【中学数学】図形　基本問題一覧〜一問一答式〜

【解答】 線分 AB の垂直二等分線と、2直線 \( l, m \) がつくる角の二等分線の交点

【ステップ1：2点から等距離の条件を整理する】
「2点 A, B から等しい距離にある点の集合」は線分 AB の垂直二等分線です。

【ステップ2：2直線から等距離の条件を整理する】
「2直線 \( l, m \) から等しい距離にある点の集合」は2直線のなす角の二等分線です。
したがって、この2本の直線の交点が求める点 P となります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「2点から等距離 ＝ 垂直二等分線」「2直線から等距離 ＝ 角の二等分線」は作図問題の二大鉄則です。

【解答】 弧の長さ：\( 2\pi \text{cm} \)、面積：\( 6\pi \text{cm}^2 \)

【ステップ1：弧の長さを求める】
\[ 2\pi \times 6 \times \frac{60}{360} = 12\pi \times \frac{1}{6} = 2\pi \text{cm} \]

【ステップ2：面積を求める】
\[ \pi \times 6^2 \times \frac{60}{360} = 36\pi \times \frac{1}{6} = 6\pi \text{cm}^2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
おうぎ形は「円全体に対する割合（\( \frac{\text{中心角}}{360^\circ} \)）」を掛けるだけで計算できます。

【解答】 表面積：\( 36\pi \text{cm}^2 \)、体積：\( 36\pi \text{cm}^3 \)

【ステップ1：表面積公式 \( S = 4\pi r^2 \) にあてはめる】
\[ S = 4\pi \times 3^2 = 4\pi \times 9 = 36\pi \text{cm}^2 \]

【ステップ2：体積公式 \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) にあてはめる】
\[ V = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \text{cm}^3 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
語呂合わせで「心配ある事情（\( 4\pi r^2 \)）」＝表面積、「身の上に心配ある参上（\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)）」＝体積、と暗記しましょう！

【解答】 \( 144^\circ \)

【ステップ1：外角を利用して求める（解法1：おすすめ）】
多角形の外角の和は常に \( 360^\circ \) なので、1つの外角は、
\[ 360^\circ \div 10 = 36^\circ \]
内角 ＋ 外角 ＝ \( 180^\circ \) より、
\[ 180^\circ – 36^\circ = 144^\circ \]

【ステップ2：内角の和の公式を利用する（解法2）】
\( n \) 角形の内角の和は \( 180^\circ \times (n – 2) \) です。
十角形の内角の和は \( 180^\circ \times (10 – 2) = 1440^\circ \)
1つの内角は \( 1440^\circ \div 10 = 144^\circ \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
正多角形の1つの内角は「先に外角を出して \( 180^\circ \) から引く」方が計算が非常に楽になります！

【解答】 折れ曲がっている頂点を通り、直線 \( l, m \) に平行な直線

【ステップ1：平行な補助線を引く】
折れ曲がっている点（頂点）を通るように \( l, m \) と平行な直線を引き、角を上側と下側の2つに分ける。

【ステップ2：錯角・同位角を利用する】
「平行線の錯角は等しい」「平行線の同位角は等しい」という性質を利用して、分けた角の大きさをそれぞれ求めて足し合わせます。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「ジグザグ・折れ線の角を見たら、頂点を通る平行線を引く」のが鉄則解法です。

【解答】
1. 3組の辺がそれぞれ等しい
2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

👨‍🏫 教員のアドバイス
「その間の角」「その両端の角」というフレーズを正確に覚えておくことが証明記述の第一歩です。

【解答】 \( 70^\circ \)

【ステップ1：底角の性質を確認する】
二等辺三角形の2つの底角は等しいので、\( \angle B = \angle C \) です。

【ステップ2：内角の和から計算する】
三角形の内角の和は \( 180^\circ \) なので、底角2つ分の和は、
\[ 180^\circ – 40^\circ = 140^\circ \]
したがって、
\[ \angle B = 140^\circ \div 2 = 70^\circ \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「底角が等しい」という性質を使って、\( \frac{180^\circ – \text{頂角}}{2} \) で一発計算できます。

【解答】
1. 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
2. 直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

👨‍🏫 教員のアドバイス
どちらの条件にも「斜辺」が含まれる点に注意してください。斜辺が等しくない場合は普通の三角形の合同条件を使います。

【解答】 1組の対辺が平行でその長さが等しい

【解説】
平行四辺形になる条件（全5つ）：
1. 2組の対辺がそれぞれ平行である（定義）
2. 2組の対辺がそれぞれ等しい
3. 2組の対角がそれぞれ等しい
4. 対角線がそれぞれの中点で交わる
5. 1組の対辺が平行でその長さが等しい（※証明問題で最も頻出）

👨‍🏫 教員のアドバイス
「1組の対辺が平行で、もう1組の対辺の長さが等しい（等脚台形など）」では平行四辺形にならないので要注意！同じ1組の辺で「平行かつ等しい」がポイントです。

【解答】 ひし形、正方形

【ステップ1：対角線の性質を整理する】
・長方形：対角線の長さが等しい
・ひし形：対角線が垂直に交わる
・正方形：長方形とひし形の両方の性質をあわせ持つ（対角線の長さが等しく、垂直に交わる）

👨‍🏫 教員のアドバイス
正方形は長方形とひし形の両方の性質を完璧に受け継いだ「最強の四角形」と覚えておきましょう。

【解答】 面積は等しい（\( \triangle ABC = \triangle ABD \)）

【ステップ1：底辺と高さを比べる】
・底辺：ともに線分 AB で共通
・高さ：平行線間の距離（\( l \) と \( m \) の幅）になるため常に一定
底辺も高さも等しいため、面積は等しくなります。

👨‍🏫 教員のアドバイス
「底辺共通で平行線間を頂点が動く ＝ 面積が変わらない（等積変形）」は関数や平面図形の基本テクニックです。

【解答】
1. 3組の辺の比がすべて等しい
2. 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
3. 2組の角がそれぞれ等しい

👨‍🏫 教員のアドバイス
実際の証明・計算問題で使う相似条件の 8 割以上が「3. 2組の角がそれぞれ等しい」です！対頂角や共通な角に注目しましょう。

【解答】 \( MN \parallel BC \)、\( MN = \frac{1}{2} BC \)

【ステップ1：相似関係から導く】
\( AM : AB = 1 : 2 \)、\( AN : AC = 1 : 2 \)、\( \angle A \) 共通より、
\( \triangle AMN \sim \triangle ABC \)（相似比 \( 1 : 2 \)）です。

【ステップ2：結論を確認する】
・同位角が等しくなるため \( MN \parallel BC \)
・長さの比が \( 1 : 2 \) のため \( MN = \frac{1}{2} BC \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「両端が中点 ＝ 平行かつ長さが半分」と即答できるようにしておきましょう。

【解答】 表面積の比：\( 4 : 9 \)、体積の比：\( 8 : 27 \)

【ステップ1：面積比を求める】
相似比が \( a : b \) のとき、面積比は 2乗の比 \( a^2 : b^2 \) です。
\[ 2^2 : 3^2 = 4 : 9 \]

【ステップ2：体積比を求める】
体積比は 3乗の比 \( a^3 : b^3 \) です。
\[ 2^3 : 3^3 = 8 : 27 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「長さ ＝ 1乗（相似比）」「面積 ＝ 2乗」「体積 ＝ 3乗」と次元に合わせて覚えておくと忘れません。

【解答】 \( 80^\circ \)

【ステップ1：円周角の定理を適用する】
「1つの弧に対する中心角の大きさは、その弧に対する円周角の大きさの2倍である」という定理を利用します。
\[ 40^\circ \times 2 = 80^\circ \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「中心角 ＝ 円周角 \( \times 2 \)」「円周角 ＝ 中心角 \( \div 2 \)」の関係をしっかり意識しましょう。

【解答】 \( 90^\circ \)

【ステップ1：中心角から考える】
直径 AB に対する中心角（平角）は \( 180^\circ \) です。

【ステップ2：円周角の定理を使う】
円周角は中心角の半分になるので、
\[ 180^\circ \div 2 = 90^\circ \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
「図形の中に直径を見つけたら、即座に \( 90^\circ \) の記号を書き込む」習慣をつけましょう！

【解答】 \( 5\text{cm} \)

【ステップ1：三平方の定理 \( a^2 + b^2 = c^2 \) にあてはめる】
\[ 3^2 + 4^2 = x^2 \]
\( 9 + 16 = x^2 \)
\( x^2 = 25 \)

【ステップ2：\( x > 0 \) より辺の長さを求める】
\( x > 0 \) より、\( x = 5 \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
「\( 3 : 4 : 5 \)」は頻出の整数の比（ピタゴラス数）です。覚えておくと計算スピードが格段に上がります。

【解答】
・\( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)：\( 1 : \sqrt{3} : 2 \)
・\( 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \)：\( 1 : 1 : \sqrt{2} \)

👨‍🏫 教員のアドバイス
斜辺が一番長い辺になる点（\( 2 \) や \( \sqrt{2} \) が斜辺）を間違えないようにしましょう。

【解答】 高さ：\( 3\sqrt{3}\text{cm} \)、面積：\( 9\sqrt{3}\text{cm}^2 \)

【ステップ1：高さを求める】
頂点から底辺に垂線をひくと、\( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) の直角三角形ができます。
底辺の半分は \( 3\text{cm} \) なので、特別の比 \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) より、
\[ \text{高さ} = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\text{cm} \]

【ステップ2：面積を求める】
\[ \text{面積} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\text{cm}^2 \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
1辺 \( a \) の正三角形の高さは \( \frac{\sqrt{3}}{2}a \)、面積は \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \) という公式として覚えておくと非常に強力です。

【解答】 \( 7\text{cm} \)

【ステップ1：空間図形の対角線公式にあてはめる】
直方体の 3辺を \( a, b, c \) とすると、対角線の長さは \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) です。
\[ \text{対角線} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} \]

【ステップ2：根号内を計算する】
\[ \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\text{cm} \]

👨‍🏫 教員のアドバイス
三平方の定理を2回繰り返すことで導かれる「\( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) 」は超重要公式です！