【数と式】３－６．１次不等式の解き方・連立不等式の解き方を解説

１次不等式の解き方～１次不等式とは,性質,基本的な解き方～

１次不等式とは

数の大小関係を

\(\lt\), \(\gt\), \(\leq\), \(\geq\)

のような不等号で表した式を不等式といいます。

例：不等式

ある数 \(x\) に \(3\) を加えた数は \(x\) の \(2\) 倍より小さい
⇒　\(x + 3 \lt 2x \)

ある数 \(x\) を \(5\) 倍して \(2\) を加えた数は \(- 3\) 以上である
⇒　\(5x + 2 \geq -3 \)

すべての項を移項して整理したとき,

\(ax + b \lt 0 \), \(ax + b \geq 0 \)

のように \(x\) の1次式になる不等式を\(x\) についての１次不等式といいます。

不等式の性質

不等式には以下の２つの性質が成り立ちます。

１次不等式の解

\(x\) についての１次不等式を成り立たせるような \(x\) の値をその不等式の解といいます。

例：１次不等式の解

\(3 x > 2\) の解
⇒　\(x=1\) のとき　　（左辺）= 3 > 2 = （右辺）
より　不等式は成り立っているから、\(x = 1\) は不等式の解の１つ
※上記の他にも、\(x= 2\) , \(x= 3\), \(x= 5\) など上記を満たすものはすべて不等式の解

１次不等式の解き方

、不等式のすべての解を求めることを,その不等式を解くといいます。

１次不等式の解き方～連立不等式の解き方～

いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、それらの不等式を同時に成り立たせる \(x\) の範囲を連立不等式の解といいます。また、連立不等式の解を求めることを連立不等式を解くといいます。

連立方程式の解法

連立方程式は以下のように解きます。

A < B < C の形の連立方程式の解法

\(A < B < C \)は, \(A < B\) かつ\(B < C\) が成り立つことと意味は同じになります。

例えば

\(2x – 1 < 3x < -x + 8\) であれば\(2x – 1 < 3x\) かつ\(3x < -x + 8\) となります。

したがって、以下のようになります。

\(2x – 1 < 3x < -x + 8\)

⇔　\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2x – 1 < 3x \\
3x < – x + 8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)

⇔　
\(2x – 1 < 3x\) を解くと\(-1 < x\) 　…①
\(3x < -x + 8\) を解くと\(x < 2\) 　 …②
①、②より
\(-1 < x < 2 \)

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