がつくる円周角は直角（\(90^\circ\)）

四角形が円に内接するとき、

①対角の和は　\(180^\circ\)

②内角は，その対角の外角に等しい

半径\(r\) の球において

①体積\(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)

※「身(\(3\))の上に心配(\(4\pi\))ある(\(r\))ので参上(\(3乗\))」

と覚える

②表面積\(S = 4\pi r^2\)

※「心配(\(4\pi\))ある(\(r\))事情(\(2\)乗)」

と覚える