【数学I・図形と計量】三角比の相互関係（3つの公式と証明・使い方）

もし \(\sin \theta^2\) と書いてしまうと「角度 \(\theta\) 自体を2乗する」という意味になり、誤りになってしまいます。計算や記述テストの際は乗数の位置に注意しましょう。

続いて、なぜこの3つの公式が成り立つのか、直角三角形の定義を使った「証明（導き方）」を確認していきましょう！

2. 3つの公式の証明（導き方）

三角比の相互関係の公式は、丸暗記するだけでなく「なぜ成り立つのか」を直角三角形の定義と三平方の定理から導けるようにしておくことが大切です。

証明の流れを理解しておけば、万が一テスト中に公式を忘れてしまってもその場で自力で作り出すことができます。

① \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) の証明

右辺の \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) に、定義である \(\sin \theta = \frac{b}{c}\) と \(\cos \theta = \frac{a}{c}\) を代入してみましょう。

\[ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}} = \frac{b}{c} \div \frac{a}{c} = \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} = \frac{b}{a} \]

定義より \(\frac{b}{a} = \tan \theta\) ですので、左辺と一致し、公式 ① が証明できました。

② \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) の証明

左辺の \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\) に、定義の \(\sin \theta = \frac{b}{c}\)、\(\cos \theta = \frac{a}{c}\) を代入します。

\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{b^2}{c^2} + \frac{a^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} \]

ここで、直角三角形の三平方の定理より \(a^2 + b^2 = c^2\) ですので、分子に代入します。

\[ \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1 \]

これにより、右辺の \(1\) と一致し、公式 ② が証明できました。

③ \(1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\) の証明

公式 ③ は、すでに証明した公式 ① と ② を組み合わせることで簡単に導くことができます。

公式 ② \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) の両辺を \(\cos^2 \theta\) で割ってみましょう。

\[ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \]

公式 ① より \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta\) なので、\(\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta\) となります。
また、\(\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1\) です。

したがって、

\[ \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \quad \left(\text{すなわち } 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\right) \]

となり、公式 ③ が導かれました。

3. 公式の使い分けと解き方の手順（ステップ）

三角比の相互関係を使った計算問題では、「与えられている値」と「求めたい値」の組み合わせによって使う公式が一瞬で決まります。

まずは以下の使い分けパターンを押さえましょう。

ミスを防ぐ問題演習の3ステップ

実際の計算を進めるときは、次の3つのステップを順番に踏むことで、符号の間違いやケアレスミスを防ぐことができます。

1. 角度 \(\theta\) の範囲を確認する：
    鋭角（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）なのか、鈍角（\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)）なのかをチェックし、各三角比の符号（プラス・マイナス）を把握する。
2. 適切な公式に代入して2乗の値を求める：
    目的の公式に値を代入し、\(\cos^2 \theta\) や \(\sin^2 \theta\) の形まで計算する。
3. 平方根をとって符号を確定させる：
    ステップ1で確認した符号に合わせて、\(\pm\) のどちらかを選んで値を求める。

それでは、この3ステップを使って実際に例題を解く手順を確認していきましょう！

4. 【例題演習】鋭角（0° < θ < 90°）での値の計算

それでは、先ほどの3ステップを使って実際の基本問題を解いてみましょう！

例題1：\(\sin \theta\) から \(\cos \theta\), \(\tan \theta\) を求める

【解答・解説】

Step 1：\(\cos \theta\) を求める（公式②より）
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) に \(\sin \theta = \frac{3}{5}\) を代入します。

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \]

\[ \frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1 \]

\[ \cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

\(\theta\) は鋭角なので \(\cos \theta > 0\) です。
したがって、

\[ \cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}} \]

Step 2：\(\tan \theta\) を求める（公式①より）
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) に \(\sin \theta = \frac{3}{5}\) と \(\cos \theta = \frac{4}{5}\) を代入します。

\[ \tan \theta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}} \]

例題2：\(\tan \theta\) から \(\cos \theta\), \(\sin \theta\) を求める

【解答・解説】

Step 1：\(\cos \theta\) を求める（公式③より）
\(1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\) に \(\tan \theta = 2\) を代入します。

\[ 1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \]

\[ 5 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \]

両辺の逆数をとると、

\[ \cos^2 \theta = \frac{1}{5} \]

\(\theta\) は鋭角なので \(\cos \theta > 0\) です。
したがって、

\[ \cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{5}}} \quad \left(\text{有理化して } \frac{\sqrt{5}}{5} \text{ でも可}\right) \]

Step 2：\(\sin \theta\) を求める（公式①を変形した形より）
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) の両辺に \(\cos \theta\) をかけると、**\(\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta\)** と表せます。

\[ \sin \theta = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \mathbf{\frac{2}{\sqrt{5}}} \quad \left(\text{有理化して } \frac{2\sqrt{5}}{5} \text{ でも可}\right) \]

【よくある質問】三角比の相互関係に関するQ&A

三角比の相互関係の計算や公式の使い方について、高校生からよく寄せられる質問と解決策をまとめました。

Q1. 分母の有理化は必ずしないとダメですか？

A. 基本的には \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) や \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) のままで問題ありません。

高校数学（特に数学Ⅰの図形分野）では、直角三角形の比との対応が分かりやすいため、分母にルートがついたまま答えても正解とされる場合がほとんどです。
ただし、学校の指定や共通テストなどの穴埋め問題では、有理化された形（\( \frac{\sqrt{5}}{5} \) や \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）で問われることがあるため、どちらの形にも一瞬で変換できるように準備しておきましょう。

Q2. 公式 ③（\( 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \)）が覚えられません。

A. 無理に丸暗記しなくても、テスト中に数秒で作ることができます！

最も重要な公式 \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) の両辺を \( \cos^2 \theta \) で割ってみましょう。

万が一公式を忘れてしまっても、基本の公式から自分で作り出せるように練習しておくのがおすすめです。

Q3. \(\sin^2 \theta\) の「2」を書く位置を間違えてしまいそうです。

A. \(\sin\) や \(\cos\) のすぐ右上に小さく書くのが数学のルールです。

\( (\sin \theta)^2 \) を格好（かっこ）なしで表す際、角 \(\theta\) の2乗（\( \sin \theta^2 \)）と区別するために、\( \sin^2 \theta \) のように記号の直後に指数を書きます。
模試や定期テストの記述でも減点対象にならないよう、正しく書く癖をつけておきましょう。

関連ページ・練習問題でアウトプットしよう！

三角比の相互関係の計算手順を理解したら、公式の再確認や実際の解き込み演習を行って確実な得点力を身につけましょう！

まとめ：三角比の相互関係をマスターして解き分けのスピードを上げよう！

今回は、数学Ⅰで絶対に押さえておきたい **三角比の相互関係の3大公式** と、**条件別の使い分けルール・計算手順** を解説しました。

三角比の相互関係は、単に値を求める問題だけでなく、この後に学ぶ「等式の証明」や「鈍角（90°〜180°）への拡張」でも当たり前のように使う基本ツールです。

「与えられた値からどの公式を使うか」を瞬時に判断できるように、まずは基本例題の数値を自分で手を動かして計算する練習から始めてみましょう！

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確実に定着させるには、知識が新しいうちに自分で解き直し、類題で練習することが欠かせません。

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