【数学Ⅰ】公式集～数と式・集合と命題・２次関数・図形と計量・データの分析～

\(m , n \)は正の整数とする。

①　\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)　

②　\((a^m)^n = a^{mn}\)

③　\((ab)^n =a^n b^n\)

※\(a^0 =1 \)

①\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

②\((a+b) (a-b) = a^2 – b^2 \)

③\((x+a) (x+b) = x^2 + (a+b) x + ab \)

④\((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc) x + bd\)

\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)

\(AB + AC = A (B+C) \)

①　\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 , a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)

②　\(a^2 – b^2 = (a+b) (a-b) \)

③　\( x^2 + (a+b) x + ab = (x+a) (x+b)\)

④　\( acx^2 + (ad+bc) x + bd=(ax+b) (cx+d)\) ※たすきがけ

\( \begin{eqnarray} |x| = \begin{cases} x & (x \geq 0 のとき) \\ -x&(x \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\) 　

①　\(a \geq 0\) のとき　\((\sqrt{a})^2 =(- \sqrt{a})^2 = a, \sqrt{a} \geq 0 \)

②　\( \begin{eqnarray} \sqrt{a^2}=|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0 のとき) \\ -a&(a \lt 0のとき) \end{cases}\end{eqnarray}\)

\(a>0, b>0, k>0 \) のとき

①　\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)

②　\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

③　\(\sqrt{k^2 a} = k \sqrt{a} \)

①　\(A < B \) ならば　\(A+C < B+C, A-C < B-C\)

②　\(A < B\) ならば

\(C>0\) のとき　\(AC < BC, \frac{A}{C} < \frac{B}{C} \)

\(C<0\) のとき　\(AC > BC, \frac{A}{C} > \frac{B}{C} \)

STEP①　不等式を　\(ax > b, ax \leq b \) などの形に整理する。

STEP②　整理された不等式の両辺を \(x\) の係数 \(a\) で割る。

\(c\) が正の定数のとき

①　方程式 \(|x|=c\) の解は \(x=\pm c \)

②　不等式 \(|x|<c\) の解は \(-c<x<c\)

③　不等式 \(|x|>c\) の解は \(x<-c, c<x \)

\(A, B\) のどちらにも属する要素全体の集合

\(A, B\) の少なくとも一方に属する要素全体の集合

全体集合\(U\)の部分集合\(A\)に対して、\(U\)の要素で，\(A\)には属さない要素全体の集合

①　\(\overline{ A\cap B } =\overline{ A }\cup \overline{ B }\)

②　\(\overline{ A\cup B } =\overline{ A }\cap \overline{ B }\)

２つの条件\(p, q\)について

①　命題\(p \Rightarrow q\)が真であるとき

\(p\) は\(q\) であるための 十分条件

\(q\) は\(p\) であるための 必要条件

②　命題\(p \Rightarrow q\)と(q \Rightarrow p\)がともに真であるとき（すなわち、\(p \Leftrightarrow q\)であるとき)

\(p\) は\(q\) (\(q\)は\(p\))であるための 必要十分条件 (\(p\) と\(q\)は同値）

「条件\(p\)でない」という条件を条件\(p\)の否定といい、\(\overline{p}\)　で表す。

①　対偶の利用　

命題\(p \Rightarrow q\) を証明するには, その対偶\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)を証明してもよい。
（命題\(p \Rightarrow q\) とその対偶\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)の真偽は一致する）

②　背理法の利用

命題が成り立たないと仮定して矛盾を導く

頂点：点\((p, q)\)

軸：直線\(x=p\)

※\(y=ax^2\) のグラフを

\(x\)軸方向に\(p\)

\(y\)軸方向に\(q\)

だけ平行移動した放物線を表す。

\(ax^2+bx+c\)の形を\(a(x-p)^2+q\)に変形することを平方完成という。

\(x^2-2px=(x-p)^2-p^2\)

平方完成すると

\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\)に変形できる。

頂点：\((-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a})\)

軸：直線 \(x=-\frac{b}{2a}\)

\(x\)方向に\(p\), \(y\)軸方向に\(q\)平行移動

①点\((a, b)\) →　\((a+p, b+p)\)

②関数\(y=f(x)\)

→　\(y-q=f(x-p)\)　すなわち　\(y=f(x-p)+q\)

※関数の平行移動は

\(x\)　→　\(x-p\)

\(y\)　→　\(y-q\)

に置き換えればOK

①点\((a, b)\)

\(x\)軸対称　→ \((a, -b)\)

\(y\)軸対称　→ \((-a, b)\)

原点対称　→ \((-a, -b)\)

②関数\(y=f(x)\)

\(x\)軸対称　→ \(-y=f(x)\)　⇔\(y=-f(x)\)

\(y\)軸対称　→ \(y=f(-x)\)

原点対称　→ \(-y=f(-x)\)　⇔\(y=-f(-x)\)

※\(x\)軸対称は\(y\),

\(y\)軸対称は\(x\),

原点対称は\(x, y\)両方

の符号が変わると覚える

STEP①　平方完成して、\(y=a(x-p)^2+q\)の形にする。

STEP②　頂点・軸を求め、グラフをかく

STEP③　グラフの\(y\)座標が最も大きい値（最大値）、最も小さい値（最小値）を求める

STEP①　求める2次関数をおく

①放物線の頂点・軸・最大値・最小値関係がわかっている場合　

→　\(y=a(x-p)^2+q\)とおく

②グラフが通る3点がわかっている場合

→　\(y=ax^2+bx+c\)とおく

③\(x\)軸との交点がわかっている場合

→　\(y=a(x-α)(x-β)\) とおく

STEP②　STEP①でおいた2次関数に条件をあてはめて立式する

STEP③　立式した方程式を解き、条件を満たす2次関数を求める。

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は

\(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

2次方程式\(ax^2+2b’x+c=0\)(\(x\)の項が偶数の場合)の解は

\(x=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)

①因数分解の利用

⇒　左辺が因数分解できるとき

②平方根の利用

⇒　\(x^2=p\)の形になるとき（\(x\)の項がないとき）

③解の公式の利用

⇒　①，②以外のとき

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)の判別式\(D=b^2-4ac\)において

\(D>0\) ⇔　異なる２つの実数解をもつ（解は２個）

\(D=0\) ⇔　重解をもつ（解は１個）

\(D<0\) ⇔　実数解をもたない（解は0個）

※特に、\(D \geq 0\) ⇔　実数解をもつ（解は1個or２個）

2次方程式 \(ax^2+2b’x+c=0\)の判別式\(D/4={b’}^2-ac\)において

\(D/4>0\) ⇔　異なる２つの実数解をもつ（解は２個）

\(D/4=0\) ⇔　重解をもつ（解は１個）

\(D/4<0\) ⇔　実数解をもたない（解は0個） ※特に、\(D/4 \geq 0\) ⇔　実数解をもつ

2次関数\(y=ax^2+bx+c\) のグラフと\(x\)軸の交点の数は\(D=b^2-4ac\)において

\(D>0\) ⇔　異なる2点で交わる（交点は2個）

\(D=0\) ⇔　1点で接する（交点は1個）

\(D<0\) ⇔　共有点をもたない（交点は0個）

※特に、\(D \geq 0\) ⇔　交点をもつ（交点は1個or 2個）

STEP① ２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)を解き、２次関数\(y=ax^2+bx+c\) と\(x\)軸との交点を求める。

STEP② \(x\)軸との交点を利用して２次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフをかく

STEP③ グラフから条件を満たす\(x\)の範囲を求める

すなわち、

①\(\sin{(90°-\theta)}=\cos\theta\)

②\(\cos{(90°-\theta)}=\sin\theta\)

③\(\tan{(90°-\theta)}=\frac{1}{\tan\theta}\)

\(\sin{(180°-\theta)}=\sin\theta\)

\(\cos{(180°-\theta)}=-\cos\theta\)

\(\tan{(180°-\theta)}=-\tan\theta\)

①\(tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}\)

②\(sin^2 \theta +cos^2 \theta =1 \)

③\(1+tan^2 \theta =\frac{1}{cos^2 \theta}\)

データのとる値をいくつかの区間に区切って階級を定め、各階級に度数を対応させた表。

各階級の真ん中の値を階級値という。

度数分布表を柱状のグラフで表したもの

\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+ \cdots\cdots +x_n)\)

データにおける最も個数の多い値。

度数分布表における度数が最も大きい階級の階級値

データを値の大きさの順に並べたとき中央の位置にくる値。

データの大きさが偶数のときは，中央に並ぶ２つの値の平均値。

データの最大値から最小値を引いた差の値

四分位数：データの値を大きさの順に並べたとき，４等分する位置にくる値。

小さい方から順に，第１四分位数\(Q_1\)，第２四分位数\(Q_2\)，第３四分位数\(Q_3\)という。

※（第２四分位数\(Q_2\)）＝（中央値）

四分位範囲：第３四分位数\(Q_3\)と第１四分位数\(Q_1\)の差\(Q_3-Q_1)\)

四分位偏差：四分位範囲の半分\(\frac{ Q_3-Q_1}{2}\)

箱ひげ図：データの最小値，第１四分位数，中央値第３四分位数，最大値を，箱とひげ（線）で表した図。

外れ値：データの中で，他の値から極端に離れた値。

偏差：変量\(x\)の各値と平均値との差
\(x_1-\overline{x}, x_2-\overline{x}, \cdots\cdots ,  x_n-\overline{x}\)

分散\(s^2\)：偏差の２乗の平均値
\(s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots\cdots+(x_n-\overline{x})^2\}\)
\(s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2\)

標準偏差\(s\)：分散\(s^2\)の正の平方根
標準偏差\(s=\sqrt{s^2}\)

散布図：２つの変量からなるデータを平面上に図示した図

2つの変量からなるデータにおいて

①　一方が増加すると他方も増加する傾向がある　→　正の相関

②　一方が増加すると他方が減少する傾向がある　→　負の相関

③　①②のどちらでもない　→　相関がない

2つの変量\(x, y\)において，\(x\)の偏差と\(y\)の偏差の積\((x_k-\overline{x})(y_k-\overline{y})\)

\(s_{xy}=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots\cdots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\}\)

\(x\)と\(y\)の共分散\(s_{xy}\)を，\(x\)の標準偏差\(s_x\)と\(y\)の標準偏差\(s_y\)の積で割った値

相関係数\(r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}\)

\(=\frac{(xとyの共分散)}{(xの標準偏差)×(yの標準偏差)}\)

※\(-1 \leq r \leq 1\)

正の相関が強い：相関係数\(r\)が\(1\)に近い値となる

負の相関が強い：相関係数\(r\)が\(-1\)に近い値となる

相関がない：相関係数\(r\)が\(0\)に近い値となる

得られたデータをもとに，ある主張が正しいかどうかを仮説を立てて判断する手法