確率分布と統計的な推測　基本問題一覧〜一問一答式（高校数学B）〜

【解答】 \(a = 0.5\)

【解説】
確率の総和は常に \(1\) であるため、
\[0.2 + a + 0.3 = 1\]
\[a + 0.5 = 1\]
したがって、\(a = 0.5\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
確率分布の問題では、**「全確率の和＝1」**が解法の第一歩になります！
未知数 \(a\) や \(k\) を含む問題が出たら、まず確率をすべて足して \(1\) になる方程式を立てましょう。

【解答】 \(E(X) = \frac{7}{2}\) （または \(3.5\)）

【解説】
\(X\) のとる値は \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) で、各々の確率は \(\frac{1}{6}\) です。
\[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\]
\[= \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
期待値は **「(値 × 確率) の総和」** です！
サイコロの目の平均値 \(3.5\) はよく登場する基本の数値なので、暗記しておくと検算に便利です。

【解答】 \(V(X) = 4\), \(\sigma(X) = 2\)

【解説】
分散の公式 \(V(X) = E(X^2) – \{E(X)\}^2\) より、
\[V(X) = 13 – 3^2 = 13 – 9 = 4\]
標準偏差 \(\sigma(X)\) は分散の正の平方根なので、
\[\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{4} = 2\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
分散の公式 **「\(V(X) = E(X^2) – (E(X))^2\)（2乗の平均 － 平均の2乗）」** は最重要！
「\(E(X^2)\)」と「\((E(X))^2\)」の順序やカッコの位置を混同しないようにしっかり区別しましょう。

【解答】 \(E(Y) = 7\), \(V(Y) = 36\), \(\sigma(Y) = 6\)

【解説】
一次変換 \(aX + b\) の性質を利用します。
・\(E(2X – 3) = 2E(X) – 3 = 2(5) – 3 = 7\)
・\(V(2X – 3) = 2^2 V(X) = 4 \times 9 = 36\)
・\(\sigma(2X – 3) = |2|\sigma(X) = 2 \times \sqrt{9} = 6\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
・期待値 \(E\)：定数の掛け算・引き算がそのまま外に出る（\(aE(X)+b\)）
・分散 \(V\)：定数の足し引き（\(b\)）は無視され、**係数は2乗（\(a^2\)）** になる！
分散で \(-3\) を計算に入れてしまうミスが非常に多いので注意してください。

【解答】 \(\frac{5}{16}\)

【解説】
表が出る回数 \(X\) は二項分布 \(B\left(5, \frac{1}{2}\right)\) に従います。
\[P(X = 3) = {}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(1 – \frac{1}{2}\right)^{5-3} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{16}\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
「同じ試行を繰り返す」ときは反復試行の確率、つまり**二項分布 \(B(n, p)\)** の登場です！
\(P(X=k) = {}_n\mathrm{C}_k p^k (1-p)^{n-k}\) の公式の形を確実に押さえましょう。

【解答】 \(E(X) = 20\), \(V(X) = 16\), \(\sigma(X) = 4\)

【解説】
二項分布 \(B(n, p)\) の公式を利用します（\(n = 100\), \(p = \frac{1}{5}\), \(q = 1 – p = \frac{4}{5}\)）。
・\(E(X) = np = 100 \times \frac{1}{5} = 20\)
・\(V(X) = npq = 100 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 16\)
・\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{16} = 4\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
二項分布の期待値・分散は **\(E(X)=np\)**、**\(V(X)=np(1-p)\)** という超強力な公式があります！
表を作って愚直に計算する必要はないので、公式を一瞬で取り出せるようにしておきましょう。

【解答】 \(k = \frac{1}{2}\)

【解説】
確率密度関数の全領域における面積（定積分）は \(1\) になります。
\[\int_{0}^{2} kx \, dx = \left[ \frac{k}{2}x^2 \right]_{0}^{2} = 2k\]
全確率の和が \(1\) なので、\(2k = 1\) より \(k = \frac{1}{2}\)
（※ \(x\) 軸と直線 \(x=2\)、\(y=kx\) で囲まれた三角形の面積 \(\frac{1}{2} \times 2 \times 2k = 2k = 1\) と考えてもOKです）

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
連続確率変数では **「グラフと \(x\) 軸で囲まれた部分の面積＝確率（全体で1）」** となるのが最大のポイントです！
直線のグラフなら三角形や台形の面積公式、曲線なら積分を使って全体量を \(1\) と置きましょう。

【解答】 \(Z = 1.5\)

【解説】
平均 \(m = 50\)、標準偏差 \(\sigma = 10\) です。
標準化の公式 \(Z = \frac{X – m}{\sigma}\) を利用して、
\[Z = \frac{65 – 50}{10} = \frac{15}{10} = 1.5\]

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
一般的な正規分布のままでは確率の計算ができないため、必ず **\(Z = \frac{X – m}{\sigma}\)** で標準化（平均0、標準偏差1にする変換）を行います。
分母は分散 \(\sigma^2\) ではなく **標準偏差 \(\sigma\)** である点に注意！

【解答】 \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\), \(P(Z \ge 1.5) = 0.0668\)

【解説】
・\(P(0 \le Z \le 1.5)\) は正規分布表の数値そのものなので \(0.4332\)
・標準正規分布は左右対称で、\(Z \ge 0\) の全体の面積は \(0.5\) です。
よって、\(P(Z \ge 1.5) = 0.5 – P(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
正規分布曲線は **左右対称** で、**中心（Z=0）より右側全体の面積は 0.5** になります。
「\(0.5\) から引き算する」パターンか「表の値をそのまま足す」パターンか、簡単な山型のグラフを描いて面積の位置を確認する癖をつけましょう。

【解答】 \(N(200, 10^2)\) （または \(N(200, 100)\)）

【解説】
試行回数 \(n = 400\) が十分に大きいため、二項分布 \(B\left(400, \frac{1}{2}\right)\) は近似的に正規分布 \(N(m, \sigma^2)\) に従います。
・平均 \(m = np = 400 \times \frac{1}{2} = 200\)
・分散 \(\sigma^2 = np(1-p) = 400 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 100 = 10^2\)
したがって、従う分布は \(N(200, 10^2)\) となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
「試行回数 \(n\) が大きい二項分布」は、**平均 \(m = np\)、分散 \(\sigma^2 = np(1-p)\) の正規分布に化ける（近似できる）** という性質（ラプラスの定理）を使います。
これにより二項分布の問題が問8・問9のような正規分布の標準化問題に化けます！

【解答】 \(E(\bar{X}) = 60\), \(\sigma(\bar{X}) = 2\)

【解説】
標本平均 \(\bar{X}\) の性質より、
・\(E(\bar{X}) = m = 60\)
・\(\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
標本平均の標準偏差は、元の標準偏差 \(\sigma\) を **\(\sqrt{n}\) で割る** 必要があります！
サンプル数（\(n\)）を増やせば増やすほどデータのバラつき（標準偏差）が小さくなる、というイメージを持つと記憶に残りやすいです。

【解答】 \(68.04 \le m \le 71.96\)

【解説】
信頼度 95% の信頼区間の公式 \(\left[ \bar{X} – 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\) を利用します。
\[1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{100}} = 1.96 \times 1 = 1.96\]
したがって、信頼区間は
\[70 – 1.96 \le m \le 70 + 1.96\]
より、\(68.04 \le m \le 71.96\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
信頼度 95% のときのキーワード数値は **\(1.96\)** です！（※信頼度 99% の場合は **\(2.58\)**）
公式 **「\(\bar{X} \pm 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)」** はテストに超必出なので暗唱できるようにしておきましょう。

【解答】 標本比率 \(R = 0.6\)、信頼区間：\(0.552 \le p \le 0.648\)

【解説】
標本比率 \(R = \frac{240}{400} = 0.6\)
母比率の信頼区間 95% の公式 \(\left[ R – 1.96 \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}, \, R + 1.96 \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}} \right]\) を利用します。
\[1.96 \sqrt{\frac{0.6 \times 0.4}{400}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.24}{400}} = 1.96 \times 0.0245 \approx 0.048\]
したがって、信頼区間は
\[0.6 – 0.048 \le p \le 0.6 + 0.048\]
より、\(0.552 \le p \le 0.648\)

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
母比率の推定公式は、ルートの中身が **\(\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}\)** となるのが特徴です！
平均の推定の \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) と混同しやすいので、「比率の問題は \(R(1-R)\) を使ったルート」としっかり区別しましょう。

【解答】
・帰無仮説 \(H_0\)：「コインは公正である（表が出る確率 \(p = \frac{1}{2}\)）」
・対立仮説 \(H_1\)：「コインは表が出やすい（表が出る確率 \(p > \frac{1}{2}\)）」

【解説】
仮説検定では、主張したいこと（表が出やすい）の逆である「差がない・公正である」という仮説を否定（棄却）することを目指します。
捨てたい仮説を「帰無仮説 \(H_0\)」、証明したい本命の仮説を「対立仮説 \(H_1\)」として設定します。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
仮説の立て方は逆になりやすいので注意！
**「帰無仮説（\(H_0\)）＝否定して無に帰したい仮説（効果がない・平等である）」**
**「対立仮説（\(H_1\)）＝主張したい本命の仮説（効果がある・偏りがある）」**
と覚えておくと混乱を防げます。

【解答】 帰無仮説 \(H_0\) を棄却し、対立仮説 \(H_1\) を採択する。（結論：「コインは表が出やすい」と判断できる。）

【解説】
得られた確率 \(0.0018\) は有意水準 \(0.05\)（5%）よりも十分に小さい値です（\(0.0018 < 0.05\)）。
これは「公正なコインであればめったに起こり得ない（奇跡的な）現象が起きた」ことを意味するため、前提とした帰無仮説 \(H_0\)（公正である）が間違っていたと考え、\(H_0\) を棄却して「表が出やすい」と結論付けます。

👨‍🏫 教員のアドバイス：ここがつまずきポイント！
・**\(p\) 値 < 有意水準** → レアすぎる！仮説が間違っていたので **「帰無仮説を棄却（本命を採択）」**
・**\(p\) 値 \(\ge\) 有意水準** → よくある範囲！ **「帰無仮説を棄却できない（主張は認められない）」**
判定ルールを正しく整理しておきましょう！