【数学Ⅲ】数列の極限～基本公式・例題一覧～

\(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha\), \(\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \beta\) とする。

①　\(\lim\limits_{n \to \infty} (k a_n + l b_n) = k\alpha + l\beta\) \((k, l は定数) \)

②　\(\lim\limits_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha\beta\)

③　\(\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\frac{a_n}{b_n} = \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} (\beta \neq 0)\)

④　すべての \(n\) について \(a_n \leq b_n\) \(\Rightarrow\) \(\alpha \leq \beta\)

⑤　すべての \(n\) について \(a_n \leq c_n \leq b_n\) かつ \(\alpha = \beta\) \(\Rightarrow\) \(\lim\limits_{n \to \infty} c_n = \alpha\)

\(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha\) \(\iff\) \(\lim\limits_{n \to \infty}(a_n – \alpha) = 0 \)\(\iff\) \(\lim\limits_{n \to \infty}| a_n – \alpha | = 0\)

無限等比数列\(\{ r^n \}\)は

\(r > 1\) のとき　\(\lim\limits_{n \to \infty} r^n = \infty\) 　← 発散する

\(r = 1\) のとき　\(\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 1\)　← 収束する

\(|r| < 1\) のとき　\(\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 0\) 　← 収束する

\(r \leq -1\) のとき　振動する　← 極限はない

したがって

数列\(\{ r^n \} \) が収束　\(\iff\) \(-1 < r \leq 1\)

無限級数\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\) は

第\(n\) 項までの部分和 \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\cdots + a_n\) が\(S\) に収束するとき収束し,　その和は\( S\) である。

無限等比級数 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\) は

\(| r | < 1\) のとき　収束し, 和は\(\displaystyle\frac{a}{1-r}\)
\(| r | \geq 1\) のとき　発散する

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n = S\), \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} b_n = T\) のとき、←収束する必要がある

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (ka_n + lb_n ) = kS +lT\) (\(k, l\) は定数)

①　\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\) が収束する　\(\Rightarrow\) \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0\)

②　\(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない　\(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\) は発散する