三角形の面積を求める問題で、「どの公式を使えばいいのか分からない」「内接円の半径 \(r\) や外接円の半径 \(R\) の計算でいつも手が止まってしまう…」と悩んでいませんか？
高校数学の「図形と計量（数学I）」では、中学までの「底辺×高さ÷2」だけでなく、\(\sin\)（正弦）を使った公式、ヘロンの公式、内接円・外接円の半径を用いた公式など、条件に応じた様々な面積公式が登場します。
この記事では、三角形の面積公式とその使い分け、内接円・外接円の半径の求め方まで、図解と例題を交えて分かりやすく解説します。
📌 【この記事の結論】三角形の面積＆半径の公式一覧
| 公式名 / 解法 | 計算式 | 使うシチュエーション（見分け方） |
|---|---|---|
| \(\sin\) を使う公式（主役） | \(S = \frac{1}{2}bc \sin A\) | 「2辺の長さとその挟む角」が分かっているとき |
| ヘロンの公式 | \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) ※ \(s = \frac{a+b+c}{2}\) | 「3辺の長さ」がすべてキレイな値（整数など）のとき |
| 内接円の半径 \(r\) | \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) | 内接円の半径 \(r\) を求める（または与えられている）とき |
| 外接円の半径 \(R\) | \(S = \frac{abc}{4R}\) または 正弦定理 | 外接円の半径 \(R\) を求める（または与えられている）とき |
面積計算では、\(\sin\) や 正弦定理・余弦定理 の知識を組み合わせることが多くあります。不安な部分は以下のページで復習しておきましょう。
1. 三角形の面積公式一覧（どの公式をいつ使う？）
高校数学の「図形と計量」で登場する三角形の面積公式は、一見すると種類が多くて複雑に見えます。しかし、本質は「問題文でどの要素（辺の長さ・角の大きさ・円の半径など）が与えられているか」によって使い分けるだけです。
まずは5つの基本公式と、それぞれの「使いどころ（見分け方）」を一覧で把握しましょう。
【基本】底辺×高さ×1/2（小・中学校の復習）
小学校・中学校から使っている最も基本的な公式です。
📌 小・中のおさらい公式
\[ S = \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) \]
高校数学でも、座標平面上の問題で底辺や高さが軸に平行で計算しやすい場合や、直角三角形の面積をサッと求めるときに活躍します。
【高校数学の主役】\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)（2辺と挟む角）
高校数学における最も重要で利用頻度が高い主役の公式です。
📌 \(\sin\)（正弦）を使った面積公式
\[ S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C \]
使うシチュエーションは**「2つの辺の長さ」と「その挟む角の大きさ（または \(\sin\) の値）」**が分かっているときです。
もし角が分からない場合でも、3辺から余弦定理を使って \(\cos\) を出し、三角比の相互関係（\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)）から \(\sin\) を求めてこの公式に流し込むのが王道パターンです。
【3辺から一発】ヘロンの公式（三辺の長さが整数のとき）
角度の計算を一切はさまず、「3つの辺の長さ」だけから直接面積を算出できる公式です。
\(s = \frac{a+b+c}{2}\) とおくと、
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
3辺の長さ \(a, b, c\) がすべて整数など、合計して2で割った数値 \(s\) がキレイな値になるときに強烈な威力を発揮します。
【内接円】\(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\)（内接円の半径 \(r\)）
三角形の内側にぴったり接する円（内接円）の半径 \(r\) が絡む公式です。
📌 内接円の半径 \(r\) と面積の関係
\[ S = \frac{1}{2}r(a+b+c) \]
主に「面積 \(S\) と3辺 \(a, b, c\) から、内接円の半径 \(r\) を逆算して求める」という目的で使われます。
【外接円】\(S = \frac{abc}{4R}\)（外接円の半径 \(R\)）
三角形の3つの頂点を通る円（外接円）の半径 \(R\) が絡む公式です。
📌 外接円の半径 \(R\) と面積の関係
\[ S = \frac{abc}{4R} \]
先ほどの \(\sin\) の公式（\(S = \frac{1}{2}bc \sin A\)）に、正弦定理の変形 \( \sin A = \frac{a}{2R} \) を代入することで得られる公式です。
実際の試験問題では、以下のステップで公式を選びましょう。
- 2辺と挟む角が分かる \(\rightarrow\) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)
- 3辺がキレイな整数 \(\rightarrow\) ヘロンの公式
- 内接円の半径 \(r\) を求めたい \(\rightarrow\) \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\)
2. 【最重要】\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\) の使い方と証明
高校数学の「図形と計量」で最もよく使うのが、この \(\sin\)（正弦）を用いた面積公式です。ここでは公式の具体的な使い方と、なぜこの計算で面積が求まるのかという証明（成り立ち）を解説します。
公式の使い方と成り立ち（なぜ \(\sin\) を掛けるのか？）
公式の形（\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)）を覚えるときは、文字そのものではなく**「2つの辺の長さ」と「その間の角の \(\sin\)」を掛け合わせて 2 で割る**という位置関係で記憶するのがポイントです。
なぜこの公式で三角形の面積が求まるのでしょうか？その理由は、小学校で習う「底辺 × 高さ ÷ 2」の**「高さ」の部分を \(\sin\) で表しているから**です。
\(\triangle ABC\) の頂点 \(C\) から対辺 \(AB\)（長さ \(c\)）に向かって垂線 \(CH\) を引き、その長さを \(h\)（高さ）とします。
直角三角形 \(\triangle AHC\) において、三角比の定義より、
\[ \sin A = \frac{h}{b} \quad ↔︎ \quad h = b \sin A \]
となります。したがって、三角形の面積 \(S\) は小学校の公式「\(\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\)」に代入して、
\[ S = \frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2} \times c \times (b \sin A) = \frac{1}{2}bc \sin A \]
となり、公式が成り立つことが証明できました。
※同様に、頂点 \(B\) や \(A\) から垂線を引くことで、\(S = \frac{1}{2}ca \sin B\) や \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\) も成り立ちます。
鈍角三角形（\(90^\circ < A < 180^\circ\)）でも成り立つ理由
「角 \(A\) が \(90^\circ\) を超える鈍角の場合はどうなるの？」と疑問に思うかもしれません。結論から言うと、**鈍角の場合でも全く同じ公式がそのまま使えます。**
頂点 \(C\) から辺 \(AB\) の「延長線」上に垂線 \(CH\) を引き、その長さを \(h\) とします。
直角三角形 \(\triangle AHC\) において、\(\angle CAH = 180^\circ – A\) となるため、
\[ h = b \sin(180^\circ – A) \]
ここで、三角比の拡張（単位円）で学ぶ公式 \(\sin(180^\circ – A) = \sin A\) を適用すると、
\[ h = b \sin A \]
となり、鋭角のときと全く同じ高さを表す式が得られます。よって面積 \(S\) は、
\[ S = \frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2}bc \sin A \]
となり、鈍角のときも正しく成り立つことが証明されます。
なお、\(A = 90^\circ\)（直角）のときは \(\sin 90^\circ = 1\) となるため、\(S = \frac{1}{2}bc\) となり、通常の直角三角形の面積計算（底辺×高さ÷2）と完全に一致します。
💡 計算をスムーズにするコツ
この公式を使う問題では、\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ\) といった有名角の \(\sin\) の値が頻出します。
「\(\sin 120^\circ\) っていくつだっけ？」と不安な方は、特別な角の三角比一覧や角度の求め方を復習しておくと計算スピードが劇的に上がります。
3. 内接円の半径 \(r\) の求め方
高校数学のテストや入試で「内接円の半径 \(r\) を求めよ」という問題が出たら、**「まず全体の面積 \(S\) を計算し、公式 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) に代入して \(r\) について解く」**というのが唯一にして絶対の解法ルートです。
内接円の半径 \(r\) と面積 \(S\) の関係式（\(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\)）
内接円の半径 \(r\) と、三角形の3辺の長さ \(a, b, c\)、そして三角形全体の面積 \(S\) の間には、次の絶対的な関係式が成り立ちます。
📌 内接円の半径 \(r\) を含む面積公式
\[ S = \frac{1}{2}r(a+b+c) \]
※変形して \(r\) を直接求める形：
\[ r = \frac{2S}{a+b+c} \]
なぜこの公式が成り立つのか？（3つの三角形への分割）
この公式の成り立ちは視覚的に理解すると一発で頭に入ります。ポイントは**「内接円の中心（内心 \(I\)）から各頂点に線を引き、大元の三角形を3つの小さな三角形に分割すること」**です。
\(\triangle ABC\) の内接円の中心を \(I\)（内心）とします。内心 \(I\) から各辺へ下ろした垂線の長さは、すべて内接円の半径 \(r\) に等しくなります。
ここで、\(\triangle ABC\) を \(\triangle IBC\)、\(\triangle ICA\)、\(\triangle IAB\) の3つに分割して面積を考えると、それぞれの高さがすべて \(r\) になります。
\(\triangle IBC\) の面積 ＝ \(\frac{1}{2} \times a \times r = \frac{1}{2}ar\)
\(\triangle ICA\) の面積 ＝ \(\frac{1}{2} \times b \times r = \frac{1}{2}br\)
\(\triangle IAB\) の面積 ＝ \(\frac{1}{2} \times c \times r = \frac{1}{2}cr\)
全体の面積 \(S\) は、これら3つの三角形の合計なので、
\[ S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a+b+c) \]
となり、公式が成り立つことが証明できました。
内接円の半径 \(r\) を求める基本手順（3ステップ）
実際に問題を解くときは、常に以下の **3ステップ** で進行します。
- ステップ1：三角形の3辺の長さ \(a, b, c\) を揃える
（もし角や辺が足りない場合は、余弦定理 などを使って3辺の長さをすべて割り出します） - ステップ2：三角形全体の面積 \(S\) を計算する
（\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\) やヘロンの公式を使って、先に面積 \(S\) の値を確定させます） - ステップ3：\(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) に代入して \(r\) を解く
（求めた \(S\) と3辺 \(a, b, c\) を代入すれば、一次方程式として \(r\) が求まります）
4. 外接円の半径 \(R\) の求め方（正弦定理との連携）
外接円の半径 \(R\)（大文字の \(R\)）を求めるアプローチには、**「正弦定理から求める方法（基本）」**と**「面積公式 \(S = \frac{abc}{4R}\) から求める方法（応用）」**の2種類があります。
正弦定理からのアプローチ（基本パターン）
外接円の半径 \(R\) を問われたとき、9割以上の問題で使うのが 正弦定理 です。
📌 正弦定理と外接円の半径 \(R\)
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
※ \(R\) を求める形に変形：
\[ R = \frac{a}{2\sin A} \]
「1つの辺の長さ」と「その向かい合う角の \(\sin\) の値」が分かっていれば、面積を計算しなくてもダイレクトに外接円の半径 \(R\) を求めることができます。
面積公式からアプローチする \(S = \frac{abc}{4R}\) の関係
もう一つの方法として、三角形の面積 \(S\) と3辺の長さ \(a, b, c\) から外接円の半径 \(R\) を求める特殊な公式が存在します。
📌 外接円の半径 \(R\) を含む面積公式
\[ S = \frac{abc}{4R} \quad \iff \quad R = \frac{abc}{4S} \]
【公式の導出】
面積の基本公式 \(S = \frac{1}{2}bc \sin A\) に対して、正弦定理の変形式 \(\sin A = \frac{a}{2R}\) を代入すると、
\[ S = \frac{1}{2}bc \times \left(\frac{a}{2R}\right) = \frac{abc}{4R} \]
となり、簡単に導くことができます。
すでに「3辺の長さ \(a, b, c\)」と「全体の面積 \(S\)」が分かっていて、角度をわざわざ求めずに外接円の半径 \(R\) を算出したい場合に非常に便利なショートカット公式です。
- 内接円の半径 \(r\)（小文字） \(\rightarrow\) 面積分割の公式 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) を使う！
- 外接円の半径 \(R\)（大文字） \(\rightarrow\) 基本は 正弦定理（または \(S = \frac{abc}{4R}\)）を使う！
5. 応用：ヘロンの公式の使い方と注意点
「角度の情報が1つもなく、3つの辺の長さだけが与えられている」という場面で強力な威力を発揮するのがヘロンの公式です。
ここでは、ヘロンの公式の基本的な使い方と、実際に使う際の注意点（メリット・デメリット）について解説します。
ヘロンの公式とは？（\(s = \frac{a+b+c}{2}\) の意味）
ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さを \(a, b, c\) としたとき、角度の計算を一切行わずに面積 \(S\) を直接求められる公式です。
📌 ヘロンの公式
3辺の長さの合計の半分を \(s = \frac{a+b+c}{2}\) とおくと、
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
この公式を使うときは、まず準備として 3辺の合計を2で割ったスモール \(s\) の値 を計算し、その後に \(\sqrt{\phantom{x}}\) の中に「\(s\)」「\(s-a\)」「\(s-b\)」「\(s-c\)」の4つの数を掛け合わせて流し込みます。
ヘロンの公式を使って良い場面・避けるべき場面（ルートを含む辺長）
非常に便利なヘロンの公式ですが、どんな問題でも使えば良いというわけではありません。問題の条件によって向き・不向きがはっきりと分かれます。
- 使って良い場面（大活躍するケース）
3辺の長さ \(a, b, c\) がすべて整数であり、\(s = \frac{a+b+c}{2}\) が整数または簡単な分数（小数）になるとき。引き算や掛け算がスムーズに行えるため、最速で答えにたどり着けます。 - 避けるべき場面（使わない方が良いケース）
3辺の長さに \(\sqrt{2}\) や \(\sqrt{3}\) などのルート（無理数）が含まれているとき。
\(s\) の値自体にルートが含まれてしまうため、\(\sqrt{\phantom{x}}\) の中にさらにルートが入る「二重根号」が発生し、計算が非常に複雑になってしまいます。
もし3辺にルートが含まれている場合は、ヘロンの公式を避け、余弦定理で \(\cos\) を求める王道ルートで計算しましょう。
6. 【実践例題】面積・内接円・外接円を求める総合問題
ここまでの知識を総動員して、定期テストや共通テスト・大学入試で頻出する「1つの三角形から面積・内接円の半径・外接円の半径をすべて求める総合問題」に挑戦してみましょう。
\(\triangle ABC\) において、\(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\) のとき、次の値をそれぞれ求めよ。
(1) \(\triangle ABC\) の面積 \(S\)
(2) 内接円の半径 \(r\)
(3) 外接円の半径 \(R\)
(1) 面積 \(S\) を求める
3辺の長さ \(5, 6, 7\) はすべて整数なので、ヘロンの公式を利用します。
まず、\(s\) を計算します。
\[ s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
ヘロンの公式 \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) に代入します。
\[ S = \sqrt{9 \times (9 – 5) \times (9 – 6) \times (9 – 7)} \]
\[ = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \]
（※王道ルートの場合：余弦定理より \(\cos A = \frac{6^2 + 7^2 – 5^2}{2 \times 6 \times 7} = \frac{5}{7}\) となり、\(\sin A = \sqrt{1 – \left(\frac{5}{7}\right)^2} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\) を求めてから \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = 6\sqrt{6}\) と求めることもできます）
(2) 内接円の半径 \(r\) を求める
公式 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) を利用します。(1)で求めた \(S = 6\sqrt{6}\) と3辺の長さを代入します。
\[ 6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \times r \times (5 + 6 + 7) \]
\[ 6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \times r \times 18 \]
\[ 6\sqrt{6} = 9r \quad ↔︎ \quad r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \]
(3) 外接円の半径 \(R\) を求める
ショートカット公式 \(S = \frac{abc}{4R}\)（変形して \(R = \frac{abc}{4S}\)）を利用します。
\[ R = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} \]
分母を有理化します。
\[ R = \frac{35\sqrt{6}}{24} \]
（※正弦定理 \(2R = \frac{a}{\sin A}\) を使って \(2R = 5 \div \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{35}{2\sqrt{6}}\) より \(R = \frac{35\sqrt{6}}{24}\) と求めても正解です）
答え：(1) \(S = 6\sqrt{6}\) (2) \(r = \frac{2\sqrt{6}}{3}\) (3) \(R = \frac{35\sqrt{6}}{24}\)
7. よくある質問（FAQ）
三角形の面積公式や半径の計算で、受験生からよく寄せられる質問とその回答をまとめました。
Q1. 内接円の半径 \(r\) と外接円の半径 \(R\) の違い・見分け方は？
A. 円が三角形の「内側」にあるか「外側」にあるかの違いです。問題文の表記（小文字／大文字）と解法パターンで見分けましょう。
- 内接円の半径 \(r\)（小文字）：三角形のすべての辺に内側から接する円。面積を3分割する公式 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) から求めます。
- 外接円の半径 \(R\)（大文字）：三角形のすべての頂点を通る外側の円。正弦定理（\(2R = \frac{a}{\sin A}\)）または \(S = \frac{abc}{4R}\) から求めます。
Q2. 面積を求める公式が多すぎて迷います。優先順位は？
A. 基本は「2辺と挟む角（\(\sin\)）」が最優先です。3辺が整数のときだけ「ヘロンの公式」を使いましょう。
迷ったときは以下のチャートで判断するのが最も確実です。
- 2辺と挟む角がわかっている（または求まる） \(\rightarrow\) \(S = \frac{1}{2}bc \sin A\)
- 3辺の長さがすべてキレイな整数 \(\rightarrow\) ヘロンの公式（\(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)）
- 3辺の長さにルートが含まれている \(\rightarrow\) 余弦定理で \(\cos\) を出し、相互関係で \(\sin\) に変換して \(S = \frac{1}{2}bc \sin A\)
8. あわせて読みたい関連ページ
図形と計量（三角比）の理解をさらに深めるための解説記事一覧です。弱点克服やテスト対策にぜひ活用してください。
9. まとめ：条件に合わせて面積公式を使い分けよう！
高校数学Iの「図形と計量」で登場する三角形の面積公式と半径の求め方について解説しました。
最後に、重要ポイントを整理しておきましょう。
- 面積公式の主役は \(S = \frac{1}{2}bc \sin A\)（2辺と挟む角の \(\sin\)）
- 3辺が整数ならヘロンの公式（\(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)）が最速
- 内接円の半径 \(r\) は、面積分割の公式 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) から逆算する
- 外接円の半径 \(R\) は、正弦定理（\(2R = \frac{a}{\sin A}\)）または \(S = \frac{abc}{4R}\) を使う
面積計算は、正弦定理・余弦定理と並んでテストや入試で必ず出題される超重要テーマです。公式の成り立ち（証明）と使い分けのルールを押さえ、様々な問題演習を通して確実に得点源にしていきましょう！
繰り返し例題を練習して、単位円のイメージをしっかりと自分のものにしていきましょう！
💬 今回の解説を読んで「まだ少し不安」「一人だと解き直せない」と感じた方へ
数学は「解説を読んで理解した気になって終わり」にしてしまうと、似た問題が出たときに手が止まってしまいがちです。
確実に定着させるには、知識が新しいうちに自分で解き直し、類題で練習することが欠かせません。
もし「テキストの解説だけだと理解に時間がかかる」「質問できる環境や、手厚いサポートが欲しい」と感じている場合は、高校生向けの学習サービスを上手に活用するのも手です。
特に「わかりやすい動画解説でつまずきを解消できる（スタディサプリ）」や、「自分のレベルに合わせて添削・演習ができる（進研ゼミ）」は、独学の強い味方になります。
自分の学習スタイルに合う方法を見つけたい方は、以下の記事を参考にしてみてください。🔹 人気の2大教材（動画授業 vs 演習・添削）を比較して選びたい方
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