図形の性質　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学A）〜

AD は $\mathrm{\angle }A$ の二等分線であるから、角の二等分線の性質より$$BD:DC=AB:AC$$が成り立つ。

与えられた値より、$AB=6,AC=5$ なので、$$BD:DC=6:5$$となる。

$D$は辺 $BC$を $6:5$に内分する点であるから、$$BD=\frac{6}{6+5}BC$$$BC=7$ を代入すると、$$BD=\frac{6}{11}\times 7=\frac{42}{11}$$

答え: $BD=\frac{42}{11}$

AE は $\mathrm{\angle }A$∠A の外角の二等分線であるから、角の二等分線の性質より

$$BE:CE=AB:AC$$が成り立つ。

与えられた値より、$AB=8,AC=6$ なので、$$BE:CE=8:6=4:3$$となる。

$E$は辺 $BC$ を $4:3$ に外分する点であるから、$$3BE=4CE$$

が成り立つ。 ここで、$BE=BC+CE=7+CE$ であるから、

\(3(7 + CE) = 4CE\)

\(21 + 3CE = 4CE\)

\(CE = 21\)

答え: $CE=21$

(1) 線分 $BD$ の長さ

$AD$ は $\mathrm{\angle }A$の二等分線であるから、角の二等分線の性質より$$BD:DC=AB:AC$$が成り立つ。

与えられた値より、$AB=8,AC=6$ なので、$$BD:DC=8:6=4:3$$となる。

$D$D は辺 $BC$ を $4:3$ に内分する点であるから、$$BD=\frac{4}{4+3}BC$$$BC=10$ を代入すると、$$BD=\frac{4}{7}\times 10=\frac{40}{7}$$

答え (1): $BD=\frac{40}{7}$

(2) 線分 $AD$ の長さ

まず、$DC$ の長さを求める。$$DC=BC-BD=10-\frac{40}{7}=\frac{70-40}{7}=\frac{30}{7}$$角の二等分線の長さの公式 $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$ を用いる。

$$A{D}^2=8\times 6-\frac{40}{7}\times \frac{30}{7}$$

$$A{D}^2=48-\frac{1200}{49}$$

$$A{D}^2=\frac{48\times 49-1200}{49}$$

$$A{D}^2=\frac{2352-1200}{49}$$

$$A{D}^2=\frac{1152}{49}$$$AD>0$であるから、

$$AD=\sqrt{\frac{1152}{49}}=\frac{\sqrt{1152}}{7}=\frac{\sqrt{576\times 2}}{7}=\frac{24\sqrt{2}}{7}$$

答え (2): $AD=\frac{24\sqrt{2}}{7}$

△ABCにおいて、$$\mathrm{\angle }A={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-{30}^{\circ }={110}^{\circ }$$

外心Oについて、∠BOCは弧BCに対する中心角、∠BACは同じ弧BCに対する円周角であるから、

$$\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC=2\times {110}^{\circ }={220}^{\circ }$$

ただし通常の三角形の内側の角としては、$${360}^{\circ }-{220}^{\circ }={140}^{\circ }$$

よって、$$\mathrm{\angle }BOC={140}^{\circ }$$

OB＝OCより、△OBCは二等辺三角形である。

したがって、$$\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OCB={20}^{\circ }$$

よって、

$$\mathrm{\angle }BOC={180}^{\circ }-{20}^{\circ }-{20}^{\circ }={140}^{\circ }$$

外心Oについて、∠BACは弧BCに対する円周角であるから、

$$\mathrm{\angle }BAC=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOC=\frac{{140}^{\circ }}{2}={70}^{\circ }$$

重心Gは中線ADを頂点側から2：1に内分するので、

$$AG:GD=2:1$$

$$AG=\frac{2}{3}\times 12=8$$

$$GD=\frac{1}{3}\times 12=4$$

辺BC の中点をMとする
AHとGKは平行であるから,
AH：GK = AM：GM
Gは三角形ABC の重心であるから
AG：GM = 2：1
よって　AM：GM = 3：1
したがって
AH：GK = 3：1

△ABC においてチェバの定理より

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{PC}{BP} \times \displaystyle\frac{QA}{CQ} =1 \)

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} \times \displaystyle\frac{7}{6} \times \displaystyle\frac{4}{5} =1 \)

\(\displaystyle\frac{RB}{AR} = \displaystyle\frac{15}{14} \)

したがって、

\(AR : RB = 14 : 15\)

三角形ABCと線分CRにおいて、メネラウスの定理より
\(\displaystyle\frac{QC}{AQ} \cdot \displaystyle\frac{BP}{CB} \cdot \displaystyle\frac{OA}{PO} = 1\) より
\(\displaystyle\frac{5}{4} \cdot \displaystyle\frac{6}{13} \cdot \displaystyle\frac{OA}{PO} = 1\) より
\(\displaystyle\frac{OA}{PO} = \displaystyle\frac{26}{15}\)
よって
AO：OP＝26：15

４点A, B, P, Q が同一円周上にあるから、円周角の定理より
\(\angle\)APB =\(\angle\)AQB = 50°

四角形ABCDは円に内接しているので
\(\alpha = \angle\mathrm{BAD} = 113^{\circ}\)
よって
\(\alpha = 113^{\circ}}\)

\(\theta = 55^{\circ}\)

方べきの定理より
\(PA \cdot PB =PC \cdot PD\)　より
\(4 \times 2 = PC \times 3\)
\(CP = \displaystyle\frac{8}{3}\)

この場合も、方べきの定理により、以下の関係が成り立ちます。

$$PA\cdot PB=PC\cdot PD$$

点Pが円の外部にある場合、線分の長さの取り方に注意が必要です。$PB$ は $PA+AB$、$PD$は $PC+CD$ となります。

まず、わかっている値を整理します。 $PA=5$、 $AB=7$ なので、$PB=PA+AB=5+7=12$、 $PC=4$PC=4 求める長さは $CD$ です。

方べきの定理の式に、わかっている値を代入します。

$$5\cdot 12=4\cdot PD$$

計算を進めて、$PD$の長さを求めます。$$60=4\cdot PD$$

$$PD=\frac{60}{4}$$

$$PD=15$$

ここで求まったのは $PD$ の長さです。問題で問われているのは $CD$ の長さなので、

$$CD=PD-PC$$の計算をします。$$CD=15-4=11$$

よって、答えは $CD=11$ となります。

オイラーの多面体定理 v – e + f = 2 を使います。

1. 問題の値を代入する
   • 頂点の数 v = 10
   • 辺の数 e = 15
   • 面の数 f = ?
   これを公式に代入すると、 10 – 15 + f = 2
2. f について解く -5 + f = 2 f = 2 + 5 f = 7

答え：7

まず、辺の数 e を求め、その後にオイラーの多面体定理を使って頂点の数 v を求めます。

1. 辺の数 e を求める
   • この多面体は8個の面を持ち、すべての面が三角形です。
   • もし、それぞれの三角形がバラバラだとすると、辺の合計は 8面 × 3辺 = 24本 になります。
   • しかし、多面体では1つの辺を2つの面が共有しています。
   • したがって、実際の辺の数 e は、計算した24本を2で割った数になります。
   e = (8 × 3) / 2 e = 24 / 2 e = 12辺の数は 12 です。
2. 頂点の数 v を求める
   • オイラーの多面体定理 v – e + f = 2 を使います。
   • 辺の数 e = 12
   • 面の数 f = 8
   • 頂点の数 v = ?
   これを公式に代入すると、 v – 12 + 8 = 2
3. v について解く v – 4 = 2 v = 2 + 4 v = 6頂点の数は 6 です。

答え：頂点の数 6、辺の数 12