２次関数・２次方程式・２次不等式　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学I）〜

 a) \(y = 3x^2 + 2x – 1\) と c) \(y = -2x^2 + 7\)

【解説】二次関数は \(x\) の最高次数が\(2\)の関数です。a)とc)が該当します。

\((0, 0)\)

【解説】\(y = x^2\) は標準形で、頂点は原点 \((0, 0)\) です。

\(y = -18\)

【解説】\(y = -2x^2\) に \(x = 3\) を代入：\(y = -2 \times 3^2 = -2 \times 9 = -18\)

\(y = (x – 2)^2 – 1\)

【解説】\(y = x^2 – 4x + 3 = (x^2 – 4x + 4) – 4 + 3 = (x – 2)^2 – 1\)

\((3, -4)\)

【解説】\(y = x^2 – 6x + 5 = (x – 3)^2 – 9 + 5 = (x – 3)^2 – 4\)より、頂点は \((3, -4)\)

頂点：\((1, 3)\)、軸：\(x = 1\)

【解説】\(y = 2(x – 1)^2 + 3\) より、頂点は \((1, 3)\)、軸は\(x = 1\)

\((-1, 0)、(3, 0)\)

【解説】\(x^2 – 2x – 3 = 0\) を因数分解：\((x + 1)(x – 3) = 0\)より \(x = -1, 3\)

最大値：\(1\)、\(x = 2\)

【解説】\(y = -x^2 + 4x – 3 = -(x – 2)^2 + 1\)より、\(x = 2\) で最大値 \(1\)

\(y = (x – 2)^2 – 1\)

【解説】\(y = a(x – 2)^2 – 1\) とおき、\((0, 3)\) を通るので：\(3 = a(0 – 2)^2 – 1 = 4a – 1\)より \(a = 1\)

最大値：\(-3 (x = 1)\)、最小値：\(-9 (x = -1)\)

【解説】\(y = x^2 + 2x – 8 = (x + 1)^2 – 9\)。頂点 \((-1, -9)\) が範囲内なので最小値。端点で比較：\(f(-3) = -3\)、\(f(1) = -5\)

\((2, 3)\)

【解説】\(y = 3x^2 – 12x + 15 = 3(x^2 – 4x + 5) = 3((x – 2)^2 + 1) = 3(x – 2)^2 + 3\)

\((1, 0)、(5, 0)\)

【解説】\(-x^2 + 6x – 5 = 0\) より \(x^2 – 6x + 5 = 0\)、\((x – 1)(x – 5) = 0\)

\((1, 0)、(3, 0)\)

【解説】\(2x^2 – 8x + 6 = 0\) より \(x^2 – 4x + 3 = 0\)、\((x – 1)(x – 3) = 0\)

\(y = 2x^2 – 8x + 6\)

【解説】\(x\) 軸との交点が \((1, 0)\)、\((3, 0)\) なので \(y = a(x – 1)(x – 3)\)。\((0, 6)\) を通るので：\(6 = a(-1)(-3) = 3a\)より \(a = 2\)

最大値：\(12 (x = 5)\)、最小値：\(3 (x = 2)\)

【解説】\(y = x^2 – 4x + 7 = (x – 2)^2 + 3\)。頂点 \((2, 3)\) が範囲内。\(f(0) = 7\)、\(f(5) = 12\)

頂点：\((2, 2)\)、軸：\(x = 2\)

【解説】\(y = -2x^2 + 8x – 6 = -2(x^2 – 4x + 3) = -2((x – 2)^2 – 1) = -2(x – 2)^2 + 2\)

\(y = x^2 + 4x + 4\)

【解説】元の関数に \(3\) を加える：\(y = x^2 + 4x + 1 + 3 = x^2 + 4x + 4\)

最小値：\(2\) \(x = 1\)

【解説】\(y = 3x^2 – 6x + 5 = 3(x – 1)^2 + 2\)より、\(x = 1\) で最小値 \(2\)

\(x = -1, 3\)

【解説】\(-x^2 + 2x + 3 = 0\) より \(x^2 – 2x – 3 = 0\)、\((x + 1)(x – 3) = 0\)

\(y = (x + 1)^2 + 4\) は通らないので、\(y = a(x + 1)^2 + 4\) で \(a > 0\)。\((0, 3)\) より：\(3 = a + 4\)、\(a = -1 < 0\) なので不適。別解釈で \(y = (x + 1)^2 + 3\)

【解説】問題文を再解釈し、\(x = 0\)で \(y = 3\)となる下に凸の関数：\(y = -\frac{1}{4}(x + 1)^2 + \frac{13}{4}\)

\((2, 0)、(6, 0)\)

【解説】\(x^2 – 8x + 12 = 0\)、\((x – 2)(x – 6) = 0\)

最大値：\(-1(x = 0)\)、最小値：\(-7(x = -3)\)

【解説】\(y = 2x^2 + 4x – 1 = 2(x + 1)^2 – 3\)。頂点 \((-1, -3)\) が範囲内。端点：\(f(-3) = -7\)、\(f(0) = -1\)

\((2, 3)\)

【解説】\(y = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x^2 – 4x + 3) = -3((x – 2)^2 – 1) = -3(x – 2)^2 + 3\)

\(y = x^2 – 10x + 22\)

【解説】\(x\) を \(x – 2\) に置き換える：\(y = (x – 2)^2 – 6(x – 2) + 8 = x^2 – 10x + 22\)

最小値：\(1\) \(x = 2\)

【解説】\(y = \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3 = \frac{1}{2}(x – 2)^2 + 1\)

\(y = 2x^2 – 4x + 2\)

【解説】3点を通る二次関数を連立方程式で求める。\(y = ax^2 + bx + c\) に代入して解く。

最大値：\(9 (x = -2)\)、最小値：\(0 (x = -5)\)

【解説】\(y = -x^2 – 4x + 5 = -(x + 2)^2 + 9\)。頂点 \((-2, 9)\) が範囲内。\(f(-5) = 0\)、\(f(-1) = 8\)

\(y = 2(x – 3)^2 – 2\)

【解説】\(y = 2x^2 – 12x + 16 = 2(x^2 – 6x + 8) = 2((x – 3)^2 – 1) = 2(x – 3)^2 – 2\)

\(x \leq -5\) または \(x \geq -1\)

【解説】\(x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5) \geq 0\)より、\(x \leq -5\)または \(x \geq -1\)

\(y = 2(x – 3)^2 – 2\)

【解説】\(y = a(x – 3)^2 – 2\)とおき、\((1, 6)\) を通るので：\(6 = a(-2)^2 – 2 = 4a – 2\)より \(a = 2\)

最大値：\(3\) \(x = 1\)

【解説】\(y = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x – 1)^2 + 3\)

\((3, 0)、(7, 0)\)

【解説】\(x^2 – 10x + 21 = (x – 3)(x – 7) = 0\)

最大値：\(8 (x = 1)\)、最小値：\(-4 (x = -1)\)

【解説】\(y = 3x^2 + 6x – 1 = 3(x + 1)^2 – 4\)。頂点 \((-1, -4)\) が範囲内。\(f(1) = 8\)

\((2, 3)\)

【解説】\(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1 = -\frac{1}{2}(x – 2)^2 + 3\)

 \(y = x^2 + 8x + 2\)

【解説】元の関数から \(5\) を引く：\(y = x^2 + 8x + 7 – 5 = x^2 + 8x + 2\)

最小値：\(-1\) \((x = 1)\)

【解説】\(y = 4x^2 – 8x + 3 = 4(x – 1)^2 – 1\)

\(y = x^2 – 4x – 3\)

【解説】\(x\) 軸との交点が \((1, 0)\)、\((3, 0)\) なので \(y = a(x – 1)(x – 3)\)。\((0, -3)\) より \(a = 1\)

 \(x = 2, 4\)

【解説】\(-x^2 + 6x – 8 = 0\) より \(x^2 – 6x + 8 = 0\)、\((x – 2)(x – 4) = 0\)

最大値：\(6 (x = 1)\)、最小値：\(-2 (x = 4)\)

【解説】\(y = 2x^2 – 16x + 30 = 2(x – 4)^2 – 2\)。頂点 \((4, -2)\) が範囲内。\(f(1) = 16\)、\(f(6) = 6\)

\(y = -3(x – 3)^2 + 3\)

【解説】\(y = -3x^2 + 18x – 24 = -3(x^2 – 6x + 8) = -3((x – 3)^2 – 1) = -3(x – 3)^2 + 3\)

\(y = 2(x + 2)^2 + 1\)

【解説】\(y = a(x + 2)^2 + 1\)とおき、\((0, 9)\)を通るので：\(9 = a \cdot 4 + 1\)より \(a = 2\)

\((3, 0)、(9, 0)\)

【解説】\(x^2 – 12x + 27 = (x – 3)(x – 9) = 0\)

最大値：\(11\). \((x = -2)\)

【解説】\(y = -2x^2 – 8x + 3 = -2(x + 2)^2 + 11\)

最大値：\(-1 (x = 0)\)、最小値：\(-7 (x = -3)\)

【解説】\(y = \frac{1}{3}x^2 + 2x – 1 = \frac{1}{3}(x + 3)^2 – 4\)。頂点 \((-3, -4)\) が範囲内。\(f(0) = -1\)、\(f(-6) = -1\)

\(-5 \leq x \leq 3\)

【解説】\(x^2 + 2x – 15 = (x + 5)(x – 3) \leq 0\)

\((2, -5)\)

【解説】\(y = 5x^2 – 20x + 15 = 5(x – 2)^2 – 5\)

 \(y = x^2 + x – 3\)

【解説】3点を通る二次関数を連立方程式で求める。

最大値：\(9 (x = 7)\)、最小値：\(9 (x = 5)\)

【解説】\(y = -x^2 + 10x – 16 = -(x – 5)^2 + 9\)。頂点 \((5, 9)\) が範囲内で最大値。\(f(2) = 0\)、\(f(7) = 5\)

\(y = 3x^2 – 6x + 6\)

【解説】\(x\) を \(x + 1\)に置き換える：\(y = 3(x + 1)^2 – 12(x + 1) + 15 = 3x^2 – 6x + 6\)

最大値：\(4\) \((x = 2)\)

【解説】\(y = -4x^2 + 16x – 12 = -4(x – 2)^2 + 4\)