【中学数学　関数】基本問題一覧〜一問一答式〜

【解答】 \( y = -4x \)

【ステップ1：基本形に代入する】
比例の基本形 \( y = ax \) に \( x = 3, \ y = -12 \) を代入します。
\[ -12 = a \times 3 \]
\[ 3a = -12 \]
\[ a = -4 \]

【ステップ2：式を完成させる】
比例定数 \( a = -4 \) を基本形にあてはめて、\( y = -4x \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( y \) は \( x \) に比例する」と言われたら、迷わず \( y = ax \) の形を思い浮かべましょう。

【解答】 \( y = -8 \)

【ステップ1：比例定数 \( a \) を求める】
反比例の性質「\( xy = a \)」を利用します。
\[ a = 4 \times 6 = 24 \]
したがって、式は \( y = \frac{24}{x} \) です。

【ステップ2：\( x = -3 \) を代入する】
\[ y = \frac{24}{-3} = -8 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
反比例は \( y = \frac{a}{x} \) に代入するより、\( a = x \times y \)（積が常に一定）を使うと計算ミスを大きく減らせます！

【解答】 \( 12 \)個

【ステップ1：積が12になる組み合わせ（約数）を考える】
\( xy = 12 \) より、\( x \) は 12 の約数になります。
12 の正の約数は \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \) の 6個 です。

【ステップ2：負の整数も含めてカウントする】
\( x, y \) ともに負の整数の組み合わせも同様に 6個 存在します。
\[ 6 + 6 = 12 \text{個} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「座標がともに整数 ＝ 比例定数の約数」です。負の符号の数え忘れに注意しましょう。

【解答】 \( y = \frac{120}{x} \)、5回転

【ステップ1：かみ合う歯の総数を求める】
「歯数 \( \times \) 回転数 ＝ 噛み合う歯の総数（一定）」の関係になります。
\[ 30 \times 4 = 120 \]
\[ xy = 120 \]
したがって、

\[ y = \frac{120}{x} \]

【ステップ2：\( x = 24 \) を代入する】
\[ y = \frac{120}{24} = 5 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
歯車・水槽の注水・面積一定の長方形などは「積が一定 ＝ 反比例」の代表例です。

【解答】 \( y = 3x – 1 \)

【ステップ1：傾きをあてはめる】
一次関数の基本形 \( y = ax + b \) に傾き \( a = 3 \) を入れると、\( y = 3x + b \)

【ステップ2：切片 \( b \) を計算する】
点 \( (2, 5) \) を通るので、\( x = 2, \ y = 5 \) を代入します。
\[ 5 = 3 \times 2 + b \]
\[ 5 = 6 + b \]
\[ b = -1 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「直線」や「一次関数」と言われたら、まずは基本形 \( y = ax + b \) を書き出すことからスタートしましょう。

【解答】 \( y = 2x + 1 \)

【ステップ1：傾き \( a \) を求める】
傾き \( a = \frac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}} = \frac{9 – 3}{4 – 1} = \frac{6}{3} = 2 \)

【ステップ2：切片 \( b \) を求める】
\( y = 2x + b \) に \( (1, 3) \) を代入します。
\[ 3 = 2 \times 1 + b \]
\[ b = 1 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
連立方程式で解くこともできますが、傾きを先に計算する手順の方が計算ミスを予防しやすくスピードも上がります！

【解答】 \( y = -2x + 5 \)

【ステップ1：平行条件から傾きを決定する】
2直線が平行 ＝ 傾きが等しい ので、求める直線の傾きも \( -2 \) です。
\[ y = -2x + b \]

【ステップ2：点 \( (3, -1) \) を代入して切片を求める】
\[ -1 = -2 \times 3 + b \]
\[ -1 = -6 + b \]
\[ b = 5 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「平行 ＝ 傾きが一緒」は超重要キーワードです。問題文の「平行」を見たらすぐに傾きを書き込みましょう。

【解答】 \( (3, 3) \)

【ステップ1：方程式をつくる】
交点では \( y \) の値が等しいので、代入法で方程式を立てます。
\[ 2x – 3 = -x + 6 \]

【ステップ2：\( x \) と \( y \) を求める】
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]
\( x = 3 \) を代入すると、
\[ y = 2 \times 3 – 3 = 3 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「関数のグラフの交点 ＝ 2式の連立方程式の解」は最頻出の重要ポイントです！

【解答】 \( 3x + 12 = 0 \)：点 \( (-4, 0) \) を通り \( y \) 軸に平行な直線、\( 2y – 6 = 0 \)：点 \( (0, 3) \) を通り \( x \) 軸に平行な直線

【ステップ1：それぞれの式を整理する】
・\( 3x = -12 \) より \( x = -4 \)
・\( 2y = 6 \) より \( y = 3 \)

【ステップ2：グラフの特性を判断する】
・\( x = -4 \) は \( y \) の値に関わらず \( x \) が常に \( -4 \)（\( y \) 軸に平行な縦線）
・\( y = 3 \) は \( x \) の値に関わらず \( y \) が常に \( 3 \)（\( x \) 軸に平行な横線）

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( x = \) 数字」は縦直線、「\( y = \) 数字」は横直線になります。混乱しやすいのでグラフ用紙に描いて確認しましょう。

【解答】 式：\( y = 3x + 10 \)、10分後

【ステップ1：文章から傾きと切片を読み取る】
・最初の水の量 10L ＝ 切片 \( b = 10 \)
・1分あたりの増加量 3L ＝ 傾き（変化の割合） \( a = 3 \)
よって、式は \( y = 3x + 10 \)

【ステップ2：満水時の時間 \( x \) を求める】
\( y = 40 \) を代入します。
\[ 40 = 3x + 10 \]
\[ 3x = 30 \]
\[ x = 10 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
文章題では「初期値 ＝ 切片」「1単位あたりの変化量 ＝ 傾き」と読み替えるのがコツです。

【解答】 \( y = 12 \)

【ステップ1：底辺と高さを考える】
点Pが辺BC上にあるとき、\( \triangle APD \) の底辺を AD（6cm）と考えると、高さは辺ABの長さ（4cm）で常に一定になります。

【ステップ2：面積を計算する】
\[ y = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
動点問題で点Pが底辺と平行な線上を移動している間は、高さが変わらないため面積も一定（\( y = \) 定数）になります。

【解答】 \( y = 3x^2 \)

【ステップ1：基本形に代入する】
基本形 \( y = ax^2 \) に \( x = 2, \ y = 12 \) を代入します。
\[ 12 = a \times 2^2 \]
\[ 4a = 12 \]
\[ a = 3 \]

【ステップ2：式を完成させる】
\[ y = 3x^2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( x \) を2乗し忘れて \( 12 = 2a \) としないよう注意しましょう。

【解答】 \( 10 \)

【ステップ1：公式を適用する】
\( y = ax^2 \) で \( x \) が \( p \) から \( q \) まで変化するとき、変化の割合は \( a(p + q) \) です。
\[ \text{変化の割合} = 2 \times (1 + 4) = 2 \times 5 = 10 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
公式 \( a(p + q) \) を知っておくと時短になり、見直しにも大変便利です。

【解答】 \( a = 2 \)

【ステップ1：変化の割合の公式に数値をあてはめる】
公式 \( \text{変化の割合} = a(p + q) \) を利用します。
\[ a(2 + 5) = 14 \]
\[ 7a = 14 \]
\[ a = 2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
公式を使えば、比例定数を求める逆算問題も一瞬で方程式を立てて解くことができます。

【解答】 \( -18 \le y \le 0 \)

【ステップ1：端の点の \( y \) の値を調べる】
・\( x = -1 \) のとき \( y = -2 \times (-1)^2 = -2 \)
・\( x = 3 \) のとき \( y = -2 \times 3^2 = -18 \)

【ステップ2：原点の存在を確認する】
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むため原点を通ります。上に凸のグラフなので最大値は \( 0 \) です。
したがって、\( -18 \le y \le 0 \) となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( x \) の変域が \( 0 \) をまたぐときは、必ず最大値または最小値が \( 0 \) になります。

【解答】 \( (-1, 1) \), \( (2, 4) \)

【ステップ1：二次方程式をつくる】
\[ x^2 = x + 2 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]

【ステップ2：因数分解して \( x \) を解く】
\[ (x – 2)(x + 1) = 0 \]
\[ x = 2, \ -1 \]

【ステップ3：\( y \) 座標を求める】
・\( x = -1 \) のとき \( y = 1 \) より \( (-1, 1) \)
・\( x = 2 \) のとき \( y = 4 \) より \( (2, 4) \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
\( y \) 座標の計算は、よりシンプルな \( y = x^2 \) に代入するのがおすすめです。

【ステップ1：2点 A, B の座標を求める】
・\( x = -2 \) を代入：\( y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2 \) より \( A(-2, 2) \)
・\( x = 4 \) を代入：\( y = \frac{1}{2}(4)^2 = 8 \) より \( B(4, 8) \)

【ステップ2：2点を通る直線の式を求める】
傾き \( a = \frac{8 – 2}{4 – (-2)} = \frac{6}{6} = 1 \)
\( y = x + b \) に \( (4, 8) \) を代入すると、\( 8 = 4 + b \)
\[ b = 4 \]
よって、\( y = x + 4 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
放物線上の 2点 \( (p, ap^2) \), \( (q, aq^2) \) を通る直線の式は、傾き \( = a(p + q) \)、切片 \( = -apq \) という裏ワザ公式でも一瞬で出せます！

【解答】 \( 3 \)

【ステップ1：直線 AB の切片を求める】
直線 AB の式は \( y = x + 2 \) です。\( y \) 軸との交点を C とすると C\( (0, 2) \) で、底辺 OC の長さは \( 2 \) です。

【ステップ2：\( y \) 軸で左右2つの三角形に分ける】
・左側 \( \triangle OAC = 2 \times 1 \div 2 = 1 \)
・右側 \( \triangle OBC = 2 \times 2 \div 2 = 2 \)
全体の面積 \( = 1 + 2 = 3 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( y \) 軸で左右に切り、切片を底辺にして足し算する」のが高校入試での王道解法です！

【解答】 \( (0, 4) \)

【ステップ1：等積変形の原理を使う】
底辺 AB が共通なので、原点 O を通り直線 AB（\( y = x + 2 \)）に平行な直線上に点 P をとれば、面積は等しくなります。
平行な直線の式：\( y = x \)（傾き 1、原点を通る）

【ステップ2：反対側の平行線も考える】
直線 AB から原点 O までの距離と同じ距離だけ反対側（上側）にある平行線を考えます。
直線 AB の切片は \( 2 \) なので、点 P を通る直線は切片がさらに \( 2 \) 増えて \( y = x + 4 \) となります。
この直線の \( y \) 切片が点 P となるため、\( P(0, 4) \) です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「面積が等しい ＝ 底辺共通で高さが等しい ＝ 平行線を引く（等積変形）」が入試の超定番解法アプローチです。

【解答】 \( (1, 1) \)

【ステップ1：点 A の座標を \( t \) でおいて表す】
点 A は \( y = x^2 \) 上にあるので、\( A(t, t^2) \)（\( t > 0 \)）とおくことができます。

【ステップ2：正方形の性質（縦 ＝ 横）で方程式をつくる】
四角形 OBAC が正方形になるには、横の長さ（\( x \) 座標）と縦の長さ（\( y \) 座標）が等しくなればよいので、
\[ t^2 = t \]
\[ t^2 – t = 0 \]
\[ t(t – 1) = 0 \]
\( t > 0 \) より \( t = 1 \)
よって、点 A の座標は \( (1, 1) \) です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「座標がわからない点は文字 \( t \) で置く」のが応用・融合問題を攻略する最大の鉄則です。