積分法 基本問題一覧〜一問一答式（高校数学II）〜

【解答】 \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 – 2x + C \) （\( C \) は積分定数）

【解説】
被積分関数を展開してから各項を積分します。
\[ (3x – 1)(x + 2) = 3x^2 + 5x – 2 \]
不定積分の公式 \( \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \) を適用すると、
\[ \int (3x^2 + 5x – 2) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} – 2x + C = x^3 + \frac{5}{2}x^2 – 2x + C \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
不定積分では最後に「\( C \) は積分定数」と一言添えるのが記述のルールです！忘れないようにしましょう。

【解答】 \( f(x) = 2x^3 – 2x^2 + 3 \)

【解説】
1. \( f'(x) \) を不定積分して \( f(x) \) の一般形を求めます。
\[ f(x) = \int (6x^2 – 4x) \, dx = 2x^3 – 2x^2 + C \quad \text{（\( C \) は積分定数）} \]
2. 条件 \( f(1) = 3 \) を代入して \( C \) を決定します。
\[ f(1) = 2(1)^3 – 2(1)^2 + C = C = 3 \]
よって、\( f(x) = 2x^3 – 2x^2 + 3 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「導関数を積分して \( C \) を含む式を作り、通過点の条件で \( C \) を特定する」という基本手順を押さえましょう。

【解答】 \( 9 \)

【解説】
原始関数を求めて、上端と下端を代入して引き算します。
\[ \int_{-1}^{2} (3x^2 – 2x + 1) \, dx = \left[ x^3 – x^2 + x \right]_{-1}^{2} \]
・\( x = 2 \) を代入：\( 2^3 – 2^2 + 2 = 8 – 4 + 2 = 6 \)
・\( x = -1 \) を代入：\( (-1)^3 – (-1)^2 + (-1) = -1 – 1 – 1 = -3 \)
したがって、
\[ 6 – (-3) = 9 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
負の数を代入するときの符号ミス（特にマイナスとマイナスでプラスになる部分）に十分注意してください！

【解答】 \( 0 \)

【解説】
定積分の性質 \( \int_{b}^{a} f(x) dx = -\int_{a}^{b} f(x) dx \) を利用します。
第2項の上下を入れ替えると、
\[ \int_{3}^{1} (x^2 + 2x) \, dx = -\int_{1}^{3} (x^2 + 2x) \, dx \]
したがって、与式は
\[ \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) \, dx – \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) \, dx = 0 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
直接計算する前に「被積分関数が同じでないか？」「上端・下端がつながっていないか？」を確認すると、一瞬で解ける問題があります！

【解答】 \( \frac{5}{2} \)

【解説】
絶対値の中身 \( x – 2 \) の符号が入れ替わる \( x = 2 \) で積分区間を分割します。
・\( 0 \le x \le 2 \) のとき：\( |x – 2| = -(x – 2) = -x + 2 \)
・\( 2 \le x \le 3 \) のとき：\( |x – 2| = x – 2 \)
よって、
\[ \int_{0}^{3} |x – 2| \, dx = \int_{0}^{2} (-x + 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x – 2) \, dx \]
それぞれの定積分を計算すると、
\[ \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{2} = (-2 + 4) – 0 = 2 \]
\[ \left[ \frac{x^2}{2} – 2x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{9}{2} – 6\right) – (2 – 4) = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2} \]
合計して、\( 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
絶対値記号は「中身が 0 になる点」で区間を分けて外すのが原則です。

【解答】 \( f(x) = 2x – 3 \)、\( a = 1 \) または \( a = 2 \)

【解説】
1. 両辺を \( x \) で微分すると、公式 \( \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) \) より、
\[ f(x) = 2x – 3 \]
2. 与式の両辺に \( x = a \) を代入すると、左辺は \( \int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0 \) となるので、
\[ 0 = a^2 – 3a + 2 \]
\[ (a – 1)(a – 2) = 0 \]
したがって、\( a = 1, 2 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「両辺を \( x \) で微分する」と「\( x = a \) を代入する」の2ステップが定石パターンです！

【解答】 \( f(x) = 3x^2 – 8 \)

【解説】
1. 定積分部分 \( \int_{0}^{2} f(t) \, dt \) は定数なので、\( \int_{0}^{2} f(t) \, dt = k \)（\( k \) は定数）とおきます。
2. すると、\( f(x) = 3x^2 + k \) と表せます。
3. この \( f(t) = 3t^2 + k \) を \( k \) の定義式に代入します。
\[ k = \int_{0}^{2} (3t^2 + k) \, dt = \left[ t^3 + kt \right]_{0}^{2} = 8 + 2k \]
\[ k = 8 + 2k \rightarrow k = -8 \]
したがって、\( f(x) = 3x^2 – 8 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
上端・下端が数字（定数）の積分は「全体を文字 \( k \) と置く」のが鉄則です！問6の \( x \) が入っているタイプとしっかり区別しましょう。

【解答】 \( \frac{32}{3} \)

【解説】
1. \( x \) 軸との交点の \( x \) 座標を求めます。
\( -x^2 + 4 = 0 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = -2, 2 \)
2. 区間 \( -2 \le x \le 2 \) において、\( y \ge 0 \)（\( x \) 軸より上側）です。
3. 求める面積 \( S \) は、
\[ S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx \]
偶関数の性質を利用して、
\[ S = 2 \int_{0}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2} = 2 \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「面積＝上にある関数 − 下にある関数」の定積分です。グラフを描いて上下関係と交点を必ず確認しましょう。

【解答】 \( \frac{9}{2} \)

【解説】
1. 交点の \( x \) 座標を求めます。
\[ x^2 – 2x = x \rightarrow x^2 – 3x = 0 \rightarrow x(x – 3) = 0 \]
交点は \( x = 0, 3 \)
2. 区間 \( 0 \le x \le 3 \) では、直線 \( y = x \) が放物線 \( y = x^2 – 2x \) の上側にあります。
3. 求める面積 \( S \) は、
\[ S = \int_{0}^{3} \left\{ x – (x^2 – 2x) \right\} \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx \]
\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
（上の式）−（下の式）の計算順序を間違えると面積がマイナスになってしまうので注意！

【解答】 \( \frac{9}{2} \)

【解説】
1. 交点の \( x \) 座標を求めます。
\[ x^2 – 4x + 3 = -x + 3 \rightarrow x^2 – 3x = 0 \rightarrow x = 0, 3 \]
2. 求める面積 \( S \) は、
\[ S = \int_{0}^{3} \left\{ (-x + 3) – (x^2 – 4x + 3) \right\} \, dx = \int_{0}^{3} -(x – 0)(x – 3) \, dx \]
3. ここで \( \frac{1}{6} \) 公式 \( \int_{\alpha}^{\beta} -(x – \alpha)(x – \beta) \, dx = \frac{1}{6}(\beta – \alpha)^3 \) を適用すると、
\[ S = \frac{1}{6} (3 – 0)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
放物線と直線（または放物線どうし）で囲まれた面積は **\( S = \frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3 \)** を使うと爆速かつ確実に計算できます！