【中学数学】数と式　基本問題一覧〜一問一答式〜

【解答】 \( 14 \)

【ステップ1：累乗の計算】
\[ (-3)^2 = 9 \]

【ステップ2：掛け算・割り算の計算】
\[ 4 \times (-2) = -8 \]
\[ (-6) \div 2 = -3 \]

【ステップ3：足し算・引き算の計算】
\[ 9 – (-8) + (-3) = 9 + 8 – 3 = 14 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( (-3)^2 = 9 \)」と「\( -3^2 = -9 \)」の違いに注意しましょう。かっこも含めて2乗されているかどうかの確認が必須です。

【解答】 \( \frac{5x + 2y}{12} \)

【ステップ1：通分して1つの分数にまとめ、分子にかっこをつける】
分母 3 と 4 の最小公倍数 12 で通分します。
\[ \frac{4(2x – y) – 3(x – 2y)}{12} \]

【ステップ2：分子を展開して同類項をまとめる】
\[ \frac{8x – 4y – 3x + 6y}{12} = \frac{5x + 2y}{12} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
方程式ではないため「分母を払う（12を掛ける）」のはNGです！また、分子の引く側（\( -3(x-2y) \)）の符号ミスに最注力してください。

【解答】 \( -10 \)

【ステップ1：式の単純化】
\[ 3(a – 2b) – 2(2a – b) = 3a – 6b – 4a + 2b = -a – 4b \]

【ステップ2：数値の代入】
\[ -(-2) – 4 \times 3 = 2 – 12 = -10 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「先に式を一番簡単な形にしてから代入する」のが計算ミスを防ぐ鉄則です。

【解答】 \( x = 22 \)

【ステップ1：分母の払いを実行】
両辺に 12 を掛けます。
\[ 4(x – 1) – 3(x + 2) = 12 \]

【ステップ2：かっこを外して整理】
\[ 4x – 4 – 3x – 6 = 12 \]
\[ x – 10 = 12 \]
\[ x = 22 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
分子が多項式の分数を払うときは、右辺の定数「1」にも12を掛けるのを忘れないようにしましょう。

【解答】 9個

【ステップ1：未知数の設定と立式】
りんごの個数を \( x \) 個とすると、オレンジの個数は \( (15 – x) \) 個と表せます。
\[ 120x + 80(15 – x) + 100 = 1660 \]

【ステップ2：方程式を解く】
\[ 120x + 1200 – 80x + 100 = 1660 \]
\[ 40x + 1300 = 1660 \]
\[ 40x = 360 \]
\[ x = 9 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「求めたい量＝\(x\)」とおき、もう一方を「全体\( – x\)」で表現するのが代金・個数問題の定番解法です。

【解答】 \( x = 7 \)

【ステップ1：外項の積＝内項の積 の適用】
\[ 4(x + 2) = 6(x – 1) \]

【ステップ2：方程式の展開と移項】
\[ 4x + 8 = 6x – 6 \]
\[ -2x = -14 \]
\[ x = 7 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
比例式 \( a:b = c:d \to ad = bc \) は図形の相似などでもずっと使い続ける最重要道具です。

【解答】 \( 6a^2b^2 \)

【ステップ1：分数形式への変形と約分】
マイナスが2個あるため全体符号はプラスです。
\[ \frac{12a^2b^3 \times 2a}{4ab} = 6a^2b^2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「符号を先に確定させる」「乗除混ざりは1つの大きな分数にする」の2手順でミスを激減させられます。

【解答】 \( b = \frac{2S}{h} – a \)

【ステップ1：両辺を2倍して \( h \) で割る】
\[ \frac{1}{2}(a + b)h = S \]
\[ (a + b)h = 2S \]
\[ a + b = \frac{2S}{h} \]

【ステップ2：\( a \) を移項】
\[ b = \frac{2S}{h} – a \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
かっこを無理にバラさず、外側から順番に崩していくのがスマートな等式変形です。

【解答】 \( x = 1, \ y = 2 \)

【ステップ1：加減法による \( y \) の消去】
②式を3倍すると \( 9x – 3y = 3 \) です。①式と足し合わせます。
\[ (2x + 3y) + (9x – 3y) = 8 + 3 \]
\[ 11x = 11 \]
\[ x = 1 \]

【ステップ2：代入して他方を算出】
\[ 3(1) – y = 1 \]
\[ y = 2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
係数が「1」になっている文字を見つけたら、代入法（\( y = 3x – 1 \)）を使うのも手早く解くコツです。

【解答】 Aさん：分速 120m、Bさん：分速 80m

【ステップ1：変数の設定と条件の立式】
Aの速さを分速 \( x \) m、Bの速さを分速 \( y \) m（\( x > y \)）とします。
・反対方向に進んで出会う（道のりの和 ＝ 1周）：\( 10x + 10y = 2000 \)
・同じ方向に進んで追い抜く（道のりの差 ＝ 1周）：\( 50x – 50y = 2000 \)

【ステップ2：連立方程式の解法】
簡素化すると：\( \begin{cases} x + y = 200 \\ x – y = 40 \end{cases} \)
これを解いて \( x = 120, \ y = 80 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
池の周回問題は「出会う＝和が1周」「追い抜く＝差が1周」の基本モデルを完璧に覚えておきましょう。

【解答】 \( -3x + 19 \)

【ステップ1：乗法公式でそれぞれ展開】
\[ (x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9 \]
\[ (x + 2)(x – 5) = x^2 – 3x – 10 \]

【ステップ2：かっこを外して引く】
\[ (x^2 – 6x + 9) – (x^2 – 3x – 10) = -3x + 19 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
引き算のあとの展開文には必ず括弧を残して、符号の反転漏れを防ぎましょう。

【解答】 \( 3y(x + 2)(x – 2) \)

【ステップ1：共通因数のくくり出し】
全体から共通因数 \( 3y \) をくくり出します。
\[ 3y(x^2 – 4) \]

【ステップ2：かっこ内を「平方の差」の公式でさらに分解】
\[ 3y(x + 2)(x – 2) \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
因数分解の第一歩は「まず共通因数でくくる」ことです。くくり出した後の括弧内がさらに公式で分解できないか必ず確認しましょう。

【解答】 \( (x – 4)(x – 5) \)

【ステップ1：共通部分の置き換え】
\( x – 2 = A \) とおくと、\( A^2 – 5A + 6 = (A – 2)(A – 3) \)

【ステップ2：元に戻す】
\[ \{(x – 2) – 2\}\{(x – 2) – 3\} = (x – 4)(x – 5) \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
同じカタマリを文字に置くことで基本公式がそのまま使えるようになります。

【解答】 \( n = 5 \)

【ステップ1：180 を素因数分解】
\[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \]

【ステップ2：ペアになれない素因数を特定】
1乗で残っている 5 を分母の \( n \) で割って消去すれば根号が外れます。よって最小の \( n \) は **5** です。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「ルートが外れる ＝ 素因数の指数がすべて偶数」という判定ロジックを押さえましょう。

【解答】 \( 4\sqrt{3} \)

【ステップ1：\( a\sqrt{b} \) への簡素化と有理化】
・\( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \)
・\( \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
・\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

【ステップ2：同類項の計算】
\[ 4\sqrt{3} – 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
文字式の同類項整理と同じ要領で、ルートの中身を揃えてから加減します。

【解答】 \( 7 – 2\sqrt{7} \)

【ステップ1：整数部分 \( a \) と小数部分 \( b \) の決定】
\( \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9} \) より \( 2 < \sqrt{7} < 3 \) であるため、整数部分 \( a = 2 \) です。
小数部分は「元の数 \( – \) 整数部分」で表されるため、\( b = \sqrt{7} – 2 \) です。

【ステップ2：与式の整理と計算】
ここで \( a + b = 2 + (\sqrt{7} – 2) = \sqrt{7} \) となることに注目します。
\[ b(a + b) = (\sqrt{7} – 2) \times \sqrt{7} = 7 – 2\sqrt{7} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「小数部分 ＝（元の数）\( – \)（整数部分）」の定義と、「（整数部分）\(+\)（小数部分）＝ 元の数」という関係を活用するのが最大のショートカットです。

【解答】 \( 8\sqrt{5} \)

【ステップ1：因数分解】
\[ x^2 – y^2 = (x + y)(x – y) \]

【ステップ2：和と差の算出と代入】
\( x + y = 2\sqrt{5} \), \( x – y = 4 \)
\[ (2\sqrt{5}) \times 4 = 8\sqrt{5} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
直接2乗せずに、因数分解で「和と差の積」を作ると計算量が何倍も減ります。

【解答】 \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)

【ステップ1：解の公式の適用】
\( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \) を公式代入します。
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
因数分解ができない方程式の最後の砦です。根号内の符号ミスに注意してください。

【解答】 \( a = 1 \)、もう1つの解：\( x = -4 \)

【ステップ1：\( x = 3 \) 代入による \( a \) の決定】
\[ 3^2 + 3a – 12 = 0 \]
\[ 3a = 3 \]
\[ a = 1 \]

【ステップ2：因数分解による他方の解】
\[ x^2 + x – 12 = 0 \]
\[ (x – 3)(x + 4) = 0 \]
\[ x = 3, -4 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
解が与えられたら代入するのが数学の黄金パターンです。

【解答】 （証明文言）

【ステップ1：文字設定】
\( n \) を整数とすると、連続する 2 つの奇数は \( 2n – 1, \ 2n + 1 \) と表せます。

【ステップ2：計算】
\[ (2n – 1)(2n + 1) + 1 = (4n^2 – 1) + 1 = 4n^2 = 4 \times n^2 \]

【ステップ3：結論】
\( n \) は整数であるから \( n^2 \) も整数であり、\( 4n^2 \) は 4 の倍数である。
したがって、連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は、4 の倍数になる。（証明終了）

👨‍🏫 教員のアドバイス
式変形の最後を必ず「\(4 \times (\text{整数})\)」の形に形作るのがポイントです。